登录
1. 若$x^m=3$，$x^n=5$，则$x^{m+n}$的值为（
A.8
B.15
C.$5^3$
D.$3^5$
B
）A.8
B.15
C.$5^3$
D.$3^5$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先观察所求式子的指数是两个指数相加的形式，联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$x^a · x^b = x^{a+b}$，我们可以逆用这个法则，将$x^{m+n}$拆分为$x^m · x^n$，再代入已知的$x^m$和$x^n$的数值计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂乘法的运算法则逆用可得：
$x^{m+n}=x^m · x^n$
已知$x^m=3$，$x^n=5$，将其代入上式得：
$x^{m+n}=3×5=15$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；幂运算的逆用
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查同底数幂乘法法则的灵活应用，解题关键是熟练掌握幂的运算性质，能够根据式子特点选择正向或逆向运用公式。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察所求式子的指数是两个指数相加的形式，联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$x^a · x^b = x^{a+b}$，我们可以逆用这个法则，将$x^{m+n}$拆分为$x^m · x^n$，再代入已知的$x^m$和$x^n$的数值计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂乘法的运算法则逆用可得：
$x^{m+n}=x^m · x^n$
已知$x^m=3$，$x^n=5$，将其代入上式得：
$x^{m+n}=3×5=15$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；幂运算的逆用
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查同底数幂乘法法则的灵活应用，解题关键是熟练掌握幂的运算性质，能够根据式子特点选择正向或逆向运用公式。
【难度系数】
0.9
2. 代数式 $a^{2m+3}$ 不能写成（
A.$a^{2m} · a^3$
B.$a^m · a^{m+3}$
C.$a^{2m}+3$
D.$a^{m+1} · a^{m+2}$
C
）A.$a^{2m} · a^3$
B.$a^m · a^{m+3}$
C.$a^{2m}+3$
D.$a^{m+1} · a^{m+2}$
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查同底数幂乘法法则的应用，解题思路如下：首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n都是正整数）。接下来逐一计算每个选项的运算结果，将结果与$a^{2m+3}$对比，选出不相等的选项即可，注意区分乘法运算和加法运算的差异。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则$a^m · a^n = a^{m+n}$逐一验证：
选项A：$a^{2m} · a^3 = a^{2m+3}$，与原式相等，不符合题意；
选项B：$a^m · a^{m+3} = a^{m+(m+3)} = a^{2m+3}$，与原式相等，不符合题意；
选项C：$a^{2m}+3$是加法运算，$a^{2m}$和3不是同类项，无法合并，结果不等于$a^{2m+3}$，符合题意；
选项D：$a^{m+1} · a^{m+2} = a^{(m+1)+(m+2)} = a^{2m+3}$，与原式相等，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法法则；代数式的运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查对同底数幂乘法法则的掌握，易错点是混淆幂的乘法运算和加法运算，只要熟练掌握运算法则，认真区分运算类型即可正确作答。
【难度系数】
0.8
本题考查同底数幂乘法法则的应用，解题思路如下：首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n都是正整数）。接下来逐一计算每个选项的运算结果，将结果与$a^{2m+3}$对比，选出不相等的选项即可，注意区分乘法运算和加法运算的差异。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则$a^m · a^n = a^{m+n}$逐一验证：
选项A：$a^{2m} · a^3 = a^{2m+3}$，与原式相等，不符合题意；
选项B：$a^m · a^{m+3} = a^{m+(m+3)} = a^{2m+3}$，与原式相等，不符合题意；
选项C：$a^{2m}+3$是加法运算，$a^{2m}$和3不是同类项，无法合并，结果不等于$a^{2m+3}$，符合题意；
选项D：$a^{m+1} · a^{m+2} = a^{(m+1)+(m+2)} = a^{2m+3}$，与原式相等，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法法则；代数式的运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查对同底数幂乘法法则的掌握，易错点是混淆幂的乘法运算和加法运算，只要熟练掌握运算法则，认真区分运算类型即可正确作答。
【难度系数】
0.8
3. (1) 若$a^m=6$，$a^{m+n}=42$，则$a^n=$
7
； (2) 若$2^x=3$，则$2^{x+3}=$24
。答案
3. (1) 7 (2) 24
解析
【分析】
本题考查同底数幂乘法法则的应用，解题思路如下：
1. 先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^{m+n}=a^m · a^n$（$a≠0$，$m、n$为正整数），该法则既可以正向使用，也可以逆向使用。
