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单项式与多项式相乘
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的，再把所得的积，即 $ p(a + b + c) = $.
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的，再把所得的积，即 $ p(a + b + c) = $.
答案
每一项；相加；$pa + pb + pc$
解析
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 $p(a + b + c) = pa + pb + pc$。
【例1】计算：
(1) $(4a - b^{2})( - b)$；
(2) $(\frac{2}{3}a - \frac{4}{9})( - 9a) - a( - 6a + 4)$.
(1) $(4a - b^{2})( - b)$；
(2) $(\frac{2}{3}a - \frac{4}{9})( - 9a) - a( - 6a + 4)$.
答案
(1) $(4a - b^{2})( - b)$
$=4a · (-b) - b^{2} · (-b)$
$=-4ab + b^{3}$
(2) $(\frac{2}{3}a - \frac{4}{9})( - 9a) - a( - 6a + 4)$
$=\frac{2}{3}a · (-9a) - \frac{4}{9} · (-9a) + 6a^{2} - 4a$
$=-6a^{2} + 4a + 6a^{2} - 4a$
$=0$
$=4a · (-b) - b^{2} · (-b)$
$=-4ab + b^{3}$
(2) $(\frac{2}{3}a - \frac{4}{9})( - 9a) - a( - 6a + 4)$
$=\frac{2}{3}a · (-9a) - \frac{4}{9} · (-9a) + 6a^{2} - 4a$
$=-6a^{2} + 4a + 6a^{2} - 4a$
$=0$
【变式1】计算：
(1) $- 4xy(xy + 3x^{2}y)$；
(2) $- 2ab(2a^{2} + ab - 2b^{2})$.
(1) $- 4xy(xy + 3x^{2}y)$；
(2) $- 2ab(2a^{2} + ab - 2b^{2})$.
答案
(1)
$- 4xy(xy + 3x^{2}y)$
$=-4xy · xy+(-4xy)·(3x^{2}y)$
$=-4x^{1 + 1}y^{1+1}-12x^{1 + 2}y^{1 + 1}$
$=-4x^{2}y^{2}-12x^{3}y^{2}$
(2)
$- 2ab(2a^{2} + ab - 2b^{2})$
$=(-2ab)·(2a^{2})+(-2ab)·(ab)-(-2ab)·(2b^{2})$
$=-4a^{1+2}b - 2a^{1 + 1}b^{1+1}+4ab^{1+2}$
$=-4a^{3}b - 2a^{2}b^{2}+4ab^{3}$
$- 4xy(xy + 3x^{2}y)$
$=-4xy · xy+(-4xy)·(3x^{2}y)$
$=-4x^{1 + 1}y^{1+1}-12x^{1 + 2}y^{1 + 1}$
$=-4x^{2}y^{2}-12x^{3}y^{2}$
(2)
$- 2ab(2a^{2} + ab - 2b^{2})$
$=(-2ab)·(2a^{2})+(-2ab)·(ab)-(-2ab)·(2b^{2})$
$=-4a^{1+2}b - 2a^{1 + 1}b^{1+1}+4ab^{1+2}$
$=-4a^{3}b - 2a^{2}b^{2}+4ab^{3}$
【例2】如果一个长方形的周长为20，其中长为$ a $，那么该长方形的面积为().
A.$ 10a $
B.$ 10a - a^{2} $
C.$ 20a $
D.$ 10a + a^{2} $
A.$ 10a $
B.$ 10a - a^{2} $
C.$ 20a $
D.$ 10a + a^{2} $
答案
B
解析
已知长方形的周长为20，长为$ a $，设宽为$ b $。
根据周长公式：$2(a + b) = 20$，
可得：$a + b = 10$，
解得：$b = 10 - a$。
长方形的面积公式为：$S = a × b$，
将$b = 10 - a$代入面积公式中，得到：
$S = a(10 - a) = 10a - a^{2}$。
根据周长公式：$2(a + b) = 20$，
可得：$a + b = 10$，
解得：$b = 10 - a$。
长方形的面积公式为：$S = a × b$，
将$b = 10 - a$代入面积公式中，得到：
$S = a(10 - a) = 10a - a^{2}$。
【变式2】一个长方体的长、宽、高分别为$ 2x - 1 $，$ 2x $，$ x^{2} $，则它的体积等于().
A.$ 4x^{4} - 4x^{2} $
B.$ 4x^{4} - 2x^{3} $
C.$ 4x^{3} - 2x^{2} $
D.$ 4x^{4} $
A.$ 4x^{4} - 4x^{2} $
B.$ 4x^{4} - 2x^{3} $
C.$ 4x^{3} - 2x^{2} $
D.$ 4x^{4} $
答案
B
解析
长方体的体积 $V$ 为长、宽、高的乘积，即：
$V = (2x - 1) × 2x × x^{2}$
首先计算 $(2x - 1) × 2x$：
$(2x - 1) × 2x = 4x^{2} - 2x$
然后将上述结果与 $x^{2}$ 相乘：
$(4x^{2} - 2x) × x^{2} = 4x^{4} - 2x^{3}$
$V = (2x - 1) × 2x × x^{2}$
首先计算 $(2x - 1) × 2x$：
$(2x - 1) × 2x = 4x^{2} - 2x$
然后将上述结果与 $x^{2}$ 相乘：
$(4x^{2} - 2x) × x^{2} = 4x^{4} - 2x^{3}$
1. 计算：$ 2a(a^{2} - b) $等于().
