6. 如图 1 - 1 - 10,房间左右两侧是竖直的墙壁,一根鱼竿斜靠在左墙时,鱼竿底端到左墙的距离为 0.7 m,顶端距离地面 2.4 m。若鱼竿底端位置保持不动,将鱼竿斜靠在右墙时,顶端距离地面 1.5 m,则房间的宽度为多少米？

解:由题意可得 $AD^{2}=0.7^{2}+2.4^{2}=6.25$，AD = AC。在Rt△ABC中，因为∠ABC = 90°，BC = 1.5 m，$BC^{2}+AB^{2}=AC^{2}$，所以 $AB^{2}+1.5^{2}=6.25$，所以 $AB^{2}=4$。因为 AB＞0，所以 AB = 2。所以房间的宽度为 0.7 + 2 = 2.7(m)。

解:由题意得，在$Rt\triangle ADE$中，$DE=2.4\ m$，$AE=0.7\ m$，
则$AD^{2}=AE^{2}+DE^{2}=0.7^{2}+2.4^{2}=0.49 + 5.76=6.25$，
所以$AD=\sqrt{6.25}=2.5\ m$，
因为鱼竿长度不变，所以$AC=AD=2.5\ m$，
在$Rt\triangle ABC$中，$BC=1.5\ m$，$\angle ABC=90^{\circ}$，
由勾股定理得$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，
即$AB^{2}+1.5^{2}=2.5^{2}$，
$AB^{2}=2.5^{2}-1.5^{2}=6.25 - 2.25=4$，
所以$AB=\sqrt{4}=2\ m$，
房间的宽度为$AE + AB=0.7 + 2=2.7\ m$。

1. 如图 1 - 1 - 11,在△ABC 中,∠ACB = 90°,AC = 3,BC = 4,点 D 在边 AB 上,AD = AC,AE ⊥ CD,垂足为 F,与 BC 交于点 E,则 BE 的长是。

$\frac{5}{2}$

解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，则$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
因为$AD=AC=3$，所以$BD=AB-AD=5-3=2$。
$AE\perp CD$，$AD=AC$，故$AE$为$CD$的垂直平分线，所以$CE=DE$。
设$BE=x$，则$CE=BC-BE=4-x$，$DE=CE=4-x$。
在$\triangle BDE$中，$\angle B$为公共角，$\triangle ABC\sim\triangle DBE$（此处省略相似证明步骤），则$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{AB}$，即$\frac{x}{4}=\frac{2}{5}$，解得$x=\frac{8}{5}$。（注：原相似思路有误，正确解法如下）
在$Rt\triangle ABC$中，$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$。在$\triangle BDE$中，由余弦定理：$DE^2=BE^2+BD^2-2\cdot BE\cdot BD\cdot\cos B$，即$(4-x)^2=x^2+2^2-2\cdot x\cdot2\cdot\frac{4}{5}$，展开得$16-8x+x^2=x^2+4-\frac{16}{5}x$，移项化简：$16-4=8x-\frac{16}{5}x$，$12=\frac{24}{5}x$，解得$x=\frac{5}{2}$。
所以$BE$的长是$\frac{5}{2}$。
$\frac{5}{2}$

1. 将下列长度的三条线段首尾顺次相接后,能组成直角三角形的是()。
A.$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{5}$
B.1,2,3
C.4,6,8
D.7,24,25

D

A. $\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{5}\right)^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{41}{400}$，$\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}\approx0.111$，$\frac{41}{400}=0.1025\neq0.111$，不能组成直角三角形。
B. $1+2=3$，不能组成三角形。
C. $4^2+6^2=16+36=52$，$8^2=64$，$52\neq64$，不能组成直角三角形。
D. $7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，$7^2+24^2=25^2$，能组成直角三角形。
结论：D

2. 下列各组数是勾股数的是()。
A.$\frac{1}{6}$,$\frac{1}{8}$,$\frac{1}{10}$
B.5,12,13
C.1.5,2,2.5
D.$3a$,$4a$,$5a$

B

勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，即$a^2 + b^2 = c^2$，其中$a$、$b$、$c$为正整数。
选项A：$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{10}$不是正整数，不是勾股数。
选项B：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，且5，12，13是正整数，是勾股数。
选项C：1.5，2，2.5不是正整数，不是勾股数。
选项D：当$a$不是正整数时，$3a$，$4a$，$5a$不是正整数，不一定是勾股数。
B

3. 如图 1-2-1,在小正方形组成的网格中,有$AB$,$CD$,$EF$,$GH$四条线段,下列选项中,能组成直角三角形的三条线段是()。

A.$AB$,$CD$,$EF$
B.$AB$,$CD$,$GH$
C.$AB$,$EF$,$GH$
D.$CD$,$EF$,$GH$

B

设小正方形边长为1。
$AB^2=1^2+2^2=5$，$CD^2=2^2+2^2=8$，$EF^2=1^2+3^2=10$，$GH^2=1^2+1^2=2$。
$AB^2+GH^2=5+2=7≠8=CD^2$，$AB^2+CD^2=5+8=13≠10=EF^2$，$CD^2+GH^2=8+2=10=EF^2$。
能组成直角三角形的三条线段是CD，EF，GH。
D