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3. 定义一种运算 $ ☆ $，其规则为 $ a☆b = a^{-b} $，根据这个规则计算 $ 2☆3 $ 的值是。
答案
【解析】：根据题中定义，运算规则为 $ a☆b = a^{-b} $，因此 $ 2☆3 = 2^{-3} $。
根据负整数指数幂的定义，$ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} $。
【答案】：$\frac{1}{8}$ (或填写为 $ 0.125 $ ，依据题目具体要求，此处填分数形式更规范)
由于返回格式要求填空内容，最终答案为：
【答案】：$\boxed{\dfrac{1}{8}}$
根据负整数指数幂的定义，$ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} $。
【答案】：$\frac{1}{8}$ (或填写为 $ 0.125 $ ，依据题目具体要求，此处填分数形式更规范)
由于返回格式要求填空内容，最终答案为：
【答案】：$\boxed{\dfrac{1}{8}}$
4. 计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式。
(1) $ (a^{-1}b^{2})^{3} $；
(2) $ (a^{-2}b^{2}) · (a^{2}b^{-2})^{-3} $。
(1) $ (a^{-1}b^{2})^{3} $；
(2) $ (a^{-2}b^{2}) · (a^{2}b^{-2})^{-3} $。
答案
(1) 原式$=a^{-3}b^{6}=\frac{b^{6}}{a^{3}}$
(2) 原式$=(a^{-2}b^{2})·(a^{-6}b^{6})=a^{-8}b^{8}=\frac{b^{8}}{a^{8}}$
(2) 原式$=(a^{-2}b^{2})·(a^{-6}b^{6})=a^{-8}b^{8}=\frac{b^{8}}{a^{8}}$
5. 已知整数 $ a $ 满足 $ \left( \dfrac{1}{8} \right)^{-a} = 8^{0} × 4^{-3} × 2^{3} $，试求 $ a $ 的值。
答案
$a=-1$
解析
解：
因为$\left( \dfrac{1}{8} \right)^{-a} = 8^{a}$，$8 = 2^{3}$，所以左边$=8^{a}=(2^{3})^{a}=2^{3a}$。
右边：$8^{0}=1$，$4^{-3}=(2^{2})^{-3}=2^{-6}$，则右边$=1×2^{-6}×2^{3}=2^{-6+3}=2^{-3}$。
由$2^{3a}=2^{-3}$，得$3a=-3$，解得$a=-1$。
因为$\left( \dfrac{1}{8} \right)^{-a} = 8^{a}$，$8 = 2^{3}$，所以左边$=8^{a}=(2^{3})^{a}=2^{3a}$。
右边：$8^{0}=1$，$4^{-3}=(2^{2})^{-3}=2^{-6}$，则右边$=1×2^{-6}×2^{3}=2^{-6+3}=2^{-3}$。
由$2^{3a}=2^{-3}$，得$3a=-3$，解得$a=-1$。
1. (1) (2025 昆明期中) 要使代数式 $ (5 - x)^{0} $ 有意义，则 $ x $ 的取值范围是 ；
(2) 若代数式 $ (x - 3)^{-1} $ 有意义，则 $ x $ 的取值范围是 。
(2) 若代数式 $ (x - 3)^{-1} $ 有意义，则 $ x $ 的取值范围是 。
答案
(1) $x \ne 5$；
(2) $x \ne 3$。
(2) $x \ne 3$。
解析
(1) 零的零指数幂无意义，
所以，要使$(5 - x)^{0}$有意义，则$5 - x \ne 0$，
解得$x \ne 5$。
(2) 负整数指数幂的底数不能为零，
要使$ (x - 3)^{-1} $有意义，
则$x - 3 \ne 0$，
解得$x \ne 3$。
所以，要使$(5 - x)^{0}$有意义，则$5 - x \ne 0$，
解得$x \ne 5$。
(2) 负整数指数幂的底数不能为零，
要使$ (x - 3)^{-1} $有意义，
则$x - 3 \ne 0$，
解得$x \ne 3$。
2. 计算：(1) $ 3^{-2} =\_\_\_\_\_$ ；(2) $ (\sqrt{3} - 1)^{0} =\_\_\_\_\_$ ；(3) $ \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{-1}\_\_\_\_\_= $ 。
答案
(1) $\frac{1}{9}$
(2) $1$
(3) $-2$
(2) $1$
(3) $-2$
解析