A.$ a^{3} - ab $
B.$ 2a^{3} - ab $
C.$ 2a^{2} - 2ab $
D.$ 2a^{3} - 2ab $
A.$ a^{3} - ab $
B.$ 2a^{3} - ab $
C.$ 2a^{2} - 2ab $
D.$ 2a^{3} - 2ab $
答案
D
解析
根据单项式与多项式相乘的运算法则，将单项式 $2a$ 分别与多项式 $a^{2} - b$ 中的每一项相乘，再把所得的积相加。
$2a$ 乘以 $a^{2}$ 得 $2a× a^{2}=2a^{1 + 2}=2a^{3}$；$2a$ 乘以 $-b$ 得 $2a×(-b)=-2ab$。
所以 $2a(a^{2}-b)=2a^{3}-2ab$。
$2a$ 乘以 $a^{2}$ 得 $2a× a^{2}=2a^{1 + 2}=2a^{3}$；$2a$ 乘以 $-b$ 得 $2a×(-b)=-2ab$。
所以 $2a(a^{2}-b)=2a^{3}-2ab$。
2. 一个木制的长方体箱子的长、宽、高分别为$ 2x + 5 $，$ x $，$ 2x $，则这个木制的长方体箱子的体积为().
A.$ 4x^{3} + 10x^{2} $
B.$ 4x^{3} + 10x $
C.$ 4x^{2} + 10x $
D.$ 4x^{2} + 10x^{3} $
A.$ 4x^{3} + 10x^{2} $
B.$ 4x^{3} + 10x $
C.$ 4x^{2} + 10x $
D.$ 4x^{2} + 10x^{3} $
答案
A
解析
长方体箱子的体积为长、宽、高的乘积，即$V = (2x + 5) × x × 2x$。
先计算$x × 2x = 2x^{2}$，
再计算$(2x + 5) × 2x^{2}$，
根据单项式乘多项式法则：$m(a+b)=ma+mb$，
可得$(2x + 5) × 2x^{2}=2x×2x^{2}+5×2x^{2}=4x^{3}+10x^{2}$。
先计算$x × 2x = 2x^{2}$，
再计算$(2x + 5) × 2x^{2}$，
根据单项式乘多项式法则：$m(a+b)=ma+mb$，
可得$(2x + 5) × 2x^{2}=2x×2x^{2}+5×2x^{2}=4x^{3}+10x^{2}$。
3. 计算：$ - 2x(x + 2y - 1) = $.
答案
$-2x^{2}-4xy + 2x$
解析
根据单项式与多项式相乘的运算法则，将单项式 $-2x$ 分别与多项式 $x + 2y - 1$ 中的每一项相乘，再把所得的积相加。
$-2x(x + 2y - 1)=-2x× x+(-2x)×2y+(-2x)×(-1)=-2x^{2}-4xy + 2x$。
$-2x(x + 2y - 1)=-2x× x+(-2x)×2y+(-2x)×(-1)=-2x^{2}-4xy + 2x$。
4. 若$ 2x(x - 3) = ax^{2} + bx $，则$ a - b = $.
答案
8
解析
先将左边展开：$2x(x - 3) = 2x · x - 2x · 3 = 2x^2 - 6x$，
所以$ax^2 + bx = 2x^2 - 6x$，
比较系数得：$a = 2$，$b = -6$，
因此$a - b = 2 - (-6) = 2 + 6 = 8$。
所以$ax^2 + bx = 2x^2 - 6x$，
比较系数得：$a = 2$，$b = -6$，
因此$a - b = 2 - (-6) = 2 + 6 = 8$。
5. 计算：
(1) $ (- 2a^{2})(3ab^{2} - 5ab^{3}) $；
(2) $ (a^{2} - 2ab + 3)( - 3a^{2})^{2} $.
(1) $ (- 2a^{2})(3ab^{2} - 5ab^{3}) $；
(2) $ (a^{2} - 2ab + 3)( - 3a^{2})^{2} $.
答案
(1) $(-2a^{2})(3ab^{2}-5ab^{3})$
$=(-2a^{2})·3ab^{2}+(-2a^{2})·(-5ab^{3})$
$=-6a^{3}b^{2}+10a^{3}b^{3}$
(2) $(a^{2}-2ab + 3)(-3a^{2})^{2}$
$=(a^{2}-2ab + 3)·9a^{4}$
$=a^{2}·9a^{4}-2ab·9a^{4}+3·9a^{4}$
$=9a^{6}-18a^{5}b + 27a^{4}$
$=(-2a^{2})·3ab^{2}+(-2a^{2})·(-5ab^{3})$
$=-6a^{3}b^{2}+10a^{3}b^{3}$
(2) $(a^{2}-2ab + 3)(-3a^{2})^{2}$
$=(a^{2}-2ab + 3)·9a^{4}$
$=a^{2}·9a^{4}-2ab·9a^{4}+3·9a^{4}$
$=9a^{6}-18a^{5}b + 27a^{4}$
