登录
2. 试用配方法说明，无论$x$取何值时，代数式$2x^2 -5x +4$的值总是正数，并指出$x$为何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
答案
原式变形为$2(x-\dfrac{5}{4})^2 +\dfrac{7}{8}$,因为$2(x-\dfrac{5}{4})^2≥0$,且$\dfrac{7}{8}＞0$,所以$2x^2-5x+4$的值总是正数;当$x=\dfrac{5}{4}$时,代数式$2x^2-5x+4$的最小值是$\dfrac{7}{8}$
解析
【分析】
本题要求用配方法判断代数式的正负性并求最值，解题思路可分为三步：第一步先提取二次项系数，将含x的项整理到括号内；第二步在括号内加、减一次项系数一半的平方，凑成完全平方式；第三步将代数式整理为$a(x-h)^2+k$的形式，再利用完全平方的非负性分析：因为二次项系数$a=2＞0$，所以$a(x-h)^2≥0$，若常数项$k＞0$，则代数式恒为正数，且当$x=h$时，代数式取最小值$k$。
【解析】
解：对代数式$2x^2 -5x +4$进行配方：
1. 提取二次项系数2，分离常数项：
$2x^2 -5x +4 = 2(x^2 - \dfrac{5}{2}x) + 4$
2. 括号内凑完全平方：一次项系数为$-\dfrac{5}{2}$，其一半的平方为$(-\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{25}{16}$，在括号内加、减$\dfrac{25}{16}$保证代数式值不变：
$= 2[(x^2 - \dfrac{5}{2}x + \dfrac{25}{16}) - \dfrac{25}{16}] + 4$
3. 整理化简：
$= 2(x - \dfrac{5}{4})^2 - 2×\dfrac{25}{16} + 4$
计算常数项得：$-\dfrac{25}{8} + 4 = \dfrac{7}{8}$，即配方结果为$2(x - \dfrac{5}{4})^2 + \dfrac{7}{8}$
接下来分析取值：
∵ 平方数具有非负性，
∴ $(x - \dfrac{5}{4})^2 ≥ 0$，则$2(x - \dfrac{5}{4})^2 ≥ 0$
又
∵ $\dfrac{7}{8} ＞ 0$，
∴ $2(x - \dfrac{5}{4})^2 + \dfrac{7}{8} ＞ 0$，即无论x取何值，代数式的值总是正数。
当$(x - \dfrac{5}{4})^2 = 0$，也就是$x = \dfrac{5}{4}$时，代数式取得最小值，最小值为$\dfrac{7}{8}$。
【答案】
原式变形为$2(x-\dfrac{5}{4})^2 +\dfrac{7}{8}$,因为$2(x-\dfrac{5}{4})^2≥0$,且$\dfrac{7}{8}＞0$,所以$2x^2-5x+4$的值总是正数;当$x=\dfrac{5}{4}$时,代数式$2x^2-5x+4$的最小值是$\dfrac{7}{8}$
【知识点】
配方法；非负数的性质；代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，将二次三项式转化为完全平方式加常数的形式，结合平方的非负性即可快速判断代数式的取值范围、求解最值。
【难度系数】
0.7
本题要求用配方法判断代数式的正负性并求最值，解题思路可分为三步：第一步先提取二次项系数，将含x的项整理到括号内；第二步在括号内加、减一次项系数一半的平方，凑成完全平方式；第三步将代数式整理为$a(x-h)^2+k$的形式，再利用完全平方的非负性分析：因为二次项系数$a=2＞0$，所以$a(x-h)^2≥0$，若常数项$k＞0$，则代数式恒为正数，且当$x=h$时，代数式取最小值$k$。
【解析】
解：对代数式$2x^2 -5x +4$进行配方：
1. 提取二次项系数2，分离常数项：
$2x^2 -5x +4 = 2(x^2 - \dfrac{5}{2}x) + 4$
2. 括号内凑完全平方：一次项系数为$-\dfrac{5}{2}$，其一半的平方为$(-\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{25}{16}$，在括号内加、减$\dfrac{25}{16}$保证代数式值不变：
$= 2[(x^2 - \dfrac{5}{2}x + \dfrac{25}{16}) - \dfrac{25}{16}] + 4$
3. 整理化简：
$= 2(x - \dfrac{5}{4})^2 - 2×\dfrac{25}{16} + 4$
计算常数项得：$-\dfrac{25}{8} + 4 = \dfrac{7}{8}$，即配方结果为$2(x - \dfrac{5}{4})^2 + \dfrac{7}{8}$
接下来分析取值：
∵ 平方数具有非负性，
∴ $(x - \dfrac{5}{4})^2 ≥ 0$，则$2(x - \dfrac{5}{4})^2 ≥ 0$
又
∵ $\dfrac{7}{8} ＞ 0$，
∴ $2(x - \dfrac{5}{4})^2 + \dfrac{7}{8} ＞ 0$，即无论x取何值，代数式的值总是正数。
当$(x - \dfrac{5}{4})^2 = 0$，也就是$x = \dfrac{5}{4}$时，代数式取得最小值，最小值为$\dfrac{7}{8}$。
【答案】
原式变形为$2(x-\dfrac{5}{4})^2 +\dfrac{7}{8}$,因为$2(x-\dfrac{5}{4})^2≥0$,且$\dfrac{7}{8}＞0$,所以$2x^2-5x+4$的值总是正数;当$x=\dfrac{5}{4}$时,代数式$2x^2-5x+4$的最小值是$\dfrac{7}{8}$
【知识点】
配方法；非负数的性质；代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，将二次三项式转化为完全平方式加常数的形式，结合平方的非负性即可快速判断代数式的取值范围、求解最值。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 方程$2x^2 + x - 6 = 0$的解是(
A.$x_1=1, x_2=-1$
