1. 计算 $3x^{2}y· (-4xy^{4})$，结果是()。

A.$7x^{2}y^{4}$
B.$-7x^{3}y^{5}$
C.$12x^{2}y^{4}$
D.$-12x^{3}y^{5}$

D

根据单项式乘单项式的法则，系数与系数相乘，同底数的幂相乘，
对于 $3x^{2}y · (-4xy^{4})$，
系数相乘：$3 × (-4) = -12$，
$x$ 的幂相乘：$x^{2} · x = x^{2+1} = x^{3}$，
$y$ 的幂相乘：$y · y^{4} = y^{1+4} = y^{5}$，
所以 $3x^{2}y · (-4xy^{4}) = -12x^{3}y^{5}$。

2. 下列运算中，正确的是()。

A.$3a^{2}· 2a^{3}=6a^{6}$
B.$-3x· 3x^{4}=-9x^{4}$
C.$2x^{3}· 3x^{5}=6x^{8}$
D.$(-2x)^{3}(-5xy^{2})=30x^{4}y^{2}$

C

A. $3a^{2} · 2a^{3} = (3 × 2) · (a^{2} · a^{3}) = 6a^{5}$，原计算错误。
B. $-3x · 3x^{4} = (-3 × 3) · (x · x^{4}) = -9x^{5}$，原计算错误。
C. $2x^{3} · 3x^{5} = (2 × 3) · (x^{3} · x^{5}) = 6x^{8}$，原计算正确。
D. $(-2x)^{3} · (-5xy^{2}) = (-8x^{3}) · (-5xy^{2}) = [(-8) × (-5)] · (x^{3} · x) · y^{2} = 40x^{4}y^{2}$，原计算错误。

3. 计算：
(1)$(2x)^{2}· x^{3}=$；
(2)$2x· (-3x^{2}y^{3})=$。

(1) $4x^{5}$
(2) $-6x^{3}y^{3}$

(1) 首先计算 $(2x)^{2}$，得到 $4x^{2}$。然后，将 $4x^{2}$ 与 $x^{3}$ 相乘，根据同底数幂相乘的性质，即 $a^{m} · a^{n} = a^{m+n}$，得到 $4x^{2} · x^{3} = 4x^{5}$。
(2) 根据单项式乘单项式的法则，系数与系数相乘，得到 $2 × (-3) = -6$。字母部分，$x$ 与 $x^{2}$ 相乘，根据同底数幂相乘的性质，得到 $x^{1+2} = x^{3}$，$y^{3}$ 保持不变。所以，$2x · (-3x^{2}y^{3}) = -6x^{3}y^{3}$。

4. 计算：
（1）$-2x^{2}yz· (-\frac{1}{6}xy^{2}z)· 9xyz^{2}$；
（2）$(-\frac{1}{8}ab)(-4a^{2}b)+6a· (-2ab)^{2}$。

（1）原式$=[(-2)×(-\frac{1}{6})×9]·(x^{2}· x· x)·(y· y^{2}· y)·(z· z· z^{2})$
$=3x^{4}y^{4}z^{4}$
（2）原式$=[(-\frac{1}{8})×(-4)]·(a· a^{2})·(b· b)+6a·[(-2)^{2}a^{2}b^{2}]$
$=\frac{1}{2}a^{3}b^{2}+6a·4a^{2}b^{2}$
$=\frac{1}{2}a^{3}b^{2}+24a^{3}b^{2}$
$=\frac{49}{2}a^{3}b^{2}$

5. 若()$· xy = 3x^{2}y^{2}$，则括号内应该填写的单项式是()。

A.$-3y$
B.$3xy$
C.$-3xy$
D.$3x^{2}y$

B

设括号内应填的单项式为 $k$，根据题意有 $k · xy = 3x^{2}y^{2}$。
将等式两边同时除以 $xy$，得到 $k = \frac{3x^{2}y^{2}}{xy}$。
根据单项式的除法运算法则，化简得 $k = 3xy$。
对比选项，确定答案为B。

