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3. 下列各式能用同底数幂乘法法则进行计算的是（
A.$(x+y)^2 · (x-y)^2$
B.$(-x-y) · (x+y)^2$
C.$(x+y)^2 + (x+y)^3$
D.$-(x-y)^2 · (-x-y)^3$
B
）A.$(x+y)^2 · (x-y)^2$
B.$(-x-y) · (x+y)^2$
C.$(x+y)^2 + (x+y)^3$
D.$-(x-y)^2 · (-x-y)^3$
答案
3. B
解析
【分析】
要判断哪个选项能用同底数幂乘法法则计算，首先要明确该法则的适用条件：第一，运算必须是乘法运算，排除加法类的选项；第二，参与运算的幂的底数必须相同，或者可以通过符号变形转化为相同的底数。接下来我们逐个对选项进行排查，符合这两个条件的就是正确选项。
【解析】
同底数幂乘法法则适用于“底数相同的幂相乘”的运算，我们逐一分析选项：
A选项：两个因式的底数分别是$(x+y)$和$(x-y)$，底数不相同，无法用同底数幂乘法法则计算，排除；
B选项：先对第一个因式做符号变形：$-x-y=-(x+y)$，因此原式可改写为$-(x+y)·(x+y)^2$，两个幂的底数都是$(x+y)$，属于同底数幂的乘法，可以使用该法则计算；
C选项：式子是两个幂的加法运算，不是乘法运算，不符合同底数幂乘法的运算类型，排除；
D选项：两个因式的底数分别是$(x-y)$和$(-x-y)=-(x+y)$，底数不相同，也无法转化为相同底数，不能用该法则计算，排除。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法法则、代数式符号变形
【点评】
本题考查同底数幂乘法法则的适用条件，解题时要先判断运算类型是否为乘法，再观察底数是否相同或可变形为相同，易错点是容易忽略运算类型，或者不会对互为相反数的底数进行符号转化。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项能用同底数幂乘法法则计算，首先要明确该法则的适用条件：第一，运算必须是乘法运算，排除加法类的选项；第二，参与运算的幂的底数必须相同，或者可以通过符号变形转化为相同的底数。接下来我们逐个对选项进行排查，符合这两个条件的就是正确选项。
【解析】
同底数幂乘法法则适用于“底数相同的幂相乘”的运算，我们逐一分析选项：
A选项：两个因式的底数分别是$(x+y)$和$(x-y)$，底数不相同，无法用同底数幂乘法法则计算，排除；
B选项：先对第一个因式做符号变形：$-x-y=-(x+y)$，因此原式可改写为$-(x+y)·(x+y)^2$，两个幂的底数都是$(x+y)$，属于同底数幂的乘法，可以使用该法则计算；
C选项：式子是两个幂的加法运算，不是乘法运算，不符合同底数幂乘法的运算类型，排除；
D选项：两个因式的底数分别是$(x-y)$和$(-x-y)=-(x+y)$，底数不相同，也无法转化为相同底数，不能用该法则计算，排除。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法法则、代数式符号变形
【点评】
本题考查同底数幂乘法法则的适用条件，解题时要先判断运算类型是否为乘法，再观察底数是否相同或可变形为相同，易错点是容易忽略运算类型，或者不会对互为相反数的底数进行符号转化。
【难度系数】
0.7
4. 计算：
(1) $-x^5 · x^2 · x^{10}$；
(2) $x^m · x^{2m-1} · x$；
(3) $x^3 · (-x)^5 + 2x · x^3 · (-x)^4$；
(4) $(2x-1)^2 · (1-2x)^3 + (1-2x)^4 · (2x-1)$。
(1) $-x^5 · x^2 · x^{10}$；
(2) $x^m · x^{2m-1} · x$；
(3) $x^3 · (-x)^5 + 2x · x^3 · (-x)^4$；
(4) $(2x-1)^2 · (1-2x)^3 + (1-2x)^4 · (2x-1)$。
答案
4. (1) $-x^{17}$ (2) $x^{3m}$ (3) $x^8$ (4) 0
解析
【分析】
解题核心是运用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，同时注意处理幂的符号、互为相反数的底数转化，以及最后合并同类项。
1. 第(1)题：底数都是x，直接应用同底数幂乘法法则计算，注意前面的负号不属于底数，最后保留负号即可。
2. 第(2)题：注意单独的x的指数是1，将三个幂的指数相加即可得到结果的指数。
3. 第(3)题：先根据负数的奇次幂为负、偶次幂为正，化简$(-x)^5$和$(-x)^4$，再分别计算两组同底数幂的乘积，最后合并同类项。