(1) 根据负整数指数幂的定义，$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$，所以 $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$。
(2) 根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂都是1，所以$(\sqrt{3} - 1)^{0} = 1$。
(3) 根据负整数指数幂的定义，$\left( -\frac{1}{2} \right)^{-1} = -2$。
(2) 根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂都是1，所以$(\sqrt{3} - 1)^{0} = 1$。
(3) 根据负整数指数幂的定义，$\left( -\frac{1}{2} \right)^{-1} = -2$。
3. 计算：
(1) (2025 昆明期末) $ (\pi - 4)^{0} - (-1)^{2025} + \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-1} $；
(2) $ (2 - \pi)^{0} + | \sqrt{3} - 3 | - \sqrt[3]{27} - \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{-2} $。
(1) (2025 昆明期末) $ (\pi - 4)^{0} - (-1)^{2025} + \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-1} $；
(2) $ (2 - \pi)^{0} + | \sqrt{3} - 3 | - \sqrt[3]{27} - \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{-2} $。
答案
(1)
根据零指数幂的性质，任何非零数的0次幂都等于1，所以$(\pi - 4)^{0} = 1$。
$(-1)^{2025} = -1$，因为奇数次幂的负一结果仍为负一。
根据负整数指数幂的性质，$\left( \dfrac{1}{2} \right)^{-1} = 2$。
综合以上三点，原式
$= 1 - (-1) + 2$
$= 1 + 1 + 2$
$= 4$
(2)
根据零指数幂的性质，$(2 - \pi)^{0} = 1$。
$|\sqrt{3} - 3| = |- (3 - \sqrt{3})| = 3 - \sqrt{3}$，因为$\sqrt{3} ＜ 3$。
$\sqrt[3]{27} = 3$。
根据负整数指数幂的性质，$\left( -\dfrac{1}{2} \right)^{-2} = 4$。
综合以上四点，原式
$= 1 + (3 - \sqrt{3}) - 3 - 4$
$= 1 + 3 - \sqrt{3} - 3 - 4$
$= -3 - \sqrt{3}$
根据零指数幂的性质，任何非零数的0次幂都等于1，所以$(\pi - 4)^{0} = 1$。
$(-1)^{2025} = -1$，因为奇数次幂的负一结果仍为负一。
根据负整数指数幂的性质，$\left( \dfrac{1}{2} \right)^{-1} = 2$。
综合以上三点，原式
$= 1 - (-1) + 2$
$= 1 + 1 + 2$
$= 4$
(2)
根据零指数幂的性质，$(2 - \pi)^{0} = 1$。
$|\sqrt{3} - 3| = |- (3 - \sqrt{3})| = 3 - \sqrt{3}$，因为$\sqrt{3} ＜ 3$。
$\sqrt[3]{27} = 3$。
根据负整数指数幂的性质，$\left( -\dfrac{1}{2} \right)^{-2} = 4$。
综合以上四点，原式
$= 1 + (3 - \sqrt{3}) - 3 - 4$
$= 1 + 3 - \sqrt{3} - 3 - 4$
$= -3 - \sqrt{3}$
4. 计算 $ (a^{-2})^{3}(ab^{2})^{-2} $，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式为()。
A.$ \dfrac{1}{a^{6}b^{4}} $
B.$ \dfrac{b^{4}}{a^{6}} $
C.$ \dfrac{b^{4}}{a^{8}} $
D.$ \dfrac{1}{a^{8}b^{4}} $
A.$ \dfrac{1}{a^{6}b^{4}} $
B.$ \dfrac{b^{4}}{a^{6}} $
C.$ \dfrac{b^{4}}{a^{8}} $
D.$ \dfrac{1}{a^{8}b^{4}} $
答案
D
解析
原式$=a^{-2×3} · a^{-2}b^{2×(-2)} = a^{-6} · a^{-2}b^{-4} = a^{-6-2}b^{-4} = a^{-8}b^{-4} = \dfrac{1}{a^{8}b^{4}}$
