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1.若$x=-1$是方程$x^2 + mx + 1 = 0$的一个根，则$m$的值为
2
。答案
1. 2
解析
【分析】
解题的核心是运用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。因此我们可以将已知的根x=-1直接代入原方程，得到一个只含有未知数m的一元一次方程，解这个方程即可求出m的值。
【解析】
解：
∵x=-1是方程$x^2 + mx + 1 = 0$的一个根
∴将x=-1代入方程，等式成立，即：
$(-1)^2 + m×(-1) + 1 = 0$
化简得：$1 - m + 1 = 0$
整理得：$2 - m = 0$
解得：$m=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程根的定义的应用，解题思路清晰，代入求值即可，属于必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.9
解题的核心是运用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。因此我们可以将已知的根x=-1直接代入原方程，得到一个只含有未知数m的一元一次方程，解这个方程即可求出m的值。
【解析】
解：
∵x=-1是方程$x^2 + mx + 1 = 0$的一个根
∴将x=-1代入方程，等式成立，即：
$(-1)^2 + m×(-1) + 1 = 0$
化简得：$1 - m + 1 = 0$
整理得：$2 - m = 0$
解得：$m=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程根的定义的应用，解题思路清晰，代入求值即可，属于必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.9
2.已知三角形的两边长分别为2和9，第三边的长为方程$x^2 -14x +48=0$的一个根，这个三角形的周长为
19
。答案
2. 19
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先求解一元二次方程，得到第三边的可能取值；第二步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），验证两个根是否都能和已知的2、9构成三角形，舍去不符合条件的根；第三步用符合条件的第三边长，加上已知两边长计算三角形周长。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2 -14x +48=0$：
对左边因式分解得：$(x-6)(x-8)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=8$，即第三边的长可能为6或8。
2. 结合三角形三边关系筛选合理的边长：
已知三角形两边长为2和9，
若第三边长为6：$2+6=8＜9$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去；
若第三边长为8：$2+8=10＞9$，$9-2=7＜8$，满足三边关系，可以构成三角形。
3. 计算三角形周长：
周长为$2+9+8=19$。
【答案】
19
【知识点】
一元二次方程的求解、三角形三边关系、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题时要注意，涉及三角形边长的问题时，求出对应边长的可能值后，一定要用三角形三边关系验证是否能构成三角形，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步先求解一元二次方程，得到第三边的可能取值；第二步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），验证两个根是否都能和已知的2、9构成三角形，舍去不符合条件的根；第三步用符合条件的第三边长，加上已知两边长计算三角形周长。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2 -14x +48=0$：
对左边因式分解得：$(x-6)(x-8)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=8$，即第三边的长可能为6或8。
2. 结合三角形三边关系筛选合理的边长：
已知三角形两边长为2和9，
若第三边长为6：$2+6=8＜9$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去；
若第三边长为8：$2+8=10＞9$，$9-2=7＜8$，满足三边关系，可以构成三角形。
3. 计算三角形周长：
周长为$2+9+8=19$。
【答案】
19
【知识点】
一元二次方程的求解、三角形三边关系、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题时要注意，涉及三角形边长的问题时，求出对应边长的可能值后，一定要用三角形三边关系验证是否能构成三角形，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
