7. 如果 $ a = -1^{2} $，$ b = (3 - \pi)^{0} $，$ c = \left( -\dfrac{1}{10} \right)^{-1} $，那么 $ a, b, c $ 的大小关系为()。

A.$ a = b ＞ c $
B.$ b ＞ a ＞ c $
C.$ c ＞ b = a $
D.$ c ＞ a ＞ b $

B

首先计算 $a$ 的值：
$a = -1^{2} = - (1^{2}) = -1$，（注意与$(-1)^2=1$区别），
接着计算 $b$ 的值：
由于任何非零数的0次幂都是1，所以
$b = (3 - \pi)^{0} = 1$，
最后计算 $c$ 的值：
$c = \left( -\dfrac{1}{10} \right)^{-1} = -10$，
（因为负指数表示取倒数，即 $\left( -\dfrac{1}{10} \right)^{-1} = \frac{1}{-\frac{1}{10}} = -10$），
现在，比较这三个数的大小：
$1 ＞ -1 ＞ -10$，
即 $b ＞ a ＞ c$。

8. 计算 $ (x^{-1} + y^{-1}) ÷ (x^{-1} - y^{-1}) $，结果为()。

A.$ \dfrac{x + y}{x - y} $
B.$ \dfrac{x - y}{x + y} $
C.$ \dfrac{y + x}{y - x} $
D.$ \dfrac{y - x}{y + x} $

C

原式$=(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})÷(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y})=(\dfrac{y+x}{xy})÷(\dfrac{y-x}{xy})=\dfrac{y+x}{xy}×\dfrac{xy}{y-x}=\dfrac{x+y}{y-x}$

9. 已知实数 $ a, b $ 满足 $ (a - 2)^{2} + | b + 1 | = 0 $，则 $ a^{b} = $ 。

$\frac{1}{2}（或 0.5）$

根据题意有：$(a - 2)^{2} + |b + 1| = 0$，
因为$(a - 2)^{2}$为非负数，$|b + 1|$也为非负数，
要使两者之和为$0$，则两者都必须为$0$，
即：$a - 2 = 0$，
得：$a = 2$，
$b + 1 = 0$，
得：$b = -1$，
代入$a^{b}$得：$2^{-1} = \frac{1}{2}$，
所以$a^{b}=\frac{1}{2}（或 0.5）$，

10. 若 $ (x - 1)^{0} - (3x - 6)^{-2} $ 有意义，则 $ x $ 的取值范围是。

$x \neq 1$ 且 $x \neq 2$（或写成集合形式 $x \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}$）根据题目要求填入范围类答案（若为填空题形式则直接填写范围描述）。

要使 $(x - 1)^0 - (3x - 6)^{-2}$ 有意义，需满足：
1. $(x - 1)^0$ 有意义，则 $x - 1 \neq 0$，即 $x \neq 1$；
2. $(3x - 6)^{-2}$ 有意义，则 $3x - 6 \neq 0$，即 $x \neq 2$。
综上，$x$ 的取值范围是 $x \neq 1$ 且 $x \neq 2$。

11. 计算：
(1) $ 8ab^{2}c ÷ (-4a^{-2}bc^{-1}) · \left( -\dfrac{1}{3}ab^{-3} \right)^{2} $；
(2) $ \left( \dfrac{a^{-2} - b^{-2}}{a^{-1} - b^{-1}} \right)^{2} · (a^{-1} + b^{-1})^{-2} $。

(1)
$原式 = 8ab^{2}c ÷ (-4a^{-2}bc^{-1}) · \left( \frac{1}{9}a^{2}b^{-6} \right)$
$= 8ab^{2}c ÷ (-4a^{-2}bc^{-1}) · \frac{a^{2}b^{-6}}{9}$
$= 8ab^{2}c · \frac{a^{2}c}{ -4b} · \frac{a^{2}}{9b^{6}}$
$= 8 · \frac{1}{-4} · \frac{1}{9} · a^{1+2+2} · b^{2-1-6} · c^{1+1} $
$= - \frac{2}{9}a^{5}b^{-5}c^{2} $
$= - \frac{2a^{5}c^{2}}{9b^{5}}$
(2)
$原式= \left[ \frac{a^{-2} - b^{-2}}{a^{-1} - b^{-1}} \right]^{2} · \frac{1}{(a^{-1} + b^{-1})^{2}} $
$= \left[ \frac{\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} \right]^{2} · \frac{1}{\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)^{2}} $
$= \left[ \frac{(b - a)(b + a)}{a^{2}b^{2}} · \frac{ab}{b - a} \right]^{2} · \frac{a^{2}b^{2}}{(a + b)^{2}} $
$= \left( \frac{b + a}{ab} \right)^{2} · \frac{a^{2}b^{2}}{(a + b)^{2}} $
$= \frac{(a + b)^{2}}{a^{2}b^{2}} · \frac{a^{2}b^{2}}{(a + b)^{2}} $
$= 1$