6. 已知 $-2x^{m}y^{2}$ 与 $4x^{2}y^{n - 1}$ 的积与 $-x^{4}y^{3}$ 是同类项，则 $mn$ 的值为()。

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

C

首先，计算$-2x^{m}y^{2}$与$4x^{2}y^{n-1}$的积：
$-2x^{m}y^{2} · 4x^{2}y^{n-1} = -8x^{m+2}y^{n+1}$，
根据题意，这个积与$-x^{4}y^{3}$是同类项，所以它们的字母部分（包括指数）必须相同。
因此，有以下两个方程：
$m + 2 = 4$，
$n + 1 = 3$，
解这两个方程，得到：
$m = 2$，
$n = 2$，
所以，$mn = 2 × 2 = 4$。

7. 如果表示 3xyz，表示 −2abcd，那=。

-12a²c³mn

根据题意，三角形符号顶点为m，下两顶点为n和2，对应3xyz的规则，得该三角形表示3×m×n×2=6mn；方框符号内左上角为2，右上角为3，对应-2a^b c^d的规则，得该方框表示$-2a^2 c^3。$两者相乘：$6mn×(-2a^2 c^3)=[6×(-2)]×a^2×m×n×c^3=-12a^2 c^3 mn。$

8. 如果 $x^{2}y^{3}\lt0$，那么化简 $-2xy· |-\frac{1}{2}x^{6}(-y)^{7}| = $。

因为$x^{2}y^{3}\lt0$，$x^{2}\gt0$，所以$y^{3}\lt0$，即$y\lt0$。
化简$-2xy· |-\frac{1}{2}x^{6}(-y)^{7}|$：
1. 计算绝对值内式子：$-\frac{1}{2}x^{6}(-y)^{7}=-\frac{1}{2}x^{6}(-y^{7})=\frac{1}{2}x^{6}y^{7}$；
2. 因为$y\lt0$，所以$y^{7}\lt0$，则$\frac{1}{2}x^{6}y^{7}\lt0$，故$|\frac{1}{2}x^{6}y^{7}|=-\frac{1}{2}x^{6}y^{7}$；
3. 原式变为$-2xy·(-\frac{1}{2}x^{6}y^{7})$，系数相乘：$-2×(-\frac{1}{2})=1$，同底数幂相乘：$x·x^{6}=x^{7}$，$y·y^{7}=y^{8}$，结果为$x^{7}y^{8}$。
$x^{7}y^{8}$

9. 先化简，再求值：
$(-2a^{2}b^{3})(-ab^{2})^{2}+(-\frac{1}{2}a^{2}b^{3})^{2}· 4b$，其中 $a = 2$，$b = 1$。

-16

化简过程：
1. 计算第一项：$(-2a^{2}b^{3})(-ab^{2})^{2}$
$=(-2a^{2}b^{3})(a^{2}b^{4})$（先算积的乘方：$(-ab^{2})^{2}=a^{2}b^{4}$）
$=-2×1· a^{2+2}· b^{3+4}$（系数相乘，同底数幂相乘指数相加）
$=-2a^{4}b^{7}$
2. 计算第二项：$(-\frac{1}{2}a^{2}b^{3})^{2}·4b$
$=(\frac{1}{4}a^{4}b^{6})·4b$（先算积的乘方：$(-\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$，$(a^{2})^{2}=a^{4}$，$(b^{3})^{2}=b^{6}$）
$=\frac{1}{4}×4· a^{4}· b^{6+1}$（系数相乘，同底数幂相乘指数相加）
$=a^{4}b^{7}$
3. 合并两项：$-2a^{4}b^{7}+a^{4}b^{7}=-a^{4}b^{7}$
代入求值：
当$a=2$，$b=1$时，
原式$=-(2)^{4}·(1)^{7}=-16×1=-16$

10. （运算能力）若 $1 + 2 + 3 + ··· + n = m$，求 $(ab^{n})· (a^{2}b^{n - 1})· ··· · (a^{n - 1}b^{2})· (a^{n}b)$ 的值。

$\begin{aligned}&\because 1 + 2 + 3 + ··· + n = m,\\& 原式中 a 的指数和为：1 + 2 + ··· + n = m,\\& 原式中 b 的指数和为：n + (n - 1) + ··· + 1 = m,\\&\therefore 原式=a^m · b^m=(ab)^m.\end{aligned}$
$(ab)^m$