1. 叫作这个角的平分线.
2. 如图，因为 $ OB $ 是 $ \angle AOC $ 的平分线，所以：

(1) = = $ \frac{1}{2} $；
(2) $ \angle AOC = 2 $ = $ 2 $.
3. 如图，因为 $ OB $，$ OC $ 是 $ \angle AOD $ 的三等分线，所以：

$ \angle AOB = $ = = $ \frac{1}{3} $.

1.从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线 2.
(1)∠AOB　∠COB　∠AOC
(2)∠AOB　∠COB 3.∠BOC　∠COD　∠AOD

1. 如图，$ OC $ 是 $ \angle AOB $ 的平分线，$ OD $ 是 $ \angle BOC $ 的平分线，则下列各式正确的是 （）

A.$ \angle COD = \frac{1}{2} \angle AOC $
B.$ \angle AOD = \frac{2}{3} \angle AOB $
C.$ \angle BOD = \frac{1}{3} \angle AOB $
D.$ \angle BOC = \frac{3}{2} \angle AOB $

A

设$\angle AOB = \alpha$。
因为$OC$是$\angle AOB$的平分线，所以$\angle AOC = \angle BOC = \frac{1}{2}\alpha$。
因为$OD$是$\angle BOC$的平分线，所以$\angle BOD = \angle COD = \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{1}{2} × \frac{1}{2}\alpha = \frac{1}{4}\alpha$。
A. $\angle COD = \frac{1}{4}\alpha$，$\frac{1}{2}\angle AOC = \frac{1}{2} × \frac{1}{2}\alpha = \frac{1}{4}\alpha$，所以$\angle COD = \frac{1}{2}\angle AOC$，正确。
B. $\angle AOD = \angle AOC + \angle COD = \frac{1}{2}\alpha + \frac{1}{4}\alpha = \frac{3}{4}\alpha$，$\frac{2}{3}\angle AOB = \frac{2}{3}\alpha$，$\frac{3}{4}\alpha \neq \frac{2}{3}\alpha$，错误。
C. $\angle BOD = \frac{1}{4}\alpha$，$\frac{1}{3}\angle AOB = \frac{1}{3}\alpha$，$\frac{1}{4}\alpha \neq \frac{1}{3}\alpha$，错误。
D. $\angle BOC = \frac{1}{2}\alpha$，$\frac{3}{2}\angle AOB = \frac{3}{2}\alpha$，$\frac{1}{2}\alpha \neq \frac{3}{2}\alpha$，错误。
A

2. 如图，点 $ A $，$ O $，$ B $ 在同一条直线上，$ OE $ 平分 $ \angle BOD $，$ \angle COD = \frac{1}{3} \angle AOC $. 若 $ \angle COD = 10^{\circ} $，则 $ \angle COE $ 的度数为 （）

A.$ 80^{\circ} $
B.$ 70^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 50^{\circ} $

A

解：
∵∠COD = $\frac{1}{3}$∠AOC，∠COD = 10°，
∴∠AOC = 3∠COD = 3×10° = 30°.
∵点A，O，B在同一条直线上，
∴∠AOB = 180°，
∴∠BOD = ∠AOB - ∠AOC - ∠COD = 180° - 30° - 10° = 140°.
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$×140° = 70°.
∴∠COE = ∠COD + ∠DOE = 10° + 70° = 80°.
答案：A

3. 如图，已知 $ A $，$ O $，$ B $ 三点在同一条直线上，$ OD $ 平分 $ \angle BOC $，$ OE $ 平分 $ \angle AOC $，则 $ \angle DOE $ 的度数为 （）

A.$ 90^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 30^{\circ} $
D.$ 120^{\circ} $

A

解：
∵A，O，B三点在同一条直线上，
∴∠AOB=180°，即∠AOC+∠BOC=180°。
∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD=∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠COE=∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC。
∴∠DOE=∠COE+∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$×180°=90°。
答案：A

4. 如图，点 $ O $ 在直线 $ AB $ 上，射线 $ OC $，$ OD $ 在直线 $ AB $ 的同侧，$ \angle AOD = 40^{\circ} $，$ \angle BOC = 50^{\circ} $，$ OM $，$ ON $ 分别平分 $ \angle BOC $ 和 $ \angle AOD $，则 $ \angle MON $ 的度数为 （）

A.$ 135^{\circ} $
B.$ 140^{\circ} $
C.$ 152^{\circ} $
D.$ 45^{\circ} $

A

解：
∵点 $ O $ 在直线 $ AB $ 上，
∴$ \angle AOB = 180° $。
∵$ \angle AOD = 40° $，$ \angle BOC = 50° $，
∴$ \angle COD = \angle AOB - \angle AOD - \angle BOC = 180° - 40° - 50° = 90° $。
∵$ ON $ 平分 $ \angle AOD $，
∴$ \angle DON = \frac{1}{2}\angle AOD = \frac{1}{2} × 40° = 20° $。
∵$ OM $ 平分 $ \angle BOC $，
∴$ \angle COM = \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{1}{2} × 50° = 25° $。
∴$ \angle MON = \angle DON + \angle COD + \angle COM = 20° + 90° + 25° = 135° $。
A

5. 如图,$ O $ 为直线 $ AC $ 上一点,$ OD $ 是 $ \angle AOB $ 的平分线,$ OE $ 在 $ \angle BOC $ 的内部,$ \angle BOE = \frac{1}{3} \angle BOC $,$ \angle DOE = 72^{\circ} $,则 $ \angle EOC $ 的度数为 ()

A.$ 70^{\circ} $
B.$ 72^{\circ} $
C.$ 75^{\circ} $
D.$ 80^{\circ} $

B

设$\angle BOE = x$.
因为$\angle BOE=\frac{1}{3}\angle BOC$，所以$\angle BOC = 3x$, $\angle EOC=\angle BOC-\angle BOE=2x$.
因为$O$为直线$AC$上一点，所以$\angle AOB = 180^{\circ}-\angle BOC=180^{\circ}-3x$.
因为$OD$是$\angle AOB$的平分线，所以$\angle DOB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-3x)=90^{\circ}-\frac{3}{2}x$.
因为$\angle DOE=\angle DOB+\angle BOE=72^{\circ}$，所以$90^{\circ}-\frac{3}{2}x+x=72^{\circ}$.
解得$x = 36^{\circ}$.
所以$\angle EOC=2x=72^{\circ}$.
B