12. (运算能力) 对实数 $ a, b $，定义运算 $ ☆ $ 如下：$ a☆b = \begin{cases}a^{b}(a ＞ b, a \neq 0), \\ a^{-b}(a \leq b, a \neq 0),\end{cases}$ 例如 $ 2☆3 = 2^{-3} = \dfrac{1}{8} $。计算：$ [2☆(-4)]☆1 =$ ______ $$ 。

解：
1. 计算内层运算 $2☆(-4)$：
比较 $2$ 与 $-4$ 的大小：$2 ＞ -4$，且 $a = 2 \neq 0$，
根据定义 $a☆b = a^b$（$a ＞ b$，$a \neq 0$），得：$2☆(-4) = 2^{-4}$，
计算 $2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$。
2. 计算外层运算 $\left(\frac{1}{16}\right)☆1$：
比较 $\frac{1}{16}$ 与 $1$ 的大小：$\frac{1}{16} ＜ 1$，且 $a = \frac{1}{16} \neq 0$，
根据定义 $a☆b = a^{-b}$（$a \leq b$，$a \neq 0$），得：$\left(\frac{1}{16}\right)☆1 = \left(\frac{1}{16}\right)^{-1}$，
计算 $\left(\frac{1}{16}\right)^{-1} = 16$。
结论：$16$

13. (几何直观) (1) 仔细观察如图的图形，利用面积关系写出一个等式：$ a^{2} + b^{2} =\_\_\_\_\_$ ；
(2) 根据(1)中的等式关系解决问题：已知 $ m + n = 4 $，$ mn = -2 $，求 $ m^{2} + n^{2} $ 的值；
(3) 小明根据(1)中的关系式还解决了以下问题。
已知 $ m + \dfrac{1}{m} = 3 $，求 $ m^{2} + \dfrac{1}{m^{2}} $ 和 $ m^{3} + \dfrac{1}{m^{3}} $ 的值。
小明的解法：
$ m^{2} + \dfrac{1}{m^{2}} = \left( m + \dfrac{1}{m} \right)^{2} - 2 = 3^{2} - 2 = 7 $。
$ \because \left( m + \dfrac{1}{m} \right) \left( m^{2} + \dfrac{1}{m^{2}} \right) = m^{3} + \dfrac{1}{m} + m + \dfrac{1}{m^{3}} $，
$ \therefore m^{3} + \dfrac{1}{m^{3}} = \left( m + \dfrac{1}{m} \right) \left( m^{2} + \dfrac{1}{m^{2}} \right) - \left( m + \dfrac{1}{m} \right) = 3 × 7 - 3 = 18 $。
请你仔细理解小明的解法，求 $ m^{5} + m^{-5} $ 的值。

(1) $(a + b)^2 - 2ab$；(2) $20$；(3) $123$

(1) $(a + b)^2 - 2ab$
(2) $\because m + n = 4$，$mn = -2$，$\therefore m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn = 4^2 - 2×(-2) = 16 + 4 = 20$
(3) $\because m + \frac{1}{m} = 3$，$m^2 + \frac{1}{m^2} = 7$，$m^3 + \frac{1}{m^3} = 18$
$\therefore m^4 + \frac{1}{m^4} = \left(m^2 + \frac{1}{m^2}\right)^2 - 2 = 7^2 - 2 = 47$
$m^5 + m^{-5} = m^5 + \frac{1}{m^5} = \left(m + \frac{1}{m}\right)\left(m^4 + \frac{1}{m^4}\right) - \left(m^3 + \frac{1}{m^3}\right) = 3×47 - 18 = 141 - 18 = 123$