4. 第(4)题：$(2x-1)$和$(1-2x)$互为相反数，可统一底数后应用同底数幂乘法法则计算，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 原式$= - (x^5 · x^2 · x^{10})$
根据同底数幂乘法法则，指数相加得：$5+2+10=17$
故结果为$-x^{17}$。
(2) 原式$=x^m · x^{2m-1} · x^1$
指数相加得：$m + (2m-1) + 1 = 3m$
故结果为$x^{3m}$。
(3) 先化简带负号的幂：$(-x)^5 = -x^5$，$(-x)^4 = x^4$
原式$=x^3 · (-x^5) + 2x · x^3 · x^4$
分别计算乘积：
$x^3 · (-x^5) = -x^{3+5} = -x^8$
$2x · x^3 · x^4 = 2x^{1+3+4} = 2x^8$
合并同类项得：$-x^8 + 2x^8 = x^8$。
(4) 统一底数：$(1-2x)=-(2x-1)$，则$(1-2x)^3=-(2x-1)^3$，$(1-2x)^4=(2x-1)^4$
原式$=(2x-1)^2 · [-(2x-1)^3] + (2x-1)^4 · (2x-1)$
分别计算乘积：
第一项：$-(2x-1)^{2+3}=-(2x-1)^5$
第二项：$(2x-1)^{4+1}=(2x-1)^5$
合并同类项得：$-(2x-1)^5 + (2x-1)^5 = 0$。
【答案】
(1) $-x^{17}$；(2) $x^{3m}$；(3) $x^8$；(4) $0$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 幂的符号化简
3. 合并同类项
【点评】
本题重点考查同底数幂乘法法则的灵活应用，解题时需注意：单独字母的指数为1不要遗漏；底数互为相反数时要先统一底数再计算；运算过程中要注意符号判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
解题核心是运用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，同时注意处理幂的符号、互为相反数的底数转化，以及最后合并同类项。
1. 第(1)题：底数都是x，直接应用同底数幂乘法法则计算，注意前面的负号不属于底数，最后保留负号即可。
2. 第(2)题：注意单独的x的指数是1，将三个幂的指数相加即可得到结果的指数。
3. 第(3)题：先根据负数的奇次幂为负、偶次幂为正，化简$(-x)^5$和$(-x)^4$，再分别计算两组同底数幂的乘积，最后合并同类项。
4. 第(4)题：$(2x-1)$和$(1-2x)$互为相反数，可统一底数后应用同底数幂乘法法则计算，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 原式$= - (x^5 · x^2 · x^{10})$
根据同底数幂乘法法则，指数相加得：$5+2+10=17$
故结果为$-x^{17}$。
(2) 原式$=x^m · x^{2m-1} · x^1$
指数相加得：$m + (2m-1) + 1 = 3m$
故结果为$x^{3m}$。
(3) 先化简带负号的幂：$(-x)^5 = -x^5$，$(-x)^4 = x^4$
原式$=x^3 · (-x^5) + 2x · x^3 · x^4$
分别计算乘积：
$x^3 · (-x^5) = -x^{3+5} = -x^8$
$2x · x^3 · x^4 = 2x^{1+3+4} = 2x^8$
合并同类项得：$-x^8 + 2x^8 = x^8$。
(4) 统一底数：$(1-2x)=-(2x-1)$，则$(1-2x)^3=-(2x-1)^3$，$(1-2x)^4=(2x-1)^4$
原式$=(2x-1)^2 · [-(2x-1)^3] + (2x-1)^4 · (2x-1)$
分别计算乘积：
第一项：$-(2x-1)^{2+3}=-(2x-1)^5$
第二项：$(2x-1)^{4+1}=(2x-1)^5$
合并同类项得：$-(2x-1)^5 + (2x-1)^5 = 0$。
【答案】
(1) $-x^{17}$；(2) $x^{3m}$；(3) $x^8$；(4) $0$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 幂的符号化简
3. 合并同类项
【点评】
本题重点考查同底数幂乘法法则的灵活应用，解题时需注意：单独字母的指数为1不要遗漏；底数互为相反数时要先统一底数再计算；运算过程中要注意符号判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
