1. 如图，在$△ ABC$中，点F在边BC上，$FD ⊥ AC$于点D，$DE ⊥ AB$于点E，$AD=CF$，$AE=CD$，若$∠ CFD=40°$，则$∠ A=$（）


A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$

1. C

【分析】
首先观察图形条件，由DE垂直AB、FD垂直AC，可判断△AED和△CDF均为直角三角形；已知两组边对应相等：AE=CD、AD=CF，符合直角三角形全等的HL判定条件，先证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，将所求∠A转化为和它相等的∠C；再在Rt△CDF中利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠C的度数，即可得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵$DE ⊥ AB$，$FD ⊥ AC$
∴$∠ AED = ∠ CDF = 90°$，即△AED和△CDF都是直角三角形
在$Rt△ AED$和$Rt△ CDF$中：
$\begin{cases}AE=CD \\AD=CF\end{cases}$
∴$Rt△ AED ≌ Rt△ CDF$（HL）
∴$∠ A = ∠ C$
在$Rt△ CDF$中，$∠ CFD=40°$，$∠ CDF=90°$
∴$∠ C = 90° - ∠ CFD = 90° - 40° = 50°$
∴$∠ A = ∠ C = 50°$
【答案】
C
【知识点】
直角三角形全等的判定（HL）、全等三角形的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题，解题核心是先通过HL判定直角三角形全等，实现角度的等量转化，再结合直角三角形的角度性质计算未知角，难度较低，重点考查对全等判定和性质的基础运用能力。
【难度系数】
0.7

2. 如图，已知 $AB ⊥ CD$，垂足为 $B$，$BC = BE$，若直接应用 “HL” 判定 $△ ABC ≌ △ DBE$，则需要添加的一个条件是。

2. AC=DE

【分析】
首先明确“HL”判定的规则：HL是判定两个直角三角形全等的专属定理，需满足两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，即可判定全等。第一步先梳理已知条件：1、由$AB⊥CD$可得$∠ABC=∠DBE=90°$，说明$△ ABC$和$△ DBE$都是直角三角形，满足HL的适用前提；2、已知$BC=BE$，是两个直角三角形的一组对应直角边相等。此时要使用HL判定全等，还缺少斜边对应相等的条件，$△ ABC$的斜边为$AC$，$△ DBE$的斜边为$DE$，因此添加$AC=DE$即可符合HL的判定要求。
【解析】
解：$\because AB⊥ CD$，
$\therefore ∠ ABC=∠ DBE=90°$，即$△ ABC$和$△ DBE$均为直角三角形。
已知$BC=BE$（一组直角边对应相等），根据HL判定定理，要使$\mathrm{Rt}△ ABC≌ \mathrm{Rt}△ DBE$，需要斜边对应相等，即添加条件$AC=DE$。
【答案】
$AC=DE$
【知识点】
HL判定定理、直角三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点检验对HL判定定理的理解，要注意HL仅适用于直角三角形，使用时需先确认三角形为直角三角形，再对应匹配相等的斜边和直角边，不要混淆HL和一般三角形全等的判定条件。
【难度系数】
0.8

3. 如图，$AC ⊥ BC$，$AD ⊥ BD$，垂足分别是C，D，若要用“HL”得到$\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ BAD$，则应添加的条件是.（写一种即可）

3. AC=BD（或BC=AD）

【分析】
要使用“HL”证明两个直角三角形全等，首先要明确“HL”的判定条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。观察图形可知，Rt△ABC和Rt△BAD的斜边是公共边AB，已经满足斜边相等的条件，因此只需要补充一组对应直角边相等即可。
【解析】
∵$AC⊥BC$，$AD⊥BD$，
∴$∠ C=∠ D=90°$，即$△ ABC$和$△ BAD$都是直角三角形。
两个三角形的斜边$AB$为公共边，因此$AB=BA$，已经满足HL判定中斜边相等的要求。
根据HL判定规则，只需再添加一组直角边对应相等即可证明全等，因此可添加条件：$AC=BD$（或$BC=AD$）。
【答案】
$AC=BD$（或$BC=AD$，任选其一即可）
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）
2. 公共边的性质
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定的应用，解题关键是先梳理出两个直角三角形已经具备的相等边，再结合HL的判定要求补充缺失的条件，属于基础类考题，需注意HL仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8

