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例2 请在数轴上找到$\sqrt{8}$对应的点。
[解答] 如图,点$B为\sqrt{8}$对应的点。
[解答] 如图,点$B为\sqrt{8}$对应的点。
答案
1. 在数轴上找到表示2的点，记为点O。
2. 过点O作数轴的垂线，并在垂线上截取OA=2个单位长度。
3. 连接原点与点A，线段OA的长度为$\sqrt{2^2 + 2^2}=\sqrt{8}$。
4. 以原点为圆心，OA长为半径画弧，交数轴正半轴于点B。
5. 点B即为$\sqrt{8}$对应的点。
2. 过点O作数轴的垂线，并在垂线上截取OA=2个单位长度。
3. 连接原点与点A，线段OA的长度为$\sqrt{2^2 + 2^2}=\sqrt{8}$。
4. 以原点为圆心，OA长为半径画弧，交数轴正半轴于点B。
5. 点B即为$\sqrt{8}$对应的点。
1. 如图,数轴上的点$A$,$B分别对应实数a$,$b$,下列结论正确的是(
A.$a ＞ b$
B.$|a| ＞ |b|$
C.$-a ＜ b$
D.$a + b ＜ 0$
C
)。A.$a ＞ b$
B.$|a| ＞ |b|$
C.$-a ＜ b$
D.$a + b ＜ 0$
答案
C
解析
由数轴可知：$a ＜ 0 ＜ b$，且$|a| ＜ |b|$。
A选项：$a ＞ b$错误，应为$a ＜ b$。
B选项：$|a| ＞ |b|$错误，应为$|a| ＜ |b|$。
C选项：$-a ＜ b$，因为$|a| ＜ |b|$，所以$-a ＜ b$，正确。
D选项：$a + b ＜ 0$错误，应为$a + b ＞ 0$。
C
A选项：$a ＞ b$错误，应为$a ＜ b$。
B选项：$|a| ＞ |b|$错误，应为$|a| ＜ |b|$。
C选项：$-a ＜ b$，因为$|a| ＜ |b|$，所以$-a ＜ b$，正确。
D选项：$a + b ＜ 0$错误，应为$a + b ＞ 0$。
C
2. $-\sqrt{2}$的绝对值是(
A.$\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
A
)。A.$\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案
A
解析
$\vert -\sqrt{2}\vert=\sqrt{2}$，答案选A。
3. 一个数的平方根等于它的立方根,这个数是(
A.0
B.$-1$
C.1
D.不存在
A
)。A.0
B.$-1$
C.1
D.不存在
答案
A
解析
- 0的平方根是$\pm\sqrt{0}=0$，0的立方根是$\sqrt[3]{0}=0$，满足平方根等于立方根。
$-1$没有平方根，不满足条件。
1的平方根是$\pm\sqrt{1}=\pm1$，1的立方根是$\sqrt[3]{1}=1$，$\pm1\neq1$，不满足条件。
A
$-1$没有平方根，不满足条件。
1的平方根是$\pm\sqrt{1}=\pm1$，1的立方根是$\sqrt[3]{1}=1$，$\pm1\neq1$，不满足条件。
A
4. 如图,根据尺规作图痕迹,判断点$M$在数轴上表示的数是(
A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5} + 1$
D.$\sqrt{13}$
B
)。A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5} + 1$
D.$\sqrt{13}$
答案
B
解析
解：由作图痕迹可知，以数轴上表示-2的点为圆心，以该点到原点的距离（即2个单位长度）为半径画弧，交y轴正半轴于一点，该点坐标为(0,2)；再以该交点为圆心，以原点到表示1的点的距离（即1个单位长度）为半径画弧，交x轴正半轴于点M。
设点M表示的数为x，根据勾股定理，原点到交点(0,2)的距离为2，交点到点M的距离为1，原点到点M的距离为x，则有：
$x^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
解得 $x = \sqrt{5}$（负值舍去）。
故点M在数轴上表示的数是$\sqrt{5}$。
B
设点M表示的数为x，根据勾股定理，原点到交点(0,2)的距离为2，交点到点M的距离为1，原点到点M的距离为x，则有：
$x^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
解得 $x = \sqrt{5}$（负值舍去）。
故点M在数轴上表示的数是$\sqrt{5}$。
B
5. 若$a$,$b$互为相反数,$c$,$d$互为倒数,则$\sqrt{a + b} - \sqrt[3]{cd} = $
-1
。答案
-1
解析
因为$a$，$b$互为相反数，所以$a + b = 0$；因为$c$，$d$互为倒数，所以$cd = 1$。
则$\sqrt{a + b} - \sqrt[3]{cd} = \sqrt{0} - \sqrt[3]{1} = 0 - 1 = -1$。
$-1$
则$\sqrt{a + b} - \sqrt[3]{cd} = \sqrt{0} - \sqrt[3]{1} = 0 - 1 = -1$。
$-1$
6. 若数轴上的点$A和原点相距\sqrt{5}$个单位长度,则点$A$表示的数为
±$\sqrt{5}$
。答案
±$\sqrt{5}$
7. 在$0.6$,$\pi$,$\sqrt{3}$,$\sqrt{2}$,$\sqrt{4}$,$3.14$,$0$,$-1$,$\sqrt[3]{27}$,$0.202\ 002\ 000\ 2…$(相邻两个2之间0的个数逐次加1),$\frac{\sqrt{5}}{3}$,$\frac{22}{7}$中,整数有
4
个,有理数有7
个,无理数有5
个。答案
4 7 5
解析
整数有：$\sqrt{4}=2$，$0$，$-1$，$\sqrt[3]{27}=3$，共$4$个；
有理数有：$0.6$，$\sqrt{4}$，$3.14$，$0$，$-1$，$\sqrt[3]{27}$，$\frac{22}{7}$，共$7$个；
无理数有：$\pi$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$，$0.202\ 002\ 000\ 2…$（相邻两个$2$之间$0$的个数逐次加$1$），$\frac{\sqrt{5}}{3}$，共$5$个。
4 7 5
有理数有：$0.6$，$\sqrt{4}$，$3.14$，$0$，$-1$，$\sqrt[3]{27}$，$\frac{22}{7}$，共$7$个；
无理数有：$\pi$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$，$0.202\ 002\ 000\ 2…$（相邻两个$2$之间$0$的个数逐次加$1$），$\frac{\sqrt{5}}{3}$，共$5$个。
4 7 5
8. 化简下列各式：
(1) $|\sqrt{5} - 2|$；
(2) $|1 - \sqrt{3}|$；
(3) $|\sqrt[3]{7} - 4|$。
(1) $|\sqrt{5} - 2|$；
(2) $|1 - \sqrt{3}|$；
(3) $|\sqrt[3]{7} - 4|$。
答案
（1）$\sqrt{5}-2$（2）$\sqrt{3}-1$（3）$4-\sqrt[3]{7}$
解析
(1) $\because \sqrt{5} \approx 2.236 ＞ 2$，$\therefore |\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2$；
(2) $\because \sqrt{3} \approx 1.732 ＞ 1$，$\therefore |1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1$；
(3) $\because \sqrt[3]{7} \approx 1.913 ＜ 4$，$\therefore |\sqrt[3]{7} - 4| = 4 - \sqrt[3]{7}$。