3.某小区准备在两幢楼房之间开辟一块面积为300 m²的长方形绿地，并且长比宽多10 m.设长方形绿地的宽为x m，则可列方程为
$x(x+10)=300$
.答案
3. $x(x+10)=300$
解析
【分析】
解题时先梳理题目中的数量关系和核心等量关系：首先题目已设绿地宽为x m，根据“长比宽多10 m”可直接表示出长的长度；本题的核心等量关系是长方形面积=长×宽，已知绿地面积为300 m²，将表示出的长、宽和已知面积代入等量关系，即可列出对应方程。
【解析】
解：已知长方形绿地的宽为$ x\ \mathrm{m} $，
因为长比宽多10 m，所以长为$ (x+10)\ \mathrm{m} $，
根据长方形面积公式：$ \mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽} $，且绿地面积为$ 300\ \mathrm{m}^2 $，
代入数值可得方程：$ x(x+10)=300 $。
【答案】
$ x(x+10)=300 $
【知识点】
1. 列一元二次方程解应用题
2. 长方形面积计算
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，重点考查学生提取题目中等量关系的能力，只要熟练掌握长方形面积公式，理清长和宽的数量关系就能快速作答。
【难度系数】
0.85
解题时先梳理题目中的数量关系和核心等量关系：首先题目已设绿地宽为x m，根据“长比宽多10 m”可直接表示出长的长度；本题的核心等量关系是长方形面积=长×宽，已知绿地面积为300 m²，将表示出的长、宽和已知面积代入等量关系，即可列出对应方程。
【解析】
解：已知长方形绿地的宽为$ x\ \mathrm{m} $，
因为长比宽多10 m，所以长为$ (x+10)\ \mathrm{m} $，
根据长方形面积公式：$ \mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽} $，且绿地面积为$ 300\ \mathrm{m}^2 $，
代入数值可得方程：$ x(x+10)=300 $。
【答案】
$ x(x+10)=300 $
【知识点】
1. 列一元二次方程解应用题
2. 长方形面积计算
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，重点考查学生提取题目中等量关系的能力，只要熟练掌握长方形面积公式，理清长和宽的数量关系就能快速作答。
【难度系数】
0.85
4.直角三角形的面积为6，周长为12，则这个直角三角形的斜边长为
5
.答案
4. 5
解析
【分析】
我们可以设直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，结合题意能得到周长、面积、勾股定理三个关系式。解题时不需要单独求解a和b的值，利用完全平方公式将a+b、ab、a²+b²三个式子关联起来，通过整体代换消去a和b，即可直接求出斜边c的长度。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，根据题意可得：
1. 由周长为12得：$a + b + c = 12$，变形得 $a + b = 12 - c$；
2. 由面积为6得：$\frac{1}{2}ab = 6$，化简得 $ab = 12$；
3. 由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$。
根据完全平方公式：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，将上述三个式子代入得：
$(12 - c)^2 = c^2 + 2×12$
展开左边：$144 - 24c + c^2 = c^2 + 24$
两边消去$c^2$，移项计算得：$24c = 144 - 24 = 120$
解得 $c = 5$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题是直角三角形综合计算的典型题型，解题核心是运用整体代换思想，无需单独求出两条直角边的长度，即可快速得到斜边长度，能够有效考查对公式的灵活运用和综合解题能力。
【难度系数】
0.6
我们可以设直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，结合题意能得到周长、面积、勾股定理三个关系式。解题时不需要单独求解a和b的值，利用完全平方公式将a+b、ab、a²+b²三个式子关联起来，通过整体代换消去a和b，即可直接求出斜边c的长度。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，根据题意可得：
1. 由周长为12得：$a + b + c = 12$，变形得 $a + b = 12 - c$；
2. 由面积为6得：$\frac{1}{2}ab = 6$，化简得 $ab = 12$；
3. 由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$。