B.$x_1=x_2=1$
C.$x_1=x_2=-1$
D.$x_1=1.5, x_2=-2$
1. 方程$2x^2 + x - 6 = 0$的解是(
D
)A.$x_1=1, x_2=-1$
B.$x_1=x_2=1$
C.$x_1=x_2=-1$
D.$x_1=1.5, x_2=-2$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，对应公式法的知识点，解题思路如下：第一步先将方程和一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应，确定系数$a、b、c$的取值（注意要带上系数本身的符号）；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况；第三步代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算出方程的两个根，最后和选项对比选出正确答案即可。
【解析】
对于方程$2x^2 + x - 6 = 0$，对照一元二次方程一般形式可得：
$a=2$，$b=1$，$c=-6$
先计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×2×(-6)=1+48=49＞0$，因此方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2×2}=\frac{-1\pm7}{4}$
计算两个根：
$x_1=\frac{-1+7}{4}=\frac{6}{4}=1.5$，$x_2=\frac{-1-7}{4}=\frac{-8}{4}=-2$
因此答案选D
【答案】
D
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，只要熟练掌握公式法解一元二次方程的固定步骤，注意确定系数时不要漏带符号，就能准确算出结果。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的求解，对应公式法的知识点，解题思路如下：第一步先将方程和一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应，确定系数$a、b、c$的取值（注意要带上系数本身的符号）；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况；第三步代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算出方程的两个根，最后和选项对比选出正确答案即可。
【解析】
对于方程$2x^2 + x - 6 = 0$，对照一元二次方程一般形式可得：
$a=2$，$b=1$，$c=-6$
先计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×2×(-6)=1+48=49＞0$，因此方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2×2}=\frac{-1\pm7}{4}$
计算两个根：
$x_1=\frac{-1+7}{4}=\frac{6}{4}=1.5$，$x_2=\frac{-1-7}{4}=\frac{-8}{4}=-2$
因此答案选D
【答案】
D
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，只要熟练掌握公式法解一元二次方程的固定步骤，注意确定系数时不要漏带符号，就能准确算出结果。
【难度系数】
0.8
2. 如果$x^2 - x - 1 = 1$，那么$x$的值为(
A.2或-1
B.0或1
C.2
D.-1
A
)A.2或-1
B.0或1
C.2
D.-1
答案
2. A
解析
【分析】
这是一道一元二次方程求解的题目，解题思路如下：首先先将原方程整理为一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再结合本节所学的公式法求解方程的根，最后对应选项选出正确答案即可。解题时要注意移项要变号，代入公式计算时不要弄错系数的符号。
【解析】
首先对原方程进行整理：
原方程 $x^2 - x - 1 = 1$，移项得：$x^2 - x - 2 = 0$
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-2$，先计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-2) = 1 + 8 = 9 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x = \frac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2×1} = \frac{1\pm3}{2}$
解得：$x_1=\frac{1+3}{2}=2$，$x_2=\frac{1-3}{2}=-1$
因此$x$的值为2或-1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求解；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，核心是掌握将方程化为标准形式的方法，以及公式法解一元二次方程的步骤，计算时要注意系数符号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8
这是一道一元二次方程求解的题目，解题思路如下：首先先将原方程整理为一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再结合本节所学的公式法求解方程的根，最后对应选项选出正确答案即可。解题时要注意移项要变号，代入公式计算时不要弄错系数的符号。
【解析】
首先对原方程进行整理：
原方程 $x^2 - x - 1 = 1$，移项得：$x^2 - x - 2 = 0$