5. 若 $2^x=5$，$2^y=7$，$2^z=35$，则 $x$，$y$，$z$ 之间的数量关系为
$x+y=z$
。答案
5. $x+y=z$
解析
【分析】
要推导x、y、z的数量关系，首先观察已知的三个底数为2的幂的数值：5×7=35，恰好对应2^x×2^y=2^z的数值关系。我们可以先利用同底数幂的乘法法则将左边的乘积式转化为指数相加的形式，再根据“底数相同且不为0、1的两个幂相等时，指数必然相等”的规律，即可推出三个指数的数量关系。
【解析】
解：已知$2^x=5$，$2^y=7$，
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^x × 2^y = 2^{x+y}$，
代入数值计算左边得：$2^x × 2^y =5 × 7=35$，
又已知$2^z=35$，因此可得：
$2^{x+y}=2^z$，
因为底数$2 ≠ 0$且$2 ≠ 1$，同底数幂相等时指数相等，所以$x+y=z$。
【答案】
$x+y=z$
【知识点】
同底数幂的乘法，同底数幂的相等条件
【点评】
本题核心考查同底数幂乘法法则的应用，解题关键是快速发现三个幂的数值之间的乘积关联，结合幂的运算规律推导指数关系，属于基础类运算题。
【难度系数】
0.8
要推导x、y、z的数量关系，首先观察已知的三个底数为2的幂的数值：5×7=35，恰好对应2^x×2^y=2^z的数值关系。我们可以先利用同底数幂的乘法法则将左边的乘积式转化为指数相加的形式，再根据“底数相同且不为0、1的两个幂相等时，指数必然相等”的规律，即可推出三个指数的数量关系。
【解析】
解：已知$2^x=5$，$2^y=7$，
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^x × 2^y = 2^{x+y}$，
代入数值计算左边得：$2^x × 2^y =5 × 7=35$，
又已知$2^z=35$，因此可得：
$2^{x+y}=2^z$，
因为底数$2 ≠ 0$且$2 ≠ 1$，同底数幂相等时指数相等，所以$x+y=z$。
【答案】
$x+y=z$
【知识点】
同底数幂的乘法，同底数幂的相等条件
【点评】
本题核心考查同底数幂乘法法则的应用，解题关键是快速发现三个幂的数值之间的乘积关联，结合幂的运算规律推导指数关系，属于基础类运算题。
【难度系数】
0.8
6.若$ 3^{m+2}=81 $，则$ 3^m $的值为
9
。答案
6. 9
解析
【分析】
解题思路可从两种符合学段知识的方向入手：
第一种：回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数），该法则可逆用。题目中的$3^{m+2}$可逆用该法则拆分为$3^m · 3^2$，代入已知等式后即可直接求解$3^m$。
第二种：先将81转化为以3为底的幂的形式，根据“底数不为0的同底数幂相等时，指数相等”的性质，先求出m的值，再代入计算$3^m$即可。
【解析】
方法一：逆用同底数幂的乘法法则
根据同底数幂乘法的逆运算得：
$3^{m+2}=3^m × 3^2 = 9×3^m$
已知$3^{m+2}=81$，代入得：
$9×3^m=81$
等式两边同时除以9，解得：
$3^m=81÷9=9$
方法二：利用同底数幂相等的性质
因为$81=3^4$，所以原等式可转化为：
$3^{m+2}=3^4$
底数相同且不为0的幂相等时，指数相等，因此：
$m+2=4$，解得$m=2$
代入得$3^m=3^2=9$
【答案】
9
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的运算性质
【点评】
本题是幂运算的基础题型，重点考查同底数幂乘法法则的灵活应用，两种解题思路都围绕幂的基本运算性质展开，熟练掌握相关法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题思路可从两种符合学段知识的方向入手：
第一种：回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数），该法则可逆用。题目中的$3^{m+2}$可逆用该法则拆分为$3^m · 3^2$，代入已知等式后即可直接求解$3^m$。
第二种：先将81转化为以3为底的幂的形式，根据“底数不为0的同底数幂相等时，指数相等”的性质，先求出m的值，再代入计算$3^m$即可。
【解析】
方法一：逆用同底数幂的乘法法则
根据同底数幂乘法的逆运算得：
$3^{m+2}=3^m × 3^2 = 9×3^m$
已知$3^{m+2}=81$，代入得：
$9×3^m=81$
等式两边同时除以9，解得：
$3^m=81÷9=9$
方法二：利用同底数幂相等的性质
因为$81=3^4$，所以原等式可转化为：
