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1. 下列式子中，不一定属于二次根式的是 【 】
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{a}$
D.$\sqrt{\dfrac{5}{6}}$
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{a}$
D.$\sqrt{\dfrac{5}{6}}$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的判定条件：形如$\sqrt{a}$（$a≥ 0$）的式子是二次根式，核心要求是被开方数必须为非负数。本题要找“不一定属于二次根式”的选项，即判断哪个选项的被开方数可能小于0：首先观察各选项的被开方数，A、B、D的被开方数都是确定的正数，必然满足非负要求；只有C选项的被开方数是字母$a$，未限定$a$的取值范围，$a$可能为负数，此时$\sqrt{a}$无意义，不属于二次根式，即可得出答案。
【解析】
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥ 0$）的式子叫做二次根式，被开方数必须是非负数，二次根式才有意义。
选项A：$\sqrt{3}$的被开方数是$3$，$3＞0$，一定是二次根式；
选项B：$2\sqrt{2}$的被开方数是$2$，$2＞0$，一定是二次根式；
选项C：$\sqrt{a}$的被开方数是$a$，未明确$a$的取值范围，当$a≥ 0$时是二次根式，当$a＜0$时无意义，不属于二次根式，因此不一定属于二次根式；
选项D：$\sqrt{\dfrac{5}{6}}$的被开方数是$\dfrac{5}{6}$，$\dfrac{5}{6}＞0$，一定是二次根式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对二次根式定义的理解，解题时要注意：若被开方数是固定的正数，式子一定是二次根式；若被开方数是未限定取值的字母，需考虑字母取负数的情况，此时式子不一定是二次根式。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次根式的判定条件：形如$\sqrt{a}$（$a≥ 0$）的式子是二次根式，核心要求是被开方数必须为非负数。本题要找“不一定属于二次根式”的选项，即判断哪个选项的被开方数可能小于0：首先观察各选项的被开方数，A、B、D的被开方数都是确定的正数，必然满足非负要求；只有C选项的被开方数是字母$a$，未限定$a$的取值范围，$a$可能为负数，此时$\sqrt{a}$无意义，不属于二次根式，即可得出答案。
【解析】
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥ 0$）的式子叫做二次根式，被开方数必须是非负数，二次根式才有意义。
选项A：$\sqrt{3}$的被开方数是$3$，$3＞0$，一定是二次根式；
选项B：$2\sqrt{2}$的被开方数是$2$，$2＞0$，一定是二次根式；
选项C：$\sqrt{a}$的被开方数是$a$，未明确$a$的取值范围，当$a≥ 0$时是二次根式，当$a＜0$时无意义，不属于二次根式，因此不一定属于二次根式；
选项D：$\sqrt{\dfrac{5}{6}}$的被开方数是$\dfrac{5}{6}$，$\dfrac{5}{6}＞0$，一定是二次根式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对二次根式定义的理解，解题时要注意：若被开方数是固定的正数，式子一定是二次根式；若被开方数是未限定取值的字母，需考虑字母取负数的情况，此时式子不一定是二次根式。
【难度系数】
0.8
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是 【 】
A.$\sqrt{0.3}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{12}$
A.$\sqrt{0.3}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{12}$
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个是最简二次根式，首先需要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时我们只要把每个选项对照这两个条件逐一排查，排除不符合条件的选项，就能得到正确答案。
【解析】
我们根据最简二次根式的判定条件逐一分析选项：
A. $\sqrt{0.3}$：被开方数0.3是小数（可化为$\frac{3}{10}$），不是整数，不符合条件①，不是最简二次根式，可化简为$\frac{\sqrt{30}}{10}$；
B. $\sqrt{\frac{1}{2}}$：被开方数是分数，不符合条件①，不是最简二次根式，可化简为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
C. $\sqrt{7}$：被开方数7是整数，且7不存在能开得尽方的因数，同时满足两个判定条件，是最简二次根式；