根据完全平方公式：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，将上述三个式子代入得：
$(12 - c)^2 = c^2 + 2×12$
展开左边：$144 - 24c + c^2 = c^2 + 24$
两边消去$c^2$，移项计算得：$24c = 144 - 24 = 120$
解得 $c = 5$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题是直角三角形综合计算的典型题型，解题核心是运用整体代换思想，无需单独求出两条直角边的长度，即可快速得到斜边长度，能够有效考查对公式的灵活运用和综合解题能力。
【难度系数】
0.6
5.两个连续偶数的平方和与它们的平方差的比为41:9，这两个数是
8和10，或$-8$和$-10$
.答案
5. 8和10，或$-8$和$-10$
解析
【分析】
解题时首先要合理设未知数，连续偶数的差为2，可设两个连续偶数为2k和2k+2（k为整数），避免出现非偶数解。接下来分别写出两个数的平方和与平方差（平方差取正值，符合比值为正的要求），再根据题意给出的41:9的比例关系列方程，利用比例的基本性质将比例式转化为一元二次方程求解，最后对解进行检验，舍去不符合整数要求的解，同时注意不要遗漏负数解。
【解析】
设两个连续偶数分别为$2k$和$2k+2$（$k$为整数）。
1. 表示平方和：$(2k)^2 + (2k+2)^2 = 4k^2 + 4k^2 + 8k + 4 = 8k^2 + 8k + 4$
2. 表示平方差（取正值）：$\left|(2k+2)^2 - (2k)^2\right| = \left|8k + 4\right|$
3. 根据题意列比例式：
$\frac{8k^2 + 8k + 4}{\left|8k + 4\right|} = \frac{41}{9}$
约分化简得：$\frac{2k^2 + 2k + 1}{\left|2k + 1\right|} = \frac{41}{9}$
分两种情况讨论：
① 当$2k+1＞0$（即$k≥0$）时，去绝对值得：
$\frac{2k^2 + 2k + 1}{2k + 1} = \frac{41}{9}$
交叉相乘得：$9(2k^2 + 2k + 1) = 41(2k + 1)$
整理得：$18k^2 - 64k - 32 = 0$，即$9k^2 - 32k - 16 = 0$
因式分解得：$(9k + 4)(k - 4) = 0$
解得$k=4$或$k=-\frac{4}{9}$（非整数，舍去）
此时两个偶数为$2×4=8$，$2×4+2=10$
② 当$2k+1＜0$（即$k≤-1$）时，去绝对值得：
$\frac{2k^2 + 2k + 1}{-2k - 1} = \frac{41}{9}$
交叉相乘得：$9(2k^2 + 2k + 1) = -41(2k + 1)$
整理得：$18k^2 + 100k + 50 = 0$，即$9k^2 + 50k + 25 = 0$
因式分解得：$(9k + 5)(k + 5) = 0$
解得$k=-5$或$k=-\frac{5}{9}$（非整数，舍去）
此时两个偶数为$2×(-5)=-10$，$2×(-5)+2=-8$
经检验，两组解均符合题意。
【答案】
8和10，或$-8$和$-10$
【知识点】
一元二次方程的应用；偶数的概念；比例的性质
【点评】
本题属于数字类应用题，解题的核心是正确设出连续偶数，列方程时注意平方差的非负性，求解后要检验解是否符合数的性质，避免遗漏负数解或出现非偶数的错误解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要合理设未知数，连续偶数的差为2，可设两个连续偶数为2k和2k+2（k为整数），避免出现非偶数解。接下来分别写出两个数的平方和与平方差（平方差取正值，符合比值为正的要求），再根据题意给出的41:9的比例关系列方程，利用比例的基本性质将比例式转化为一元二次方程求解，最后对解进行检验，舍去不符合整数要求的解，同时注意不要遗漏负数解。
【解析】
设两个连续偶数分别为$2k$和$2k+2$（$k$为整数）。
1. 表示平方和：$(2k)^2 + (2k+2)^2 = 4k^2 + 4k^2 + 8k + 4 = 8k^2 + 8k + 4$
2. 表示平方差（取正值）：$\left|(2k+2)^2 - (2k)^2\right| = \left|8k + 4\right|$
3. 根据题意列比例式：
$\frac{8k^2 + 8k + 4}{\left|8k + 4\right|} = \frac{41}{9}$
约分化简得：$\frac{2k^2 + 2k + 1}{\left|2k + 1\right|} = \frac{41}{9}$
分两种情况讨论：
① 当$2k+1＞0$（即$k≥0$）时，去绝对值得：
$\frac{2k^2 + 2k + 1}{2k + 1} = \frac{41}{9}$
交叉相乘得：$9(2k^2 + 2k + 1) = 41(2k + 1)$
整理得：$18k^2 - 64k - 32 = 0$，即$9k^2 - 32k - 16 = 0$