$3^{m+2}=3^4$
底数相同且不为0的幂相等时，指数相等，因此：
$m+2=4$，解得$m=2$
代入得$3^m=3^2=9$
【答案】
9
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的运算性质
【点评】
本题是幂运算的基础题型，重点考查同底数幂乘法法则的灵活应用，两种解题思路都围绕幂的基本运算性质展开，熟练掌握相关法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
7. 已知$3^{2a+5} · 27 = 3^{4a}$，求$\frac{1}{2}a^2 - a + 1$的值.
答案
7. 解：$\because3^{2a+5}·3^3=3^{4a}$，$\therefore2a+5+3=4a$，$\therefore a=4$，原式=5.
解析
【分析】
解题首先观察等式两边幂的底数，发现27可以转化为以3为底的幂，即$27=3^3$，这样等式左右两边就都为以3为底的幂的形式。根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可以将左边化简为3的$(2a+5+3)$次方。因为底数3≠0且3≠1，所以当两个同底数幂相等时，指数也相等，据此可列出关于a的一元一次方程，解出a的值后，再代入目标代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：第一步，将等式左边的27转化为以3为底的幂：
$\because 27=3^3$，$\therefore$原等式可化为$3^{2a+5} · 3^3 = 3^{4a}$
第二步，根据同底数幂的乘法法则化简左边：
由同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$3^{(2a+5)+3}=3^{4a}$，即$3^{2a+8}=3^{4a}$
第三步，利用同底数幂相等的性质列方程求解a：
因为底数为3的幂相等，且3≠0、3≠1，所以指数相等，即：
$2a+8=4a$
移项计算得$2a=8$，解得$a=4$
第四步，将$a=4$代入代数式$\frac{1}{2}a^2 - a + 1$求值：
原式$=\frac{1}{2}×4^2 - 4 + 1 = \frac{1}{2}×16 - 4 +1 = 8 - 4 +1 =5$
【答案】
5
【知识点】
同底数幂的乘法；一元一次方程的解法；代数式求值
【点评】
本题是同底数幂运算的常规基础题，解题核心是先将非统一底数的幂转化为同底数幂，再利用“同底数幂相等则指数相等”的性质建立方程求解参数，最后代入计算代数式的值，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题首先观察等式两边幂的底数，发现27可以转化为以3为底的幂，即$27=3^3$，这样等式左右两边就都为以3为底的幂的形式。根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可以将左边化简为3的$(2a+5+3)$次方。因为底数3≠0且3≠1，所以当两个同底数幂相等时，指数也相等，据此可列出关于a的一元一次方程，解出a的值后，再代入目标代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：第一步，将等式左边的27转化为以3为底的幂：
$\because 27=3^3$，$\therefore$原等式可化为$3^{2a+5} · 3^3 = 3^{4a}$
第二步，根据同底数幂的乘法法则化简左边：
由同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$3^{(2a+5)+3}=3^{4a}$，即$3^{2a+8}=3^{4a}$
第三步，利用同底数幂相等的性质列方程求解a：
因为底数为3的幂相等，且3≠0、3≠1，所以指数相等，即：
$2a+8=4a$
移项计算得$2a=8$，解得$a=4$
第四步，将$a=4$代入代数式$\frac{1}{2}a^2 - a + 1$求值：
原式$=\frac{1}{2}×4^2 - 4 + 1 = \frac{1}{2}×16 - 4 +1 = 8 - 4 +1 =5$
【答案】
5
【知识点】
同底数幂的乘法；一元一次方程的解法；代数式求值
【点评】
本题是同底数幂运算的常规基础题，解题核心是先将非统一底数的幂转化为同底数幂，再利用“同底数幂相等则指数相等”的性质建立方程求解参数，最后代入计算代数式的值，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. (2025·湖南) 计算 $a^3 · a^4$ 的结果是 (
