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6. 如图，在长方形纸片 $ ABCD $ 中. 点 $ E $，$ F $ 分别在边 $ AB $，$ CD $ 上，连接 $ EF $. 将 $ \angle BEF $ 对折，点 $ B $ 落在直线 $ EF $ 上的点 $ B' $ 处，得折痕 $ EM $；将 $ \angle AEF $ 对折，点 $ A $ 落在直线 $ EF $ 上的点 $ A' $ 处，得折痕 $ EN $，则 $ \angle NEM $ 的度数是 （
A.$ 90^{\circ} $
B.$ 100^{\circ} $
C.$ 120^{\circ} $
D.$ 80^{\circ} $
A
）A.$ 90^{\circ} $
B.$ 100^{\circ} $
C.$ 120^{\circ} $
D.$ 80^{\circ} $
答案
A
解析
∵四边形$ABCD$是长方形，
$\therefore \angle AEB = 180°$。
由折叠性质得：$\angle AEN=\angle A'EN=\frac{1}{2}\angle AEF$，$\angle BEM=\angle B'EM=\frac{1}{2}\angle BEF$。
$\because \angle AEF + \angle BEF = \angle AEB = 180°$，
$\therefore \angle NEM=\angle A'EN+\angle B'EM=\frac{1}{2}(\angle AEF + \angle BEF)=\frac{1}{2}×180° = 90°$。
A
7. 如图，已知直线 $ AB $，$ CD $ 相交于点 $ O $，$ OE $ 平分 $ \angle COB $. 若 $ \angle EOB = 55^{\circ} $，则 $ \angle BOD $ 的度数是
70°
.答案
70°
解析
解：
∵OE平分∠COB，∠EOB=55°，
∴∠COB=2∠EOB=2×55°=110°.
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠COB+∠BOD=180°，
∴∠BOD=180°-∠COB=180°-110°=70°.
70°
∵OE平分∠COB，∠EOB=55°，
∴∠COB=2∠EOB=2×55°=110°.
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠COB+∠BOD=180°，
∴∠BOD=180°-∠COB=180°-110°=70°.
70°
8. 如图，点 $ O $ 在直线 $ AB $ 上，射线 $ OC $ 平分 $ \angle DOB $. 若 $ \angle DOC = 35^{\circ} $，则 $ \angle AOD $ 的度数是
110°
.答案
110°
解析
解：
∵射线 $ OC $ 平分 $ \angle DOB $，
∴ $ \angle DOB = 2\angle DOC $。
∵ $ \angle DOC = 35° $，
∴ $ \angle DOB = 2 × 35° = 70° $。
∵点 $ O $ 在直线 $ AB $ 上，
∴ $ \angle AOD + \angle DOB = 180° $，
∴ $ \angle AOD = 180° - \angle DOB = 180° - 70° = 110° $。
110°
∵射线 $ OC $ 平分 $ \angle DOB $，
∴ $ \angle DOB = 2\angle DOC $。
∵ $ \angle DOC = 35° $，
∴ $ \angle DOB = 2 × 35° = 70° $。
∵点 $ O $ 在直线 $ AB $ 上，
∴ $ \angle AOD + \angle DOB = 180° $，
∴ $ \angle AOD = 180° - \angle DOB = 180° - 70° = 110° $。
110°
9. 如图，$ OC $ 是 $ \angle AOB $ 的平分线，$ \angle COD = 25^{\circ} $，则 $ \angle DOB $ 比 $ \angle DOA $ 大
50
$ ^{\circ} $.答案
50
解析
解：设$\angle AOD = x$，$\angle BOC = \angle AOC = y$。
因为$\angle COD = 25^{\circ}$，所以$\angle AOC = \angle AOD + \angle COD$，即$y = x + 25^{\circ}$。
$\angle DOB = \angle BOC + \angle COD = y + 25^{\circ} = (x + 25^{\circ}) + 25^{\circ} = x + 50^{\circ}$。
$\angle DOB - \angle DOA = (x + 50^{\circ}) - x = 50^{\circ}$。
50
因为$\angle COD = 25^{\circ}$，所以$\angle AOC = \angle AOD + \angle COD$，即$y = x + 25^{\circ}$。
$\angle DOB = \angle BOC + \angle COD = y + 25^{\circ} = (x + 25^{\circ}) + 25^{\circ} = x + 50^{\circ}$。
$\angle DOB - \angle DOA = (x + 50^{\circ}) - x = 50^{\circ}$。
50
1. 如图，$ \angle AOC = 90^{\circ} $，$ OD $ 平分 $ \angle AOC $，$ \angle BOC = 60^{\circ} $，求 $ \angle DOB $ 的度数.
