登录
3. 下面四个图形 $ a $、$ b $、$ c $、$ d $ 都是平面图形。
(1)数一数每个图形中各有多少个顶点,多少条边,这些边圈出了多少个区域,并将结果填写在下表中。
|图形|顶点数|边数|区域数|
| $ a $ | $ 4 $ | $ 6 $ | $ 3 $ |
| $ b $ | | | |
| $ c $ | | | |
| $ d $ | | | |
(2)观察上表,推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间的关系式。
(3)已知某一个平面图形的顶点数为 $ 2008 $,区域数为 $ 2007 $。根据你的推断,这个图形有多少条边？
(1)数一数每个图形中各有多少个顶点,多少条边,这些边圈出了多少个区域,并将结果填写在下表中。
|图形|顶点数|边数|区域数|
| $ a $ | $ 4 $ | $ 6 $ | $ 3 $ |
| $ b $ | | | |
| $ c $ | | | |
| $ d $ | | | |
(2)观察上表,推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间的关系式。
(3)已知某一个平面图形的顶点数为 $ 2008 $,区域数为 $ 2007 $。根据你的推断,这个图形有多少条边？
这个图形有$4013$条边。
答案
这个图形有$4013$条边。
解析
（1）
| 图形 | 顶点数 | 边数 | 区域数 |
| --- | --- | --- | --- |
| a | 4 | 6 | 3 |
| b | 8 | 12 | 5 |
| c | 6 | 9 | 4 |
| d | 10 | 15 | 6 |
（2）设顶点数为$V$，边数为$E$，区域数为$F$，关系式为$V + F-2=E$（或$V + F = E + 2$）。
（3）由$V + F = E + 2$，可得$E=V + F - 2$，把$V = 2008$，$F = 2007$代入，$E=2008 + 2007-2 = 4013$。
| 图形 | 顶点数 | 边数 | 区域数 |
| --- | --- | --- | --- |
| a | 4 | 6 | 3 |
| b | 8 | 12 | 5 |
| c | 6 | 9 | 4 |
| d | 10 | 15 | 6 |
（2）设顶点数为$V$，边数为$E$，区域数为$F$，关系式为$V + F-2=E$（或$V + F = E + 2$）。
（3）由$V + F = E + 2$，可得$E=V + F - 2$，把$V = 2008$，$F = 2007$代入，$E=2008 + 2007-2 = 4013$。
如图,将一个正三角形的每边分别 $ 2 $、$ 3 $、$ 4 $ 等分,得到的相同的小正三角形依次有多少个？观察下面的图形,如果将正三角形的每边 $ 10 $ 等分,那么得到的相同的小正三角形有多少个？
答案
4，9，16；100
解析
每边2等分：$2^2=4$个
每边3等分：$3^2=9$个
每边4等分：$4^2=16$个
规律：每边$n$等分时，小正三角形个数为$n^2$。
每边10等分时：$10^2=100$个
每边3等分：$3^2=9$个
每边4等分：$4^2=16$个
规律：每边$n$等分时，小正三角形个数为$n^2$。
每边10等分时：$10^2=100$个