2. 第(1)问已知$a^m$和$a^{m+n}$的值，求$a^n$，可将公式逆用变形为$a^n = a^{m+n} ÷ a^m$，代入数值计算即可。
3. 第(2)问已知$2^x$的值，求$2^{x+3}$，可正向使用公式，将$2^{x+3}$拆分为$2^x · 2^3$，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则可得：$a^{m+n}=a^m · a^n$，
将公式变形得$a^n = a^{m+n} ÷ a^m$，
代入$a^m=6$，$a^{m+n}=42$，可得：
$a^n=42 ÷ 6 = 7$。
(2) 根据同底数幂的乘法法则可得：$2^{x+3}=2^x · 2^3$，
代入$2^x=3$，$2^3=8$，可得：
$2^{x+3}=3 × 8 = 24$。
【答案】
(1) 7；(2) 24
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的运算法则的逆用
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同底数幂乘法法则的灵活运用，解题的关键是熟练掌握幂的运算规则，能根据已知条件合理选择公式的正向或逆向使用方式，熟练掌握此类题型可为后续复杂的幂运算打下基础。
【难度系数】
0.85
本题考查同底数幂乘法法则的应用，解题思路如下：
1. 先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^{m+n}=a^m · a^n$（$a≠0$，$m、n$为正整数），该法则既可以正向使用，也可以逆向使用。
2. 第(1)问已知$a^m$和$a^{m+n}$的值，求$a^n$，可将公式逆用变形为$a^n = a^{m+n} ÷ a^m$，代入数值计算即可。
3. 第(2)问已知$2^x$的值，求$2^{x+3}$，可正向使用公式，将$2^{x+3}$拆分为$2^x · 2^3$，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则可得：$a^{m+n}=a^m · a^n$，
将公式变形得$a^n = a^{m+n} ÷ a^m$，
代入$a^m=6$，$a^{m+n}=42$，可得：
$a^n=42 ÷ 6 = 7$。
(2) 根据同底数幂的乘法法则可得：$2^{x+3}=2^x · 2^3$，
代入$2^x=3$，$2^3=8$，可得：
$2^{x+3}=3 × 8 = 24$。
【答案】
(1) 7；(2) 24
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的运算法则的逆用
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同底数幂乘法法则的灵活运用，解题的关键是熟练掌握幂的运算规则，能根据已知条件合理选择公式的正向或逆向使用方式，熟练掌握此类题型可为后续复杂的幂运算打下基础。
【难度系数】
0.85
【例1】已知$8· 2^{2m-1}· 2^{3m}=2^{17}$，求$m$的值.
【点拨】将8转化成$2^3$，使其与另外两个因式的底数相同，再利用公式解决问题.
【点拨】将8转化成$2^3$，使其与另外两个因式的底数相同，再利用公式解决问题.
答案
解：$2^3·2^{2m-1}·2^{3m}=2^{17}$. 由同底数幂的乘法，得$2^{3+2m-1+3m}=2^{17}$，即$5m+2=17$，得$m=3$.
解析
【分析】
解题时首先观察等式左边的构成，既有常数8，又有底数为2的幂，要运用同底数幂的运算规则首先需要统一底数，因此第一步将8转化为$2^3$，使左边所有项的底数都为2；再根据同底数幂相乘“底数不变、指数相加”的法则，将左边三个同底数幂合并；由于等式左右两边底数相同且不为0、1，因此两边的指数必然相等，据此列出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
解：将8转化为$2^3$，原等式可化为：
$2^3·2^{2m-1}·2^{3m}=2^{17}$
根据同底数幂的乘法法则，左边合并后得：
$2^{3+2m-1+3m}=2^{17}$
整理得：
$2^{5m+2}=2^{17}$
因为等式两边底数相同且不为0和1，所以指数相等，即：
$5m+2=17$
解一元一次方程：
$5m=15$
$m=3$
【答案】
$m=3$
【知识点】
1.同底数幂的乘法
2.一元一次方程的解法
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题型，解题核心是先将不同底数的幂统一为相同底数，再利用同底数幂相等时指数相等的性质列方程求解，熟练掌握同底数幂的运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察等式左边的构成，既有常数8，又有底数为2的幂，要运用同底数幂的运算规则首先需要统一底数，因此第一步将8转化为$2^3$，使左边所有项的底数都为2；再根据同底数幂相乘“底数不变、指数相加”的法则，将左边三个同底数幂合并；由于等式左右两边底数相同且不为0、1，因此两边的指数必然相等，据此列出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
解：将8转化为$2^3$，原等式可化为：
$2^3·2^{2m-1}·2^{3m}=2^{17}$
根据同底数幂的乘法法则，左边合并后得：
$2^{3+2m-1+3m}=2^{17}$
整理得：
$2^{5m+2}=2^{17}$
因为等式两边底数相同且不为0和1，所以指数相等，即：
$5m+2=17$
解一元一次方程：
$5m=15$
$m=3$
【答案】
$m=3$
【知识点】
1.同底数幂的乘法
2.一元一次方程的解法
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题型，解题核心是先将不同底数的幂统一为相同底数，再利用同底数幂相等时指数相等的性质列方程求解，熟练掌握同底数幂的运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
【例2】已知$4^m=32$，$4^n=2$，求$m+n$的值.