因式分解得：$(9k + 4)(k - 4) = 0$
解得$k=4$或$k=-\frac{4}{9}$（非整数，舍去）
此时两个偶数为$2×4=8$，$2×4+2=10$
② 当$2k+1＜0$（即$k≤-1$）时，去绝对值得：
$\frac{2k^2 + 2k + 1}{-2k - 1} = \frac{41}{9}$
交叉相乘得：$9(2k^2 + 2k + 1) = -41(2k + 1)$
整理得：$18k^2 + 100k + 50 = 0$，即$9k^2 + 50k + 25 = 0$
因式分解得：$(9k + 5)(k + 5) = 0$
解得$k=-5$或$k=-\frac{5}{9}$（非整数，舍去）
此时两个偶数为$2×(-5)=-10$，$2×(-5)+2=-8$
经检验，两组解均符合题意。
【答案】
8和10，或$-8$和$-10$
【知识点】
一元二次方程的应用；偶数的概念；比例的性质
【点评】
本题属于数字类应用题，解题的核心是正确设出连续偶数，列方程时注意平方差的非负性，求解后要检验解是否符合数的性质，避免遗漏负数解或出现非偶数的错误解。
【难度系数】
0.6
6.长方形餐桌面的长是160 cm，宽是100 cm，桌布的面积是桌面的2倍，四周垂下的边等宽.设四周垂下的边宽为x cm，则应得方程为 ………………【 】
A.$(160 + x)(100 + x) = 32000$
B.$(160 + 2x)(100 + 2x) = 32000$
C.$(160 + x)(100 + x) = 16000$
D.$2(160x + 100x) = 16000$
A.$(160 + x)(100 + x) = 32000$
B.$(160 + 2x)(100 + 2x) = 32000$
C.$(160 + x)(100 + x) = 16000$
D.$2(160x + 100x) = 16000$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要找准本题的等量关系：桌布的面积=2×桌面的面积。接下来思考桌布的长和宽如何表示：因为四周垂下的边等宽为x cm，桌面的长和宽两边都各多出x cm的垂边，因此桌布的长应为桌面长加2x，桌布的宽应为桌面宽加2x。再分别计算桌面面积和桌布面积，代入等量关系即可列出方程，再对应选项判断即可。
【解析】
第一步：计算桌面的面积
长方形桌面面积=长×宽=160×100=16000（$\mathrm{cm}^2$）
第二步：计算桌布的面积
由题可知桌布面积是桌面的2倍，因此桌布面积=$2×16000=32000$（$\mathrm{cm}^2$）
第三步：表示桌布的长和宽
四周垂边宽为x cm，因此桌布的长=$160+2x$（$\mathrm{cm}$），桌布的宽=$100+2x$（$\mathrm{cm}$）
第四步：根据矩形面积公式列方程
桌布面积=长×宽，因此可得方程：$(160+2x)(100+2x)=32000$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题是实际问题列方程的基础题型，解题核心是准确表示出变化后图形的边长，找准等量关系，需要注意四周均匀延伸的长度是两边各加x，避免误算成只加一个x。
【难度系数】
0.7
解题时首先要找准本题的等量关系：桌布的面积=2×桌面的面积。接下来思考桌布的长和宽如何表示：因为四周垂下的边等宽为x cm，桌面的长和宽两边都各多出x cm的垂边，因此桌布的长应为桌面长加2x，桌布的宽应为桌面宽加2x。再分别计算桌面面积和桌布面积，代入等量关系即可列出方程，再对应选项判断即可。
【解析】
第一步：计算桌面的面积
长方形桌面面积=长×宽=160×100=16000（$\mathrm{cm}^2$）
第二步：计算桌布的面积
由题可知桌布面积是桌面的2倍，因此桌布面积=$2×16000=32000$（$\mathrm{cm}^2$）
第三步：表示桌布的长和宽
四周垂边宽为x cm，因此桌布的长=$160+2x$（$\mathrm{cm}$），桌布的宽=$100+2x$（$\mathrm{cm}$）
第四步：根据矩形面积公式列方程
桌布面积=长×宽，因此可得方程：$(160+2x)(100+2x)=32000$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题是实际问题列方程的基础题型，解题核心是准确表示出变化后图形的边长，找准等量关系，需要注意四周均匀延伸的长度是两边各加x，避免误算成只加一个x。
【难度系数】
0.7
7.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条,剩下的面积是$48m^2$,则原来这块木板的面积是………………【 】
A.$100m^2$
B.$64m^2$
C.$121m^2$
D.$144m^2$
A.$100m^2$
B.$64m^2$
C.$121m^2$
D.$144m^2$
答案
B
解析
【分析】