D. $\sqrt{12}$：被开方数12可拆分为$4×3$，其中4是能开得尽方的因数（$\sqrt{4}=2$），不符合条件②，不是最简二次根式，可化简为$2\sqrt{3}$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对最简二次根式判定规则的掌握，解题时只需牢记两个判定标准，对每个选项逐一验证即可快速得出答案，注意判断前可先把被开方数中的小数、分数转化为整数形式，再排查是否含有完全平方因数，能有效避免判断失误。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是最简二次根式，首先需要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时我们只要把每个选项对照这两个条件逐一排查，排除不符合条件的选项，就能得到正确答案。
【解析】
我们根据最简二次根式的判定条件逐一分析选项：
A. $\sqrt{0.3}$：被开方数0.3是小数（可化为$\frac{3}{10}$），不是整数，不符合条件①，不是最简二次根式，可化简为$\frac{\sqrt{30}}{10}$；
B. $\sqrt{\frac{1}{2}}$：被开方数是分数，不符合条件①，不是最简二次根式，可化简为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
C. $\sqrt{7}$：被开方数7是整数，且7不存在能开得尽方的因数，同时满足两个判定条件，是最简二次根式；
D. $\sqrt{12}$：被开方数12可拆分为$4×3$，其中4是能开得尽方的因数（$\sqrt{4}=2$），不符合条件②，不是最简二次根式，可化简为$2\sqrt{3}$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对最简二次根式判定规则的掌握，解题时只需牢记两个判定标准，对每个选项逐一验证即可快速得出答案，注意判断前可先把被开方数中的小数、分数转化为整数形式，再排查是否含有完全平方因数，能有效避免判断失误。
【难度系数】
0.8
3. 下列二次根式不能与$\sqrt{12}$合并的是 【 】
A.$\sqrt{48}$
B.$\sqrt{1\frac{1}{3}}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{18}$
A.$\sqrt{48}$
B.$\sqrt{1\frac{1}{3}}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{18}$
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个二次根式不能与$\sqrt{12}$合并，首先明确：只有同类二次根式才能合并，同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。解题思路为：第一步先将$\sqrt{12}$化为最简二次根式，第二步分别化简四个选项的二次根式，第三步对比各选项化简后的被开方数和$\sqrt{12}$化简后的被开方数是否一致，不一致的就是不能合并的选项。
【解析】
先化简$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，化简后被开方数为3。
再逐一化简各选项：
A. $\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，被开方数为3，属于同类二次根式，可以合并；
B. $\sqrt{1\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，被开方数为3，属于同类二次根式，可以合并；
C. $\sqrt{3}$，被开方数为3，属于同类二次根式，可以合并；
D. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，和$\sqrt{12}$化简后的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能合并。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式；二次根式化简；二次根式合并
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同类二次根式的判断，解题关键是熟练掌握二次根式的化简方法，牢记只有化简后被开方数相同的二次根式才能够合并。
【难度系数】
0.8
要判断哪个二次根式不能与$\sqrt{12}$合并，首先明确：只有同类二次根式才能合并，同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。解题思路为：第一步先将$\sqrt{12}$化为最简二次根式，第二步分别化简四个选项的二次根式，第三步对比各选项化简后的被开方数和$\sqrt{12}$化简后的被开方数是否一致，不一致的就是不能合并的选项。
【解析】
先化简$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，化简后被开方数为3。
再逐一化简各选项：
A. $\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，被开方数为3，属于同类二次根式，可以合并；
B. $\sqrt{1\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，被开方数为3，属于同类二次根式，可以合并；