【点拨】求$m+n$的值就是求两个同底数幂的指数和，考虑同底数幂公式的逆用$4^{m+n}=4^m·4^n=32×2=64$，再将64变形成$4^3$，进而解决问题.
【点拨】求$m+n$的值就是求两个同底数幂的指数和，考虑同底数幂公式的逆用$4^{m+n}=4^m·4^n=32×2=64$，再将64变形成$4^3$，进而解决问题.
答案
解：$\because4^m·4^n=32×2=64$，由同底数幂的乘法，得$4^{m+n}=4^3$，$\therefore m+n=3$. 故$m+n$的值是3.
解析
【分析】
题目要求m+n的值，已知两个以4为底的幂$4^m$、$4^n$的数值，我们可以联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，逆用该法则可得$4^{m+n}=4^m·4^n$。先计算出$4^m·4^n$的结果，再将其转化为以4为底的幂的形式，根据“底数不为0的两个同底数幂相等，则指数相等”的性质，即可求出m+n的值。
【解析】
解：$\because 4^m=32$，$4^n=2$
$\therefore 4^m·4^n=32×2=64$
由同底数幂的乘法法则可得$4^{m+n}=64$
又$\because 64=4^3$
$\therefore 4^{m+n}=4^3$
$\therefore m+n=3$
【答案】
3
【知识点】
同底数幂的乘法；逆用幂的运算性质
【点评】
本题主要考查同底数幂乘法公式的灵活运用，解题关键是通过公式的逆用将所求的指数和转化为同底数幂的乘积运算，再将结果转化为同底数幂即可得到答案，熟练掌握幂运算公式的正、逆用法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
题目要求m+n的值，已知两个以4为底的幂$4^m$、$4^n$的数值，我们可以联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，逆用该法则可得$4^{m+n}=4^m·4^n$。先计算出$4^m·4^n$的结果，再将其转化为以4为底的幂的形式，根据“底数不为0的两个同底数幂相等，则指数相等”的性质，即可求出m+n的值。
【解析】
解：$\because 4^m=32$，$4^n=2$
$\therefore 4^m·4^n=32×2=64$
由同底数幂的乘法法则可得$4^{m+n}=64$
又$\because 64=4^3$
$\therefore 4^{m+n}=4^3$
$\therefore m+n=3$
【答案】
3
【知识点】
同底数幂的乘法；逆用幂的运算性质
【点评】
本题主要考查同底数幂乘法公式的灵活运用，解题关键是通过公式的逆用将所求的指数和转化为同底数幂的乘积运算，再将结果转化为同底数幂即可得到答案，熟练掌握幂运算公式的正、逆用法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
1. 下列各式的运算结果为$a^{14}$的是（
A.$a^3· a^4· a^7· a$
B.$(-a)^5· (-a)^9$
C.$-a^8· (-a)^6$
D.$a^7+a^7$
B
）A.$a^3· a^4· a^7· a$
B.$(-a)^5· (-a)^9$
C.$-a^8· (-a)^6$
D.$a^7+a^7$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查同底数幂的乘法、合并同类项等相关运算，解题思路如下：首先回忆相关运算规则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项时，同类项系数相加，字母和字母的指数不变；负数的奇次幂为负，偶次幂为正。接下来逐一计算每个选项的运算结果，和$a^{14}$对比即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据同底数幂的乘法法则，$a^3· a^4· a^7· a = a^{3+4+7+1}=a^{15}$，不符合要求；
B选项：同底数幂相乘，底数不变指数相加，$(-a)^5· (-a)^9=(-a)^{5+9}=(-a)^{14}$，因为14是偶数，所以$(-a)^{14}=a^{14}$，符合要求；
C选项：先计算$(-a)^6=a^6$，则$-a^8· (-a)^6=-a^8·a^6=-a^{8+6}=-a^{14}$，不符合要求；
D选项：$a^7+a^7$是合并同类项，结果为$2a^7$，不符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.同底数幂的乘法
2.合并同类项
3.乘方的符号判定
【点评】
本题属于基础运算题，解题时要注意区分同底数幂乘法和合并同类项的运算规则，同时处理含负号的幂运算时，要先根据指数的奇偶性判断符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
本题考查同底数幂的乘法、合并同类项等相关运算，解题思路如下：首先回忆相关运算规则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项时，同类项系数相加，字母和字母的指数不变；负数的奇次幂为负，偶次幂为正。接下来逐一计算每个选项的运算结果，和$a^{14}$对比即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据同底数幂的乘法法则，$a^3· a^4· a^7· a = a^{3+4+7+1}=a^{15}$，不符合要求；