4. 如图，$AB ⊥ BD$，垂足为B，$ED ⊥ BD$，垂足为D，$AB = CD$，$AC = CE$，则$∠ ACE =$ 。

4. 90°

【分析】
首先根据题目给出的垂直条件，可确定△ABC和△CDE均为直角三角形，结合已知的两组边相等（AB=CD，AC=CE），可利用HL定理证明两个直角三角形全等；再根据全等三角形对应角相等，得到角的等量关系，结合直角三角形两锐角互余、平角为180°的性质，即可求出∠ACE的度数。
【解析】
∵ $ AB ⊥ BD $，$ ED ⊥ BD $，
∴ $ ∠ B = ∠ D = 90° $，即 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 和 $ \mathrm{Rt}△ CDE $ 都是直角三角形。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 和 $ \mathrm{Rt}△ CDE $ 中：
$\begin{cases}AB = CD \\AC = CE\end{cases}$
∴ $ \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ CDE $（HL）。
∴ $ ∠ A = ∠ DCE $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ A + ∠ ACB = 90° $，
将$ ∠ A $替换为$ ∠ DCE $，得：$ ∠ DCE + ∠ ACB = 90° $。
又
∵ B、C、D三点共线，$ ∠ BCD = 180° $，
∴ $ ∠ ACE = 180° - (∠ ACB + ∠ DCE) = 180° - 90° = 90° $。
【答案】
$ 90° $
【知识点】
HL判定全等，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是先通过HL证明直角三角形全等，再借助角的等量代换推导待求角的度数，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

5. 如图，已知 $DB ⊥ AB$，垂足为 $B$，$DF ⊥ AC$，垂足为 $F$. 若 $AB = CF$，$DA=DC$，求证：$AD$ 平分 $∠ BAC$.

5. 证明 因为 $DB ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
所以$∠B=∠DFC=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ADB$ 和 $\mathrm{Rt}△CDF$ 中，$\begin{cases} AD=CD, \\ AB=CF, \end{cases}$
所以 $\mathrm{Rt}△ADB≌\mathrm{Rt}△CDF$（HL）.
所以 $DB=DF$.
在 $\mathrm{Rt}△ADB$ 和 $\mathrm{Rt}△ADF$ 中，$\begin{cases} AD=AD, \\ DB=DF, \end{cases}$
所以 $\mathrm{Rt}△ADB≌\mathrm{Rt}△ADF$（HL）.
所以$∠BAD=∠FAD$.
所以 $AD$ 平分$∠BAC$.

【分析】
要证明AD平分∠BAC，本质是证明∠BAD=∠FAD。题目给出了多个垂直条件，存在多个直角三角形，可结合直角三角形特有的全等判定定理HL解题：第一步先利用已知的AD=CD、AB=CF，证明Rt△ADB和Rt△CDF全等，得到DB=DF；第二步利用公共边AD和刚得到的DB=DF，证明Rt△ADB和Rt△ADF全等，即可得到对应角相等，完成证明。
【解析】
证明：因为 $DB ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
所以$∠ B=∠ DFC=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ADB$ 和 $\mathrm{Rt}△CDF$ 中，$\begin{cases} AD=CD, \\ AB=CF, \end{cases}$
所以 $\mathrm{Rt}△ADB≌\mathrm{Rt}△CDF$（HL）.
所以 $DB=DF$.
在 $\mathrm{Rt}△ADB$ 和 $\mathrm{Rt}△ADF$ 中，$\begin{cases} AD=AD, \\ DB=DF, \end{cases}$
所以 $\mathrm{Rt}△ADB≌\mathrm{Rt}△ADF$（HL）.
所以$∠ BAD=∠ FAD$.
所以 $AD$ 平分$∠ BAC$.
【答案】
AD平分$∠ BAC$，证明过程见解析。
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 角平分线的定义
【点评】
本题是直角三角形全等判定的基础应用题，解题核心是通过两次直角三角形全等的证明逐步推导角相等，需注意HL定理仅适用于直角三角形全等的判定。
【难度系数】
0.7