5. 下列计算：① $ 1^{-3} = 0.0001 $；② $ 0.0001^{0} = 1 $；③ $ (-x)^{3} ÷ (-x)^{5} = -x^{-2} $；④ $ 3a^{-2} = \dfrac{1}{3a^{2}} $；⑤ $ (-a)^{3m} ÷ a^{m} = (-1)^{m}a^{2m} $。其中正确的有。(填序号)
答案
②⑤
解析
①$1^{-3}=1\neq0.0001$，所以①错误。
②根据$a^0 = 1(a\neq0)$，$0.0001^0 = 1$，所以②正确。
③根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m - n}(a\neq0,m,n\in Z)$，$(-x)^3÷(-x)^5=(-x)^{3 - 5}=(-x)^{-2}=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}\neq - x^{-2}$，所以③错误。
④根据负整数指数幂的定义$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a\neq0,p\in N^+)$，$3a^{-2}=3×\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a^2}\neq\frac{1}{3a^2}$，所以④错误。
⑤根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m - n}(a\neq0,m,n\in Z)$，$(-a)^{3m}÷ a^{m}=(-1)^{3m}a^{3m}÷ a^{m}=(-1)^{3m}a^{3m - m}=(-1)^{m}a^{2m}$，所以⑤正确。
②根据$a^0 = 1(a\neq0)$，$0.0001^0 = 1$，所以②正确。
③根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m - n}(a\neq0,m,n\in Z)$，$(-x)^3÷(-x)^5=(-x)^{3 - 5}=(-x)^{-2}=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}\neq - x^{-2}$，所以③错误。
④根据负整数指数幂的定义$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a\neq0,p\in N^+)$，$3a^{-2}=3×\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a^2}\neq\frac{1}{3a^2}$，所以④错误。
⑤根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m - n}(a\neq0,m,n\in Z)$，$(-a)^{3m}÷ a^{m}=(-1)^{3m}a^{3m}÷ a^{m}=(-1)^{3m}a^{3m - m}=(-1)^{m}a^{2m}$，所以⑤正确。
6. 计算：
(1) $ (x^{2}y^{-1})^{2} · (x^{-1}y^{2})^{3} ÷ (-x^{-1}y)^{4} $；
(2) $ \left( -\dfrac{1}{2}a \right)^{-3} · (-3a^{2}b^{-3})^{-2} $。
(1) $ (x^{2}y^{-1})^{2} · (x^{-1}y^{2})^{3} ÷ (-x^{-1}y)^{4} $；
(2) $ \left( -\dfrac{1}{2}a \right)^{-3} · (-3a^{2}b^{-3})^{-2} $。
答案
(1) 原式$=(x^{4}y^{-2})·(x^{-3}y^{6})÷(x^{-4}y^{4})$
$=x^{4-3}y^{-2+6}÷(x^{-4}y^{4})$
$=xy^{4}÷(x^{-4}y^{4})$
$=x^{1-(-4)}y^{4-4}$
$=x^{5}$
(2) 原式$=(-2)^{3}a^{-3}·\left(\frac{1}{9}a^{-4}b^{6}\right)$
$=-8a^{-3}·\frac{1}{9}a^{-4}b^{6}$
$=-\frac{8}{9}a^{-7}b^{6}$
$=-\frac{8b^{6}}{9a^{7}}$
$=x^{4-3}y^{-2+6}÷(x^{-4}y^{4})$
$=xy^{4}÷(x^{-4}y^{4})$
$=x^{1-(-4)}y^{4-4}$
$=x^{5}$
(2) 原式$=(-2)^{3}a^{-3}·\left(\frac{1}{9}a^{-4}b^{6}\right)$
$=-8a^{-3}·\frac{1}{9}a^{-4}b^{6}$
$=-\frac{8}{9}a^{-7}b^{6}$
$=-\frac{8b^{6}}{9a^{7}}$