这是一道结合几何面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先原图形是正方形，边长未知，可设原来正方形的边长为x m；锯掉2m宽的长方形木条后，剩余图形为长方形，该长方形的长等于原正方形边长x m，宽为原边长减去锯掉的宽度，即(x-2)m；再根据剩余面积为48m²，利用长方形面积公式即可列出方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，得到原正方形边长，最后计算原正方形面积即可。
【解析】
解：设原来正方形木板的边长为$ x \, \mathrm{m} $。
锯掉2m宽的长方形木条后，剩余部分是长为$ x \, \mathrm{m} $、宽为$ (x-2) \, \mathrm{m} $的长方形，根据剩余面积为$ 48 \, \mathrm{m}^2 $，列方程得：
$ x(x-2) = 48 $
整理得：$ x^2 - 2x - 48 = 0 $
因式分解得：$ (x-8)(x+6) = 0 $
解得：$ x_1 = 8 $，$ x_2 = -6 $
∵ 木板边长不能为负数，
∴ 舍去$ x_2 = -6 $，即原正方形边长为$ 8 \, \mathrm{m} $。
原正方形木板的面积为：$ 8 × 8 = 64 \, \mathrm{m}^2 $
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 矩形面积计算
3. 一元二次方程解法
【点评】
本题是方程与几何结合的基础题型，解题关键是准确找到剩余图形的边长与原正方形边长的关系，建立正确的方程模型，求解后要注意结合实际场景舍去不符合要求的根，避免不必要的错误。
【难度系数】
0.7
这是一道结合几何面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先原图形是正方形，边长未知，可设原来正方形的边长为x m；锯掉2m宽的长方形木条后，剩余图形为长方形，该长方形的长等于原正方形边长x m，宽为原边长减去锯掉的宽度，即(x-2)m；再根据剩余面积为48m²，利用长方形面积公式即可列出方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，得到原正方形边长，最后计算原正方形面积即可。
【解析】
解：设原来正方形木板的边长为$ x \, \mathrm{m} $。
锯掉2m宽的长方形木条后，剩余部分是长为$ x \, \mathrm{m} $、宽为$ (x-2) \, \mathrm{m} $的长方形，根据剩余面积为$ 48 \, \mathrm{m}^2 $，列方程得：
$ x(x-2) = 48 $
整理得：$ x^2 - 2x - 48 = 0 $
因式分解得：$ (x-8)(x+6) = 0 $
解得：$ x_1 = 8 $，$ x_2 = -6 $
∵ 木板边长不能为负数，
∴ 舍去$ x_2 = -6 $，即原正方形边长为$ 8 \, \mathrm{m} $。
原正方形木板的面积为：$ 8 × 8 = 64 \, \mathrm{m}^2 $
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 矩形面积计算
3. 一元二次方程解法
【点评】
本题是方程与几何结合的基础题型，解题关键是准确找到剩余图形的边长与原正方形边长的关系，建立正确的方程模型，求解后要注意结合实际场景舍去不符合要求的根，避免不必要的错误。
【难度系数】
0.7
8.有一个三位数，其个位、十位、百位上的数字是三个连续整数，并且个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍，则这个三位数是 …………………………【 】
A.321
B.123
C.321或123
D.±123或±321
A.321
B.123
C.321或123
D.±123或±321
答案
D
解析
【分析】
解题时首先明确三个数位上的数字是连续整数，因此可以设十位数字为x（作为三个连续整数的中间量，简化计算），则个位和百位数字为x-1和x+1；再根据“个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍”的等量关系列一元二次方程，求解得到符合数位数字要求的整数解，再对应组合出不同的三位数，同时结合选项考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
设十位上的数字为$ x $，因为个位、十位、百位上的数字是三个连续整数，因此个位和百位上的数字分别为$ x-1 $和$ x+1 $。
根据题意列方程：
$(x-1)^2 + (x+1)^2 = 5x$
展开并整理方程：
$x^2 - 2x + 1 + x^2 + 2x + 1 = 5x \\2x^2 + 2 = 5x \\2x^2 - 5x + 2 = 0$
因式分解得：
$(2x-1)(x-2)=0$
解得：$ x_1=\frac{1}{2} $（舍去，数位上的数字为整数），$ x_2=2 $。
因此十位数字为2，个位和百位数字分别为1和3，有两种组合：
① 百位为1，个位为3，三位数为123；
② 百位为3，个位为1，三位数为321。
又因为题目未限定三位数为正，因此对应的负数$-123$、$-321$也符合要求。