C. $\sqrt{3}$，被开方数为3，属于同类二次根式，可以合并；
D. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，和$\sqrt{12}$化简后的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能合并。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式；二次根式化简；二次根式合并
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同类二次根式的判断，解题关键是熟练掌握二次根式的化简方法，牢记只有化简后被开方数相同的二次根式才能够合并。
【难度系数】
0.8
4. 若二次根式$\frac{1}{\sqrt{2x - 8}}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是
$x ＞ 4$
。答案
4. x ＞ 4
解析
【分析】
要确定该代数式有意义的x的取值范围，需先明确代数式有意义的限制规则：一是分式的分母不能为0，二是二次根式的被开方数必须是非负数。本题中二次根式位于分母位置，因此既要满足被开方数非负，又要满足分母不为0，合并可得被开方数2x-8需大于0，接下来解该一元一次不等式即可得到结果。
【解析】
解：若$\frac{1}{\sqrt{2x - 8}}$在实数范围内有意义，需满足被开方数大于0（分母含二次根式，分母不能为0，因此被开方数不能等于0）：
$2x - 8 ＞ 0$
移项得：$2x ＞ 8$
两边同时除以2得：$x ＞ 4$
【答案】
$x ＞ 4$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题，主要考查代数式有意义的取值范围求解，易错点是忽略分母不能为0的限制，误将结果写为$x≥4$，解题时需注意结合二次根式的位置准确判断取值边界。
【难度系数】
0.8
要确定该代数式有意义的x的取值范围，需先明确代数式有意义的限制规则：一是分式的分母不能为0，二是二次根式的被开方数必须是非负数。本题中二次根式位于分母位置，因此既要满足被开方数非负，又要满足分母不为0，合并可得被开方数2x-8需大于0，接下来解该一元一次不等式即可得到结果。
【解析】
解：若$\frac{1}{\sqrt{2x - 8}}$在实数范围内有意义，需满足被开方数大于0（分母含二次根式，分母不能为0，因此被开方数不能等于0）：
$2x - 8 ＞ 0$
移项得：$2x ＞ 8$
两边同时除以2得：$x ＞ 4$
【答案】
$x ＞ 4$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题，主要考查代数式有意义的取值范围求解，易错点是忽略分母不能为0的限制，误将结果写为$x≥4$，解题时需注意结合二次根式的位置准确判断取值边界。
【难度系数】
0.8
5. 二次根式$\sqrt{3m}$是最简二次根式，请写出一个符合条件的$m$的值：
1(答案不唯一)
。答案
5. 1(答案不唯一)
解析
【分析】
解题需先明确最简二次根式的判定条件，再结合给定的二次根式推导m的取值要求：首先回忆最简二次根式需满足两个要求：1. 被开方数的因数是整数、因式是整式；2. 被开方数不含能开得尽方的因数或因式。本题中被开方数为3m，3是质数，本身没有能开得尽方的因数，因此只需满足：①3m≥0保证二次根式有意义；②m不含因数3，且不含其他能开得尽方的因数（如4、9等），任选一个符合要求的m值即可。
【解析】
根据最简二次根式的定义，最简二次根式需满足：
1. 被开方数的因数是整数，因式是整式；
2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
要使$\sqrt{3m}$为最简二次根式：
首先，二次根式有意义要求$3m≥0$，即$m≥0$；
其次，被开方数3m不含开得尽方的因数，已知3是质数，因此m不能含有因数3，也不能含有4、9等平方数因数。
取$m=1$时，$\sqrt{3m}=\sqrt{3}$，符合最简二次根式的要求。
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式有意义的条件
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查对最简二次根式概念的掌握，解题时需同时满足二次根式有意义和最简的两个条件，取值合理即可。
【难度系数】
0.9
解题需先明确最简二次根式的判定条件，再结合给定的二次根式推导m的取值要求：首先回忆最简二次根式需满足两个要求：1. 被开方数的因数是整数、因式是整式；2. 被开方数不含能开得尽方的因数或因式。本题中被开方数为3m，3是质数，本身没有能开得尽方的因数，因此只需满足：①3m≥0保证二次根式有意义；②m不含因数3，且不含其他能开得尽方的因数（如4、9等），任选一个符合要求的m值即可。
【解析】
根据最简二次根式的定义，最简二次根式需满足：
1. 被开方数的因数是整数，因式是整式；
2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
要使$\sqrt{3m}$为最简二次根式：
首先，二次根式有意义要求$3m≥0$，即$m≥0$；
其次，被开方数3m不含开得尽方的因数，已知3是质数，因此m不能含有因数3，也不能含有4、9等平方数因数。
取$m=1$时，$\sqrt{3m}=\sqrt{3}$，符合最简二次根式的要求。
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式有意义的条件
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查对最简二次根式概念的掌握，解题时需同时满足二次根式有意义和最简的两个条件，取值合理即可。
【难度系数】
0.9
6. 实数$a$、$b$在数轴上的位置如图所示，化简$\sqrt{b^2} + \sqrt{(a + b)^2} - |b - a|$的结果是 【 】
A.$2a + b$
B.$-2a - b$
C.$-b$
D.$b$
A.$2a + b$
B.$-2a - b$
C.$-b$
D.$b$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先观察数轴确定a、b的符号及绝对值的大小关系：a＜0，b＞0，且|b|＞|a|，据此可判断出a+b、b-a的正负性；再利用二次根式的性质√(x²)=|x|将原式转化为含绝对值的式子，最后根据绝对值的性质去绝对值、合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可知：$a＜0$，$b＞0$，且$|b|＞|a|$，因此：
$a+b＞0$，$b-a＞0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式变形得：
$\sqrt{b^2} + \sqrt{(a + b)^2} - |b - a| = |b| + |a+b| - |b-a|$
根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身）去绝对值符号：
$= b + (a+b) - (b-a)$
去括号、合并同类项：
$= b + a + b - b + a = 2a + b$
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是代数式化简的典型题型，解题核心是先通过数轴判断各代数式的正负性，再结合二次根式与绝对值的性质化简，计算时要注意去括号时的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴确定a、b的符号及绝对值的大小关系：a＜0，b＞0，且|b|＞|a|，据此可判断出a+b、b-a的正负性；再利用二次根式的性质√(x²)=|x|将原式转化为含绝对值的式子，最后根据绝对值的性质去绝对值、合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可知：$a＜0$，$b＞0$，且$|b|＞|a|$，因此：
$a+b＞0$，$b-a＞0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式变形得：
$\sqrt{b^2} + \sqrt{(a + b)^2} - |b - a| = |b| + |a+b| - |b-a|$
根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身）去绝对值符号：
$= b + (a+b) - (b-a)$
去括号、合并同类项：
$= b + a + b - b + a = 2a + b$
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是代数式化简的典型题型，解题核心是先通过数轴判断各代数式的正负性，再结合二次根式与绝对值的性质化简，计算时要注意去括号时的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
7. 下列各式中，正确的是 【 】
A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$(\sqrt{3})^2=3$
C.$\sqrt{(\pm2)^2}=\pm2$
D.$(-\sqrt{3})^2=-3$
A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$(\sqrt{3})^2=3$
C.$\sqrt{(\pm2)^2}=\pm2$
D.$(-\sqrt{3})^2=-3$
答案
B
解析
【分析】
解题需用到二次根式的核心性质和算术平方根的非负性：一是$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，二是$\sqrt{a^2}=|a|$，算术平方根的运算结果恒为非负数。解题时将四个选项分别根据上述规则计算结果，再和选项给出的结论对比，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个验证选项：
选项A：先计算根号内的平方：$(-2)^2=4$，再求算术平方根：$\sqrt{4}=2≠-2$，故A错误；
选项B：根据性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，$\sqrt{3}$中$3≥0$，因此$(\sqrt{3})^2=3$，故B正确；
选项C：根号内$(\pm2)^2=4$，算术平方根$\sqrt{4}=2$，结果只能是非负数，不能为$\pm2$，故C错误；
选项D：平方运算中负号会消去，$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3≠-3$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 算术平方根的定义
3. 平方的运算
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，解题关键是牢记二次根式运算结果的非负性，熟练掌握二次根式的两个常用化简公式，计算时注意不要出现符号错误。
【难度系数】
0.85
解题需用到二次根式的核心性质和算术平方根的非负性：一是$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，二是$\sqrt{a^2}=|a|$，算术平方根的运算结果恒为非负数。解题时将四个选项分别根据上述规则计算结果，再和选项给出的结论对比，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个验证选项：
选项A：先计算根号内的平方：$(-2)^2=4$，再求算术平方根：$\sqrt{4}=2≠-2$，故A错误；
选项B：根据性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，$\sqrt{3}$中$3≥0$，因此$(\sqrt{3})^2=3$，故B正确；
选项C：根号内$(\pm2)^2=4$，算术平方根$\sqrt{4}=2$，结果只能是非负数，不能为$\pm2$，故C错误；
选项D：平方运算中负号会消去，$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3≠-3$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 算术平方根的定义
3. 平方的运算
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，解题关键是牢记二次根式运算结果的非负性，熟练掌握二次根式的两个常用化简公式，计算时注意不要出现符号错误。
【难度系数】
0.85
8. 若$(x+5)^2 + |y - 2| + \sqrt{z + 3} = 0$，则$x + y + z$的值为 【 】
A.0
B.$-6$
C.$-4$
D.$2$
A.0
B.$-6$
C.$-4$
D.$2$
答案
B
解析
【分析】
本题可根据非负数的性质求解。首先回忆初中阶段常见的三类非负数：平方数、绝对值、算术平方根，它们的取值都大于等于0。当几个非负数的和为0时，每一个非负数都必须等于0，据此我们可以分别列出关于x、y、z的一元一次方程，求出三个未知数的值后，代入x+y+z计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 平方数、绝对值、算术平方根均为非负数，即
$(x+5)^2 ≥ 0$，$|y - 2| ≥ 0$，$\sqrt{z + 3} ≥ 0$，
且三者相加的和为0，
∴ 每一个非负数的值都为0，即：
$\begin{cases}x + 5 = 0 \\y - 2 = 0 \\z + 3 = 0\end{cases}$
分别解得：$x = -5$，$y = 2$，$z = -3$，
将值代入$x + y + z$得：
$x + y + z = -5 + 2 + (-3) = -6$。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查非负数性质的应用，熟练掌握平方、绝对值、算术平方根的非负性是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题可根据非负数的性质求解。首先回忆初中阶段常见的三类非负数：平方数、绝对值、算术平方根，它们的取值都大于等于0。当几个非负数的和为0时，每一个非负数都必须等于0，据此我们可以分别列出关于x、y、z的一元一次方程，求出三个未知数的值后，代入x+y+z计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 平方数、绝对值、算术平方根均为非负数，即
$(x+5)^2 ≥ 0$，$|y - 2| ≥ 0$，$\sqrt{z + 3} ≥ 0$，
且三者相加的和为0，
∴ 每一个非负数的值都为0，即：
$\begin{cases}x + 5 = 0 \\y - 2 = 0 \\z + 3 = 0\end{cases}$
分别解得：$x = -5$，$y = 2$，$z = -3$，
将值代入$x + y + z$得：
$x + y + z = -5 + 2 + (-3) = -6$。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查非负数性质的应用，熟练掌握平方、绝对值、算术平方根的非负性是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
9. 比较大小：$-2\sqrt{3}$
＞
$-\sqrt{15}$.(填“＞”“＜”或“=”)答案
9. ＞
解析
【分析】
要比较两个负无理数的大小，首先回忆负数比较大小的规则：两个负数比较大小，绝对值大的反而小，因此我们可以先求出两个数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据规则判断原数的大小。比较带根号的正数大小时，可利用二次根式的性质，将根号外的正因数移到根号内，通过比较被开方数的大小判断算术平方根的大小，被开方数越大，对应的算术平方根越大。
【解析】
第一步：计算两个数的绝对值
$\left|-2\sqrt{3}\right|=2\sqrt{3}$，$\left|-\sqrt{15}\right|=\sqrt{15}$
第二步：将根号外的因数移入根号内化简
根据二次根式的性质$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\ (a≥0,b≥0)$，可得：
$2\sqrt{3}=\sqrt{2^2×3}=\sqrt{12}$
第三步：比较绝对值的大小
因为$12＜15$，所以$\sqrt{12}＜\sqrt{15}$，即$\left|-2\sqrt{3}\right|＜\left|-\sqrt{15}\right|$
第四步：根据负数比较大小的规则判断
两个负数比较大小，绝对值大的反而小，因此$-2\sqrt{3}＞-\sqrt{15}$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 二次根式的化简
2. 实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，重点考查带二次根式的负数的大小比较，解题时要注意不能直接比较被开方数的大小就得出结论，需结合负数比较大小的规则判断，熟练掌握二次根式的变形技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要比较两个负无理数的大小，首先回忆负数比较大小的规则：两个负数比较大小，绝对值大的反而小，因此我们可以先求出两个数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据规则判断原数的大小。比较带根号的正数大小时，可利用二次根式的性质，将根号外的正因数移到根号内，通过比较被开方数的大小判断算术平方根的大小，被开方数越大，对应的算术平方根越大。
【解析】
第一步：计算两个数的绝对值
$\left|-2\sqrt{3}\right|=2\sqrt{3}$，$\left|-\sqrt{15}\right|=\sqrt{15}$
第二步：将根号外的因数移入根号内化简
根据二次根式的性质$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\ (a≥0,b≥0)$，可得：
$2\sqrt{3}=\sqrt{2^2×3}=\sqrt{12}$
第三步：比较绝对值的大小
因为$12＜15$，所以$\sqrt{12}＜\sqrt{15}$，即$\left|-2\sqrt{3}\right|＜\left|-\sqrt{15}\right|$
第四步：根据负数比较大小的规则判断
两个负数比较大小，绝对值大的反而小，因此$-2\sqrt{3}＞-\sqrt{15}$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 二次根式的化简
2. 实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，重点考查带二次根式的负数的大小比较，解题时要注意不能直接比较被开方数的大小就得出结论，需结合负数比较大小的规则判断，熟练掌握二次根式的变形技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.8
已知$x$、$y$是实数，$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+1$，则$\sqrt{y^2 -4y +4}-(x-2+\sqrt{3})^2 =$
$-2$
答案
10. -2
解析
【分析】
要解决这道题，首先需利用二次根式有意义的条件确定x的取值：二次根式的被开方数必须是非负数，因此y的表达式中x-2和2-x都要大于等于0，联立两个不等式可求出x的值；再将x的值代入y的表达式求出y的取值；最后把x、y代入所求代数式，结合二次根式的性质（$\sqrt{a^2}=|a|$）和绝对值的化简规则计算即可得到结果。
【解析】
第一步：求x的取值
根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，可得：
$\begin{cases}x-2≥0 \\2-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-2≥0$得$x≥2$，解不等式$2-x≥0$得$x≤2$，因此$x=2$。
第二步：求y的取值
将$x=2$代入$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+1$，得：
$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}+1=1$
第三步：计算所求代数式的值
先化简代数式：
$\sqrt{y^2 -4y +4}-(x-2+\sqrt{3})^2=\sqrt{(y-2)^2}-(x-2+\sqrt{3})^2=|y-2|-(x-2+\sqrt{3})^2$
将$x=2$，$y=1$代入上式：
因为$y=1＜2$，所以$|y-2|=2-y=2-1=1$；
$x-2=0$，因此$(x-2+\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3$；
所以原式$=1-3=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是二次根式相关的常考基础题型，解题的核心突破口是先根据二次根式被开方数的非负性确定x的取值，再代入计算，需要注意化简形如$\sqrt{a^2}$的式子时，要先转化为绝对值，再根据a的正负性去绝对值，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需利用二次根式有意义的条件确定x的取值：二次根式的被开方数必须是非负数，因此y的表达式中x-2和2-x都要大于等于0，联立两个不等式可求出x的值；再将x的值代入y的表达式求出y的取值；最后把x、y代入所求代数式，结合二次根式的性质（$\sqrt{a^2}=|a|$）和绝对值的化简规则计算即可得到结果。
【解析】
第一步：求x的取值
根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，可得：
$\begin{cases}x-2≥0 \\2-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-2≥0$得$x≥2$，解不等式$2-x≥0$得$x≤2$，因此$x=2$。
第二步：求y的取值
将$x=2$代入$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+1$，得：
$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}+1=1$
第三步：计算所求代数式的值
先化简代数式：
$\sqrt{y^2 -4y +4}-(x-2+\sqrt{3})^2=\sqrt{(y-2)^2}-(x-2+\sqrt{3})^2=|y-2|-(x-2+\sqrt{3})^2$
将$x=2$，$y=1$代入上式：
因为$y=1＜2$，所以$|y-2|=2-y=2-1=1$；
$x-2=0$，因此$(x-2+\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3$；
所以原式$=1-3=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是二次根式相关的常考基础题型，解题的核心突破口是先根据二次根式被开方数的非负性确定x的取值，再代入计算，需要注意化简形如$\sqrt{a^2}$的式子时，要先转化为绝对值，再根据a的正负性去绝对值，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
12. 化简：$\sqrt{-a^3} - a^2\sqrt{-\frac{1}{a}} =$
$0$
.答案
12. 0
解析
【分析】
要化简这个二次根式运算式，首先需明确二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，且分母不为0，据此先求出字母a的取值范围，这是正确化简的前提，避免开根号时符号出错。接着利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，分别对两个含根号的项进行化简，最后合并同类二次根式即可得到结果。
第一步：根据被开方数非负、分母不为0，可得$-\frac{1}{a}＞0$，推出$a＜0$，因此$|a|=-a$；
第二步：化简$\sqrt{-a^3}$，将被开方数拆分为$a^2·(-a)$，开根号后结合a的符号去绝对值；
第三步：化简$a^2\sqrt{-\frac{1}{a}}$，先将根号内的分式变形为分母是平方数的形式，再开根号去绝对值，最后和前面的化简结果合并。
【解析】
要使原式有意义，需满足$-\frac{1}{a}＞0$，解得$a＜0$，因此$|a|=-a$。
1. 化简$\sqrt{-a^3}$：
$\sqrt{-a^3}=\sqrt{a^2·(-a)}=|a|\sqrt{-a}=-a\sqrt{-a}$
2. 化简$a^2\sqrt{-\frac{1}{a}}$：
$a^2\sqrt{-\frac{1}{a}}=a^2\sqrt{\frac{-a}{a^2}}=a^2·\frac{\sqrt{-a}}{|a|}=a^2·\frac{\sqrt{-a}}{-a}=-a\sqrt{-a}$
3. 代入原式计算：
原式$=-a\sqrt{-a} - (-a\sqrt{-a}) = -a\sqrt{-a} + a\sqrt{-a}=0$
【答案】
0
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的性质
3. 二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型题型，易错点是忽略隐含的字母取值范围，直接开根号导致符号错误。解题的核心是先确定字母的符号，再按照二次根式的性质规范化简，即可避免出错。
【难度系数】
0.5
要化简这个二次根式运算式，首先需明确二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，且分母不为0，据此先求出字母a的取值范围，这是正确化简的前提，避免开根号时符号出错。接着利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，分别对两个含根号的项进行化简，最后合并同类二次根式即可得到结果。
第一步：根据被开方数非负、分母不为0，可得$-\frac{1}{a}＞0$，推出$a＜0$，因此$|a|=-a$；
第二步：化简$\sqrt{-a^3}$，将被开方数拆分为$a^2·(-a)$，开根号后结合a的符号去绝对值；