B选项：同底数幂相乘，底数不变指数相加，$(-a)^5· (-a)^9=(-a)^{5+9}=(-a)^{14}$，因为14是偶数，所以$(-a)^{14}=a^{14}$，符合要求；
C选项：先计算$(-a)^6=a^6$，则$-a^8· (-a)^6=-a^8·a^6=-a^{8+6}=-a^{14}$，不符合要求；
D选项：$a^7+a^7$是合并同类项，结果为$2a^7$，不符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.同底数幂的乘法
2.合并同类项
3.乘方的符号判定
【点评】
本题属于基础运算题，解题时要注意区分同底数幂乘法和合并同类项的运算规则，同时处理含负号的幂运算时，要先根据指数的奇偶性判断符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
2. 下列各式中，计算过程正确的是（
A.$x^3 + x^3 = x^{3+3} = x^6$
B.$x^3 · x^3 = 2x^3 = x^6$
C.$x · x^3 · x^5 = x^{0+3+5} = x^8$
D.$x^2 · (-x)^3 = -x^{2+3} = -x^5$
D
）A.$x^3 + x^3 = x^{3+3} = x^6$
B.$x^3 · x^3 = 2x^3 = x^6$
C.$x · x^3 · x^5 = x^{0+3+5} = x^8$
D.$x^2 · (-x)^3 = -x^{2+3} = -x^5$
答案
2. D
解析
【分析】
这道题主要考查同底数幂的乘法法则、合并同类项法则以及幂的符号运算规则，解题时我们逐个分析每个选项的运算过程，对照相应法则判断正误即可。首先要明确3个核心规则：1. 合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变；2. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加；3. 单独的x的指数是1不是0，负数的奇次幂结果为负。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：$x^3 + x^3$是合并同类项，正确结果应为$2x^3$，选项误用同底数幂乘法法则计算加法，运算错误；
B选项：$x^3 · x^3$是同底数幂相乘，按照法则应为$x^{3+3}=x^6$，选项中间步骤混淆乘法和加法运算，错误写成$2x^3$，运算错误；
C选项：单独的$x$的指数为1，因此$x · x^3 · x^5 = x^{1+3+5}=x^9$，选项误将$x$的指数看作0，运算错误；
D选项：先计算$(-x)^3=-x^3$（负数的奇次幂为负），再计算同底数幂乘法：$x^2 · (-x)^3 = x^2 · (-x^3) = -x^{2+3}=-x^5$，运算过程完全正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；合并同类项；乘方符号运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对整式加法和同底数幂乘法法则的区分，解题时要注意不要混淆两类运算的指数变化规则，遇到带负号的幂时要先判断符号再计算。
【难度系数】
0.8
这道题主要考查同底数幂的乘法法则、合并同类项法则以及幂的符号运算规则，解题时我们逐个分析每个选项的运算过程，对照相应法则判断正误即可。首先要明确3个核心规则：1. 合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变；2. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加；3. 单独的x的指数是1不是0，负数的奇次幂结果为负。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：$x^3 + x^3$是合并同类项，正确结果应为$2x^3$，选项误用同底数幂乘法法则计算加法，运算错误；
B选项：$x^3 · x^3$是同底数幂相乘，按照法则应为$x^{3+3}=x^6$，选项中间步骤混淆乘法和加法运算，错误写成$2x^3$，运算错误；
C选项：单独的$x$的指数为1，因此$x · x^3 · x^5 = x^{1+3+5}=x^9$，选项误将$x$的指数看作0，运算错误；
D选项：先计算$(-x)^3=-x^3$（负数的奇次幂为负），再计算同底数幂乘法：$x^2 · (-x)^3 = x^2 · (-x^3) = -x^{2+3}=-x^5$，运算过程完全正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；合并同类项；乘方符号运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对整式加法和同底数幂乘法法则的区分，解题时要注意不要混淆两类运算的指数变化规则，遇到带负号的幂时要先判断符号再计算。
【难度系数】
0.8