综上，这个三位数是$\pm123$或$\pm321$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；数字问题；连续整数表示
【点评】
本题属于数字类方程应用题，解题的关键是合理选择中间量设未知数，求解后注意数位数字必须为整数的隐含要求，同时要结合选项避免遗漏负数解的情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确三个数位上的数字是连续整数，因此可以设十位数字为x（作为三个连续整数的中间量，简化计算），则个位和百位数字为x-1和x+1；再根据“个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍”的等量关系列一元二次方程，求解得到符合数位数字要求的整数解，再对应组合出不同的三位数，同时结合选项考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
设十位上的数字为$ x $，因为个位、十位、百位上的数字是三个连续整数，因此个位和百位上的数字分别为$ x-1 $和$ x+1 $。
根据题意列方程：
$(x-1)^2 + (x+1)^2 = 5x$
展开并整理方程：
$x^2 - 2x + 1 + x^2 + 2x + 1 = 5x \\2x^2 + 2 = 5x \\2x^2 - 5x + 2 = 0$
因式分解得：
$(2x-1)(x-2)=0$
解得：$ x_1=\frac{1}{2} $（舍去，数位上的数字为整数），$ x_2=2 $。
因此十位数字为2，个位和百位数字分别为1和3，有两种组合：
① 百位为1，个位为3，三位数为123；
② 百位为3，个位为1，三位数为321。
又因为题目未限定三位数为正，因此对应的负数$-123$、$-321$也符合要求。
综上，这个三位数是$\pm123$或$\pm321$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；数字问题；连续整数表示
【点评】
本题属于数字类方程应用题，解题的关键是合理选择中间量设未知数，求解后注意数位数字必须为整数的隐含要求，同时要结合选项避免遗漏负数解的情况。
【难度系数】
0.6
9.一幅矩形风景画长80 cm、宽50 cm，在这幅画的外围镶嵌一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂画的面积为$5400\ \mathrm{cm}^2$.设金色纸边宽$x\ \mathrm{cm}$，符合题意的方程是……【 】
A.$x^2 + 130x - 1400 = 0$
B.$x^2 + 65x - 350 = 0$
C.$x^2 - 130x - 1400 = 0$
D.$x^2 - 65x - 350 = 0$
A.$x^2 + 130x - 1400 = 0$
B.$x^2 + 65x - 350 = 0$
C.$x^2 - 130x - 1400 = 0$
D.$x^2 - 65x - 350 = 0$
答案
B
解析
【分析】
本题属于列一元二次方程解决实际问题的题型，解题思路如下：首先明确金色纸边在风景画四周均匀分布，因此镶边后挂画的长和宽都要在原风景画长宽基础上各加2倍的纸边宽度x；再结合矩形面积=长×宽的公式，代入已知的挂画总面积列出方程，最后整理化简为最简形式，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：已知金色纸边宽为x cm，
则镶嵌后挂画的长为$(80+2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(50+2x)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式，可列方程：
$(80+2x)(50+2x)=5400$
展开左边得：
$4000 + 160x + 100x + 4x^2 = 5400$
移项合并同类项得：
$4x^2 + 260x - 1400 = 0$
方程两边同时除以4化简得：
$x^2 + 65x - 350 = 0$
因此符合题意的方程为B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，整式化简
【点评】
本题是几何镶边类的常规基础题，易错点是容易误将镶边后的长、宽算成原长宽加x，忽略了纸边在图形两侧都有分布，只要准确表示出镶边后图形的尺寸，结合面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题属于列一元二次方程解决实际问题的题型，解题思路如下：首先明确金色纸边在风景画四周均匀分布，因此镶边后挂画的长和宽都要在原风景画长宽基础上各加2倍的纸边宽度x；再结合矩形面积=长×宽的公式，代入已知的挂画总面积列出方程，最后整理化简为最简形式，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：已知金色纸边宽为x cm，
则镶嵌后挂画的长为$(80+2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(50+2x)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式，可列方程：