第三步：化简$a^2\sqrt{-\frac{1}{a}}$，先将根号内的分式变形为分母是平方数的形式，再开根号去绝对值，最后和前面的化简结果合并。
【解析】
要使原式有意义，需满足$-\frac{1}{a}＞0$，解得$a＜0$，因此$|a|=-a$。
1. 化简$\sqrt{-a^3}$：
$\sqrt{-a^3}=\sqrt{a^2·(-a)}=|a|\sqrt{-a}=-a\sqrt{-a}$
2. 化简$a^2\sqrt{-\frac{1}{a}}$：
$a^2\sqrt{-\frac{1}{a}}=a^2\sqrt{\frac{-a}{a^2}}=a^2·\frac{\sqrt{-a}}{|a|}=a^2·\frac{\sqrt{-a}}{-a}=-a\sqrt{-a}$
3. 代入原式计算：
原式$=-a\sqrt{-a} - (-a\sqrt{-a}) = -a\sqrt{-a} + a\sqrt{-a}=0$
【答案】
0
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的性质
3. 二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型题型，易错点是忽略隐含的字母取值范围，直接开根号导致符号错误。解题的核心是先确定字母的符号，再按照二次根式的性质规范化简，即可避免出错。
【难度系数】
0.5
13. 下列各式中，计算正确的是 【 】
A.$8\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 5$
B.$5\sqrt{2} + 3\sqrt{3} = 8\sqrt{5}$
C.$4\sqrt{2} × 3\sqrt{3} = 12\sqrt{6}$
D.$4\sqrt{2} ÷ 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
A.$8\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 5$
B.$5\sqrt{2} + 3\sqrt{3} = 8\sqrt{5}$
C.$4\sqrt{2} × 3\sqrt{3} = 12\sqrt{6}$
D.$4\sqrt{2} ÷ 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次根式的四则运算，解题思路是依据二次根式加减、乘除的运算法则逐个判断选项：①二次根式加减时，只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅系数相加减，被开方数保持不变；②二次根式乘除时，系数、被开方数分别进行乘除运算，最终结果化为最简形式，据此逐一验证四个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$8\sqrt{2}$和$3\sqrt{2}$是同类二次根式，合并得$(8-3)\sqrt{2}=5\sqrt{2}≠5$，故A错误；
B选项：$5\sqrt{2}$的被开方数是2，$3\sqrt{3}$的被开方数是3，二者不是同类二次根式，不能直接合并，故B错误；
C选项：根据二次根式乘法法则，$4\sqrt{2}×3\sqrt{3}=(4×3)×\sqrt{2×3}=12\sqrt{6}$，计算正确，故C正确；
D选项：根据二次根式除法法则，$4\sqrt{2}÷2\sqrt{2}=(4÷2)×\sqrt{2÷2}=2×1=2≠2\sqrt{2}$，故D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的核心是熟练掌握二次根式的运算规则，尤其要注意只有同类二次根式才能进行加减合并，避免出现不同类二次根式随意合并、乘除运算时根式部分计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的四则运算，解题思路是依据二次根式加减、乘除的运算法则逐个判断选项：①二次根式加减时，只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅系数相加减，被开方数保持不变；②二次根式乘除时，系数、被开方数分别进行乘除运算，最终结果化为最简形式，据此逐一验证四个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$8\sqrt{2}$和$3\sqrt{2}$是同类二次根式，合并得$(8-3)\sqrt{2}=5\sqrt{2}≠5$，故A错误；
B选项：$5\sqrt{2}$的被开方数是2，$3\sqrt{3}$的被开方数是3，二者不是同类二次根式，不能直接合并，故B错误；
C选项：根据二次根式乘法法则，$4\sqrt{2}×3\sqrt{3}=(4×3)×\sqrt{2×3}=12\sqrt{6}$，计算正确，故C正确；
D选项：根据二次根式除法法则，$4\sqrt{2}÷2\sqrt{2}=(4÷2)×\sqrt{2÷2}=2×1=2≠2\sqrt{2}$，故D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的核心是熟练掌握二次根式的运算规则，尤其要注意只有同类二次根式才能进行加减合并，避免出现不同类二次根式随意合并、乘除运算时根式部分计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