答案
解:因为∠AOC=90°,OD平分∠AOC,所以∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×90°=45°.因为∠BOC=60°,所以∠DOB=∠BOC+∠COD=60°+45°=105°.
解析
解:因为$\angle AOC = 90^{\circ}$，$OD$平分$\angle AOC$，所以$\angle COD=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}×90^{\circ}=45^{\circ}$。因为$\angle BOC = 60^{\circ}$，所以$\angle DOB=\angle BOC+\angle COD=60^{\circ}+45^{\circ}=105^{\circ}$。
2. 如图，$ BD $ 平分 $ \angle ABC $，$ \angle CBE : \angle ABE = 5 : 3 $，且 $ \angle DBE = 15^{\circ} $，求 $ \angle ABC $ 的度数.
答案
解:设∠CBE=5x°,则∠ABE=3x°,所以∠ABC=∠CBE+∠ABE=5x°+3x°=8x°,因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×8x°=4x°,因为∠ABD=∠ABE+∠DBE,∠DBE=15°,所以3x°+15°=4x°，解得x=15,所以∠ABC=8x°=8×15°=120°.
解析
解:设$\angle CBE = 5x^{\circ}$，则$\angle ABE = 3x^{\circ}$，$\angle ABC=\angle CBE+\angle ABE=5x^{\circ}+3x^{\circ}=8x^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}×8x^{\circ}=4x^{\circ}$。
又因为$\angle ABD = \angle ABE+\angle DBE$，$\angle DBE = 15^{\circ}$，所以$3x^{\circ}+15^{\circ}=4x^{\circ}$，解得$x = 15$。
因此$\angle ABC=8x^{\circ}=8×15^{\circ}=120^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}×8x^{\circ}=4x^{\circ}$。
又因为$\angle ABD = \angle ABE+\angle DBE$，$\angle DBE = 15^{\circ}$，所以$3x^{\circ}+15^{\circ}=4x^{\circ}$，解得$x = 15$。
因此$\angle ABC=8x^{\circ}=8×15^{\circ}=120^{\circ}$。
3. 如图，射线 $ OC $ 在 $ \angle AOB $ 的内部，$ OM $，$ ON $ 分别是 $ \angle AOB $，$ \angle AOC $ 的平分线.
(1) 若 $ \angle AOB = 140^{\circ} $，$ \angle AOC = 60^{\circ} $，则 $ \angle MON $ 的度数是
(2) 若 $ \angle AOB $ 的度数为 $ \alpha $，$ \angle AOC $ 的度数为 $ \beta $，则 $ \angle MON $ 是多少度？（用 $ \alpha $，$ \beta $ 表示）
(3) 请写出 $ \angle MON $ 与 $ \angle BOC $ 的数量关系，并说明理由.
(1) 若 $ \angle AOB = 140^{\circ} $，$ \angle AOC = 60^{\circ} $，则 $ \angle MON $ 的度数是
40°
；(2) 若 $ \angle AOB $ 的度数为 $ \alpha $，$ \angle AOC $ 的度数为 $ \beta $，则 $ \angle MON $ 是多少度？（用 $ \alpha $，$ \beta $ 表示）
(3) 请写出 $ \angle MON $ 与 $ \angle BOC $ 的数量关系，并说明理由.
答案
解:
(1)40°
(2)因为OM,ON分别平分∠AOB和∠AOC,且∠AOB=α,∠AOC=β,所以∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$α,∠AON=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$β,所以∠MON=∠AOM−∠AON=$\frac{1}{2}$α−$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$(α−β).
(3)∠MON=$\frac{1}{2}$∠BOC.理由如下:因为OM,ON分别平分∠AOB和∠AOC,所以∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOB,∠AON=$\frac{1}{2}$∠AOC,所以∠MON=∠AOM−∠AON=$\frac{1}{2}$∠AOB−$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠AOB−∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠BOC.
(1)40°
(2)因为OM,ON分别平分∠AOB和∠AOC,且∠AOB=α,∠AOC=β,所以∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$α,∠AON=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$β,所以∠MON=∠AOM−∠AON=$\frac{1}{2}$α−$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$(α−β).
(3)∠MON=$\frac{1}{2}$∠BOC.理由如下:因为OM,ON分别平分∠AOB和∠AOC,所以∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOB,∠AON=$\frac{1}{2}$∠AOC,所以∠MON=∠AOM−∠AON=$\frac{1}{2}$∠AOB−$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠AOB−∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠BOC.