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-2$，先计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-2) = 1 + 8 = 9 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x = \frac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2×1} = \frac{1\pm3}{2}$
解得：$x_1=\frac{1+3}{2}=2$，$x_2=\frac{1-3}{2}=-1$
因此$x$的值为2或-1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求解；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，核心是掌握将方程化为标准形式的方法，以及公式法解一元二次方程的步骤，计算时要注意系数符号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8
3. 在关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$中，$a,b,c$是有理数，且方程的一个根是$-6+\sqrt{10}$，则方程的另一个根是(
A.$-6-\sqrt{10}$
B.$6+\sqrt{10}$
C.$6-\sqrt{10}$
D.不能确定
A
)A.$-6-\sqrt{10}$
B.$6+\sqrt{10}$
C.$6-\sqrt{10}$
D.不能确定
答案
3. A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：一元二次方程的系数a、b、c均为有理数，且有一个根是带无理项的$-6+\sqrt{10}$。首先回忆根与系数的关系：一元二次方程两根之和为$-\frac{b}{a}$，由于a、b都是有理数，因此两根之和一定是有理数。已知的根含有无理项$\sqrt{10}$，要让两根之和为有理数，另一个根的无理部分必须和已知根的无理部分互为相反数，抵消掉无理项，同时有理数部分要和已知根的有理数部分保持一致，这样就能推出另一个根的形式。
【解析】
设方程的另一个根为$x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
∵a、b都是有理数，
∴$-\frac{b}{a}$是有理数。
已知其中一个根$x_1=-6+\sqrt{10}$，代入上式可得：
$(-6+\sqrt{10}) + x_2 = $有理数
要使运算结果为有理数，必须消去无理项$\sqrt{10}$，因此$x_2$的无理部分为$-\sqrt{10}$；同时有理数部分相加也为有理数，因此$x_2$的有理数部分为$-6$，即$x_2=-6-\sqrt{10}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 无理数运算性质
【点评】
本题考查系数为有理数的一元二次方程无理根的特性，结合根与系数的关系可快速求解，解题时需注意：只有当方程所有系数均为有理数时，无理根才会成对出现且互为共轭根式。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：一元二次方程的系数a、b、c均为有理数，且有一个根是带无理项的$-6+\sqrt{10}$。首先回忆根与系数的关系：一元二次方程两根之和为$-\frac{b}{a}$，由于a、b都是有理数，因此两根之和一定是有理数。已知的根含有无理项$\sqrt{10}$，要让两根之和为有理数，另一个根的无理部分必须和已知根的无理部分互为相反数，抵消掉无理项，同时有理数部分要和已知根的有理数部分保持一致，这样就能推出另一个根的形式。
【解析】
设方程的另一个根为$x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
∵a、b都是有理数，
∴$-\frac{b}{a}$是有理数。
已知其中一个根$x_1=-6+\sqrt{10}$，代入上式可得：
$(-6+\sqrt{10}) + x_2 = $有理数
要使运算结果为有理数，必须消去无理项$\sqrt{10}$，因此$x_2$的无理部分为$-\sqrt{10}$；同时有理数部分相加也为有理数，因此$x_2$的有理数部分为$-6$，即$x_2=-6-\sqrt{10}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 无理数运算性质
【点评】
本题考查系数为有理数的一元二次方程无理根的特性，结合根与系数的关系可快速求解，解题时需注意：只有当方程所有系数均为有理数时，无理根才会成对出现且互为共轭根式。
【难度系数】
0.7
4. 用公式法解方程$-x^2-2x=1$时,$b^2-4ac$的值是(
A.8
B.0
C.5
D.6
B
)A.8
B.0
C.5
D.6
答案
4. B
解析
【分析】
要计算一元二次方程的$b^2-4ac$的值，首先需要将原方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），准确找出$a$、$b$、$c$的取值（注意符号），再代入判别式公式计算即可。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项得：$-x^2-2x-1=0$，两边同乘$-1$简化为$x^2+2x+1=0$。
第二步：确定$a$、$b$、$c$的值：
对简化后的方程$x^2+2x+1=0$，可得$a=1$，$b=2$，$c=1$。
第三步：代入判别式公式计算：
$b^2-4ac=2^2 - 4×1×1=4-4=0$。
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式计算
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题关键是先将方程整理为一般形式，再准确识别$a$、$b$、$c$的取值，计算时需注意符号不要出错。
【难度系数】
0.9
要计算一元二次方程的$b^2-4ac$的值，首先需要将原方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），准确找出$a$、$b$、$c$的取值（注意符号），再代入判别式公式计算即可。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项得：$-x^2-2x-1=0$，两边同乘$-1$简化为$x^2+2x+1=0$。
第二步：确定$a$、$b$、$c$的值：
对简化后的方程$x^2+2x+1=0$，可得$a=1$，$b=2$，$c=1$。
第三步：代入判别式公式计算：
$b^2-4ac=2^2 - 4×1×1=4-4=0$。
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式计算
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题关键是先将方程整理为一般形式，再准确识别$a$、$b$、$c$的取值，计算时需注意符号不要出错。
【难度系数】
0.9
二、填空题
1. 用公式法解一元二次方程$3x=40-x^2$时，应先将方程化为一般形式：
1. 用公式法解一元二次方程$3x=40-x^2$时，应先将方程化为一般形式：
$x^2+3x-40=0$
，则$a=$$1$
，$b=$$3$
，$c=$$-40$
，$b^2-4ac=$$169$
，该方程的解是$x_1=5,x_2=-8$
。答案
1. $x^2+3x-40=0,1,3,-40,169,x_1=5,x_2=-8$
解析
【分析】
要使用公式法解一元二次方程，首先需要将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，才能准确对应二次项系数$a$、一次项系数$b$和常数项$c$，注意移项时要改变符号。确定$a、b、c$的取值后，代入判别式$\Delta=b^2-4ac$计算其值，确认方程有实数根后，再代入求根公式即可算出方程的解。
【解析】
1. 整理一般形式：将原方程$3x=40-x^2$移项，把所有项移到等号左侧，得$x^2+3x-40=0$；
2. 确定系数：对比一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-40$；
3. 计算判别式：代入$b^2-4ac$得$3^2-4×1×(-40)=9+160=169$；
4. 代入求根公式计算解：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{169}}{2×1}=\frac{-3\pm13}{2}$，
解得$x_1=\frac{-3+13}{2}=5$，$x_2=\frac{-3-13}{2}=-8$。
【答案】
$x^2+3x-40=0,1,3,-40,169,x_1=5,x_2=-8$
【知识点】
一元二次方程一般形式；公式法解一元二次方程；一元二次方程判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础考查题，核心是牢记公式法的解题步骤，尤其要注意移项、确定常数项时的符号问题，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
要使用公式法解一元二次方程，首先需要将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，才能准确对应二次项系数$a$、一次项系数$b$和常数项$c$，注意移项时要改变符号。确定$a、b、c$的取值后，代入判别式$\Delta=b^2-4ac$计算其值，确认方程有实数根后，再代入求根公式即可算出方程的解。
【解析】
1. 整理一般形式：将原方程$3x=40-x^2$移项，把所有项移到等号左侧，得$x^2+3x-40=0$；
2. 确定系数：对比一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-40$；
3. 计算判别式：代入$b^2-4ac$得$3^2-4×1×(-40)=9+160=169$；
4. 代入求根公式计算解：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{169}}{2×1}=\frac{-3\pm13}{2}$，
解得$x_1=\frac{-3+13}{2}=5$，$x_2=\frac{-3-13}{2}=-8$。
【答案】
$x^2+3x-40=0,1,3,-40,169,x_1=5,x_2=-8$
【知识点】
一元二次方程一般形式；公式法解一元二次方程；一元二次方程判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础考查题，核心是牢记公式法的解题步骤，尤其要注意移项、确定常数项时的符号问题，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
2. 方程$3x^2 -5x +1=0$的解是
$x=\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{6}$
.答案
2. $x=\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{6}$
解析
【分析】
本题考查用公式法求解一元二次方程，解题思路如下：首先确认方程已化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），从中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；接着计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况；若$\Delta≥0$，直接代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的解。
【解析】
方程$3x^2 -5x +1=0$为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=1$。
第一步，计算根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac = (-5)^2 - 4×3×1 = 25 - 12 = 13＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
第二步，代入一元二次方程求根公式计算：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5)\pm\sqrt{13}}{2×3} = \frac{5\pm\sqrt{13}}{6}$
【答案】
$x=\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{6}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程求根公式；根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题的核心是准确识别一般形式中$a、b、c$的取值（尤其注意符号），正确计算判别式，熟记求根公式即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
本题考查用公式法求解一元二次方程，解题思路如下：首先确认方程已化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），从中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；接着计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况；若$\Delta≥0$，直接代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的解。
【解析】
方程$3x^2 -5x +1=0$为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=1$。
第一步，计算根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac = (-5)^2 - 4×3×1 = 25 - 12 = 13＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
第二步，代入一元二次方程求根公式计算：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5)\pm\sqrt{13}}{2×3} = \frac{5\pm\sqrt{13}}{6}$
【答案】
$x=\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{6}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程求根公式；根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题的核心是准确识别一般形式中$a、b、c$的取值（尤其注意符号），正确计算判别式，熟记求根公式即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
3. 小李同学在解关于x的一元二次方程$x^2 - 3x + m = 0$时，误将-3x看作+3x，结果解得$x_1=1, x_2=-4$，则原方程的解为
$x_1=4,x_2=-1$
。答案
3. $x_1=4,x_2=-1$
解析
【分析】
解题时首先明确：小李仅看错了一次项的符号，常数项$m$的取值是正确的。因此我们可以先借助小李看错方程后得到的根，求出参数$m$的值，再将$m$代入原一元二次方程求解即可。具体思路：①写出小李看错后的方程；②利用方程根的性质（或根与系数的关系）求出$m$；③将$m$代入原方程，解一元二次方程得到结果。
【解析】
解：小李看错一次项后得到的方程为$x^2 + 3x + m = 0$，已知该方程的根为$x_1=1, x_2=-4$。
方法一（根与系数关系）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$。在看错的方程中$a=1,c=m$，因此$m=x_1x_2=1×(-4)=-4$。
方法二（代入法）：将$x=1$代入看错的方程，得$1^2+3×1+m=0$，解得$m=-4$。
将$m=-4$代入原方程，得$x^2 - 3x - 4 = 0$。
用公式法求解：判别式$\Delta=(-3)^2 - 4×1×(-4)=9+16=25$，
因此$x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{3\pm5}{2}$，
即$x_1=\frac{3+5}{2}=4$，$x_2=\frac{3-5}{2}=-1$。
【答案】
$x_1=4,x_2=-1$
【知识点】
根与系数的关系，一元二次方程的解法，方程根的定义
【点评】
本题属于基础应用类题型，解题核心是抓住“仅看错一次项符号，常数项不变”的关键信息，先求未知参数再解原方程，能够有效考察学生对一元二次方程相关概念的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：小李仅看错了一次项的符号，常数项$m$的取值是正确的。因此我们可以先借助小李看错方程后得到的根，求出参数$m$的值，再将$m$代入原一元二次方程求解即可。具体思路：①写出小李看错后的方程；②利用方程根的性质（或根与系数的关系）求出$m$；③将$m$代入原方程，解一元二次方程得到结果。
【解析】
解：小李看错一次项后得到的方程为$x^2 + 3x + m = 0$，已知该方程的根为$x_1=1, x_2=-4$。
方法一（根与系数关系）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$。在看错的方程中$a=1,c=m$，因此$m=x_1x_2=1×(-4)=-4$。
方法二（代入法）：将$x=1$代入看错的方程，得$1^2+3×1+m=0$，解得$m=-4$。
将$m=-4$代入原方程，得$x^2 - 3x - 4 = 0$。
用公式法求解：判别式$\Delta=(-3)^2 - 4×1×(-4)=9+16=25$，
因此$x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{3\pm5}{2}$，
