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7. (★★)一个几何体的三视图如图29.2-52,它的俯视图为菱形。请写出该几何体的形状,并根据图中所给的数据求出它的侧面积。
答案
几何体形状为直四棱柱，侧面积为$80\,cm^2$。
解析
该几何体是直四棱柱（底面为菱形）。
侧面积计算：
直棱柱侧面积公式：$S_{侧}=底面周长×高$。
俯视图菱形对角线长分别为4cm（主视图宽）和3cm（左视图宽）。
菱形边长$a=\sqrt{(\frac{4}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=\sqrt{6.25}=2.5\,cm$。
底面周长$C=4a=4×2.5=10\,cm$。
高$h=8\,cm$。
侧面积$S_{侧}=10×8=80\,cm^2$。
侧面积计算：
直棱柱侧面积公式：$S_{侧}=底面周长×高$。
俯视图菱形对角线长分别为4cm（主视图宽）和3cm（左视图宽）。
菱形边长$a=\sqrt{(\frac{4}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=\sqrt{6.25}=2.5\,cm$。
底面周长$C=4a=4×2.5=10\,cm$。
高$h=8\,cm$。
侧面积$S_{侧}=10×8=80\,cm^2$。
8. (★★)长方体的主视图、俯视图如图29.2-53所示,则其左视图的面积为【
A.3
B.4
C.12
D.16
A
】A.3
B.4
C.12
D.16
答案
A
解析
由主视图知长方体的长为4、高为1，由俯视图知长方体的长为4、宽为3，所以左视图的宽为3、高为1，面积为3×1=3。
9. (★★)图29.2-54是一个几何体的三视图,则这个几何体的侧面积是【
A.$18\ cm^{2}$
B.$20\ cm^{2}$
C.$(18 + 2\sqrt{3})\ cm^{2}$
D.$(18 + 4\sqrt{3})\ cm^{2}$
A
】A.$18\ cm^{2}$
B.$20\ cm^{2}$
C.$(18 + 2\sqrt{3})\ cm^{2}$
D.$(18 + 4\sqrt{3})\ cm^{2}$
答案
A
解析
由三视图可知该几何体为直三棱柱，底面为三角形（俯视图），侧棱长为3cm（主视图与左视图标高）。俯视图是底边长2cm的三角形，主视图和左视图均为矩形，可判断底面为等边三角形（边长2cm）。直三棱柱侧面积=底面周长×侧棱长，底面周长=2+2+2=6cm，侧面积=6×3=18cm²。
10. (★★)某几何体的三视图如图29.2-55,根据图中数据,求得该几何体的体积为【
A.$60\pi$
B.$70\pi$
C.$90\pi$
D.$160\pi$
B
】A.$60\pi$
B.$70\pi$
C.$90\pi$
D.$160\pi$
答案
B
解析
由三视图可知该几何体为空心圆柱，高为10。俯视图为圆环，外圆直径8（半径4），内圆直径6（半径3）。底面积为π×4² - π×3²=7π，体积=底面积×高=7π×10=70π。
11. (★★)图29.2-56是某个几何体的表面展开图。
(1)画出该几何体的三视图；
(2)求该几何体的体积。
(1)画出该几何体的三视图；
(2)求该几何体的体积。
答案
(1) 三视图如图所示
(2) $120\pi$。
解析
(1) 三视图：
主视图：下方为矩形（长12，宽6），上方为等腰三角形（底6，高4），底边与矩形上底边重合；
俯视图：直径为6的圆；
左视图：与主视图相同。
(2) 体积：
圆柱体积：$V_1 = \pi r^2 h_1 = \pi × 3^2 × 12 = 108\pi$；
圆锥高：$h_2 = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$；
圆锥体积：$V_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi × 3^2 × 4 = 12\pi$；
总体积：$V = V_1 + V_2 = 108\pi + 12\pi = 120\pi$。
主视图：下方为矩形（长12，宽6），上方为等腰三角形（底6，高4），底边与矩形上底边重合；
俯视图：直径为6的圆；
左视图：与主视图相同。
(2) 体积：
圆柱体积：$V_1 = \pi r^2 h_1 = \pi × 3^2 × 12 = 108\pi$；
圆锥高：$h_2 = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$；
圆锥体积：$V_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi × 3^2 × 4 = 12\pi$；
总体积：$V = V_1 + V_2 = 108\pi + 12\pi = 120\pi$。
