17.如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点D在BC边上,点E在AC边上,连接AD,DE.已知$\angle 1= \angle 2$,$AD= DE$.
(1)求证$\triangle ABD\cong \triangle DCE$；
(2)若$BD= 3,CD= 5$,求AE的长.

【解析】：(1)本题可根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质得出相关角相等，再结合已知条件，利用“$AAS$”定理来证明$\triangle ABD\cong \triangle DCE$。
(2)由全等三角形的性质得出对应边相等，进而求出$AE$的长。
【答案】：证明：(1)
∵$AB = AC$，
∴$\angle B = \angle C$（等边对等角）。
∵$\angle 1 = \angle 2$，$\angle ADC = \angle B + \angle 1=\angle 2+\angle EDC$，
∴$\angle B = \angle EDC$（等量代换）。
在$\triangle ABD$和$\triangle DCE$中，
$\begin{cases}\angle B = \angle C\\\angle 1 = \angle 2\\AD = DE\end{cases}$
∴$\triangle ABD\cong \triangle DCE(AAS)$。
(2)
∵$\triangle ABD\cong \triangle DCE$，
∴$AB = CD = 5$，$CE = BD = 3$（全等三角形的对应边相等）。
∵$AB = AC = 5$，
∴$AE = AC - CE = 5 - 3 = 2$。

18.如图所示,在平面直角坐标系中,$A(4,1),B(-4,-2),C(1,-3)$.
(1)作出$\triangle ABC$关于x轴对称的图形$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$,并写出点$B_{1}$的坐标；
(2)在x轴上作出点P,使得$PB+PC$最短,并写出点P的坐标.

【解析】：
(1) 要作出$\triangle ABC$关于$x$轴对称的图形$\triangle A_1B_1C_1$，我们只需要将每个点的$y$坐标取相反数即可。
对于点$B(-4, -2)$，其关于$x$轴对称的点$B_1$的坐标为$(-4, 2)$。
(2) 要在$x$轴上找到点$P$，使得$PB + PC$最短，可以通过以下步骤：
作点$C$关于$x$轴的对称点$C'(1, 3)$。
连接$B$和$C'$，交$x$轴于点$P$。
通过两点式方程，我们可以得到直线$BC'$的方程。
设$B(-4, -2)$，$C'(1, 3)$，则直线$BC'$的斜率$k = \frac{3 - (-2)}{1 - (-4)} = \frac{5}{5} = 1$。
因此，直线$BC'$的方程为$y - (-2) = 1(x + 4)$，即$y = x + 2$。
令$y = 0$，解得$x = -2$。
所以，点$P$的坐标为$(-2, 0)$。
【答案】：
(1) 点$B_1$的坐标为$(-4, 2)$。
(2) 点$P$的坐标为$(-2, 0)$。

19. 2025年央视春节联欢晚会上,十几个人形机器人身着秧歌服、手持红手帕登上舞台后爆火,并带动整个人形机器人的畅销.某公司推出了A,B两款人形机器人.
(1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元.该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？
(2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售,并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少20%.根据网上预约的情况,该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时,B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件.该公司每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？

(1)设该公司生产的B款人形机器人每件的成本是$x$万元，则A款人形机器人每件的成本是$(x + 2)$万元。
根据题意得：$5(x + 2)=6x$
解得：$x = 10$
则$x + 2=10 + 2 = 12$
答：该公司生产的A款人形机器人每件的成本是12万元，B款人形机器人每件的成本是10万元。
(2)设该公司每件A款人形机器人在网上的售价是$y$万元，则每件B款人形机器人的售价是$(1 - 20\%)y=0.8y$万元。
根据题意得：$\frac{600}{0.8y}-\frac{600}{y}=10$
解得：$y = 15$
经检验，$y = 15$是原方程的解，且符合题意。
答：该公司每件A款人形机器人在网上的售价是15万元。