即$x_1=\frac{3+5}{2}=4$，$x_2=\frac{3-5}{2}=-1$。
【答案】
$x_1=4,x_2=-1$
【知识点】
根与系数的关系，一元二次方程的解法，方程根的定义
【点评】
本题属于基础应用类题型，解题核心是抓住“仅看错一次项符号，常数项不变”的关键信息，先求未知参数再解原方程，能够有效考察学生对一元二次方程相关概念的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
4. 若$y_1=2x^2+7x-1$，$y_2=6x+2$，则当$x=$
$-\dfrac{3}{2}$或$1$
时，$y_1=y_2$。答案
4. $-\dfrac{3}{2}$或$1$
解析
【分析】
要找到使$y_1=y_2$的$x$值，首先根据题意将两个函数表达式联立为等式，通过移项、合并同类项整理成标准的一元二次方程，再适配对应章节知识点选用公式法求解方程，得到的根即为所求的$x$值。
【解析】
解：令$y_1=y_2$，可得：
$2x^2+7x-1=6x+2$
移项并合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式：
$2x^2+x-3=0$
其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-3$，先计算判别式判断根的情况：
$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×2×(-3)=1+24=25＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2×2}=\frac{-1\pm5}{4}$
分别计算两个根：
$x_1=\frac{-1+5}{4}=1$，$x_2=\frac{-1-5}{4}=-\frac{3}{2}$
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$或$1$
【知识点】
1. 一元二次方程公式法求解
2. 函数值相等的转化
【点评】
本题属于基础题，核心考察将函数值相等的条件转化为一元二次方程求解的能力，熟练掌握一元二次方程的求解步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
要找到使$y_1=y_2$的$x$值，首先根据题意将两个函数表达式联立为等式，通过移项、合并同类项整理成标准的一元二次方程，再适配对应章节知识点选用公式法求解方程，得到的根即为所求的$x$值。
【解析】
解：令$y_1=y_2$，可得：
$2x^2+7x-1=6x+2$
移项并合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式：
$2x^2+x-3=0$
其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-3$，先计算判别式判断根的情况：
$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×2×(-3)=1+24=25＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2×2}=\frac{-1\pm5}{4}$
分别计算两个根：
$x_1=\frac{-1+5}{4}=1$，$x_2=\frac{-1-5}{4}=-\frac{3}{2}$
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$或$1$
【知识点】
1. 一元二次方程公式法求解
2. 函数值相等的转化
【点评】
本题属于基础题，核心考察将函数值相等的条件转化为一元二次方程求解的能力，熟练掌握一元二次方程的求解步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
5. 已知三角形两边长是方程$x^2 -5x +6=0$的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是
.
$1＜c＜5$
.
答案
5. $1＜c＜5$
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先求解一元二次方程，得到三角形已知两边的长度；第二步利用三角形三边关系“第三边大于两边之差，小于两边之和”，代入已知边长计算即可得到第三边c的取值范围。
【解析】
首先解方程$x^2 -5x +6=0$：
将方程左边因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=3$，即三角形的两条边长分别为2和3。
根据三角形三边关系：两边之差$＜$第三边$＜$两边之和，
可得$3-2 ＜ c ＜ 3+2$，
即$1 ＜ c ＜ 5$。
【答案】
$1＜c＜5$
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，主要考查一元二次方程的解法和三角形三边关系的应用，解题的关键是正确求出方程的根，牢记三边关系的取值规则，注意第三边不能等于两边差或两边和。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步先求解一元二次方程，得到三角形已知两边的长度；第二步利用三角形三边关系“第三边大于两边之差，小于两边之和”，代入已知边长计算即可得到第三边c的取值范围。
【解析】
首先解方程$x^2 -5x +6=0$：
将方程左边因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=3$，即三角形的两条边长分别为2和3。
根据三角形三边关系：两边之差$＜$第三边$＜$两边之和，
可得$3-2 ＜ c ＜ 3+2$，
即$1 ＜ c ＜ 5$。
【答案】
$1＜c＜5$
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，主要考查一元二次方程的解法和三角形三边关系的应用，解题的关键是正确求出方程的根，牢记三边关系的取值规则，注意第三边不能等于两边差或两边和。
【难度系数】
0.8