A.$2a^7$
B.$a^7$
C.$2a^4$
D.$a^{12}$
B
)A.$2a^7$
B.$a^7$
C.$2a^4$
D.$a^{12}$
答案
8. B
解析
【分析】
本题考查同底数幂的乘法运算，解题时首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。首先确认两个幂的底数都是a，属于同底数幂相乘的形式，直接套用法则计算即可，注意不要错误地将指数相乘，也不要额外添加系数。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m、n$为正整数）。
代入本题可得：$a^3 · a^4 = a^{3+4} = a^7$，因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心是对同底数幂乘法法则的掌握，解题时需注意区分同底数幂乘法、幂的乘方等不同幂运算的法则，避免出现指数运算混淆的错误。
【难度系数】
0.9
本题考查同底数幂的乘法运算，解题时首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。首先确认两个幂的底数都是a，属于同底数幂相乘的形式，直接套用法则计算即可，注意不要错误地将指数相乘，也不要额外添加系数。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m、n$为正整数）。
代入本题可得：$a^3 · a^4 = a^{3+4} = a^7$，因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心是对同底数幂乘法法则的掌握，解题时需注意区分同底数幂乘法、幂的乘方等不同幂运算的法则，避免出现指数运算混淆的错误。
【难度系数】
0.9
9. (2025·德州) 已知$m$，$n$是正整数，且满足$3^m · 3^m · 3^m = 3^n$，则$m$与$n$的关系正确的是（
A.$3m=n$
B.$m^3=n$
C.$m+3=n$
D.$m+1=n$
A
）A.$3m=n$
B.$m^3=n$
C.$m+3=n$
D.$m+1=n$
答案
9. A
解析
【分析】
解题时首先观察等式左边是三个相同的同底数幂相乘，优先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。先计算左边式子的运算结果，再根据“底数相同且不为0、1的两个幂相等时，指数也相等”的性质，即可推导得出m和n的数量关系，对应选出正确选项。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^x · a^y = a^{x+y}$（$a≠0$），对等式左边进行运算：
$3^m · 3^m · 3^m = 3^{m+m+m} = 3^{3m}$
已知$3^{3m} = 3^n$，因为底数$3≠0$且$3≠1$，所以两个幂相等时指数相等，可得：
$3m = n$
因此选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
1.同底数幂的乘法法则
2.同底数幂相等的性质
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是对同底数幂乘法法则的应用，解题时注意区分同底数幂乘法和幂的乘方的运算规则，避免混淆指数的运算方式。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察等式左边是三个相同的同底数幂相乘，优先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。先计算左边式子的运算结果，再根据“底数相同且不为0、1的两个幂相等时，指数也相等”的性质，即可推导得出m和n的数量关系，对应选出正确选项。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^x · a^y = a^{x+y}$（$a≠0$），对等式左边进行运算：
$3^m · 3^m · 3^m = 3^{m+m+m} = 3^{3m}$
已知$3^{3m} = 3^n$，因为底数$3≠0$且$3≠1$，所以两个幂相等时指数相等，可得：
$3m = n$
因此选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
1.同底数幂的乘法法则
2.同底数幂相等的性质
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是对同底数幂乘法法则的应用，解题时注意区分同底数幂乘法和幂的乘方的运算规则，避免混淆指数的运算方式。
【难度系数】
0.9