$(80+2x)(50+2x)=5400$
展开左边得：
$4000 + 160x + 100x + 4x^2 = 5400$
移项合并同类项得：
$4x^2 + 260x - 1400 = 0$
方程两边同时除以4化简得：
$x^2 + 65x - 350 = 0$
因此符合题意的方程为B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，整式化简
【点评】
本题是几何镶边类的常规基础题，易错点是容易误将镶边后的长、宽算成原长宽加x，忽略了纸边在图形两侧都有分布，只要准确表示出镶边后图形的尺寸，结合面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
10.用一条长40 cm的绳子围一个面积为$a\ \mathrm{cm}^2$的长方形，$a$的值不可能为……【 】
A.20
B.40
C.100
D.120
A.20
B.40
C.100
D.120
答案
D
解析
【分析】
已知绳子长40cm即长方形周长为40cm，要判断面积a的不可能值，我们可以先设长方形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，再根据长方形面积公式得到面积关于边长的二次函数关系式，通过配方法求二次函数的最大值确定a的取值范围，即可判断选项。
【解析】
设围成的长方形的长为$ x\ \mathrm{cm} $（$ 0＜x＜20 $），
由长方形周长为40cm，可得长方形的宽为$ \frac{40}{2} - x = (20 - x)\ \mathrm{cm} $，
根据长方形面积公式得：
$ a = x(20 - x) = -x^2 + 20x $
用配方法整理得：
$ a = -(x^2 - 20x) = -(x^2 - 20x + 100 - 100) = -(x-10)^2 + 100 $
因为$ -(x-10)^2 ≤ 0 $，所以当$ x=10 $时，$ a $取得最大值$ 100\ \mathrm{cm}^2 $，
因此面积$ a $的取值范围为$ 0 ＜ a ≤ 100 $，
选项中120超过面积最大值，不可能出现。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；长方形周长与面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题核心是将实际问题转化为二次函数问题，通过求函数最值确定面积的取值范围，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
已知绳子长40cm即长方形周长为40cm，要判断面积a的不可能值，我们可以先设长方形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，再根据长方形面积公式得到面积关于边长的二次函数关系式，通过配方法求二次函数的最大值确定a的取值范围，即可判断选项。
【解析】
设围成的长方形的长为$ x\ \mathrm{cm} $（$ 0＜x＜20 $），
由长方形周长为40cm，可得长方形的宽为$ \frac{40}{2} - x = (20 - x)\ \mathrm{cm} $，
根据长方形面积公式得：
$ a = x(20 - x) = -x^2 + 20x $
用配方法整理得：
$ a = -(x^2 - 20x) = -(x^2 - 20x + 100 - 100) = -(x-10)^2 + 100 $
因为$ -(x-10)^2 ≤ 0 $，所以当$ x=10 $时，$ a $取得最大值$ 100\ \mathrm{cm}^2 $，
因此面积$ a $的取值范围为$ 0 ＜ a ≤ 100 $，
选项中120超过面积最大值，不可能出现。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；长方形周长与面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题核心是将实际问题转化为二次函数问题，通过求函数最值确定面积的取值范围，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
11. 如图2-1-3，矩形ABCD中，AB = 7，AD = 5，点E在CD上，把△ADE沿AE翻折，当点D的对应点D'落在∠ABC的平分线上时，点D'到AB的距离是 …………【 】
A.3
B.4
C.5
D.3或4
A.3
B.4
C.5
D.3或4
答案
D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①翻折变换的性质可得翻折后对应边相等，即$AD'=AD=5$；②点$D'$落在$∠ABC$的平分线上，矩形中$∠ABC$为直角，根据角平分线的性质，$D'$到$AB$、$BC$的距离相等，可设$D'$到$AB$的距离为$h$，再结合线段长度关系，利用勾股定理列方程求解即可，注意方程的解需验证是否符合实际情景。
【解析】
过点$D'$作$D'F⊥AB$于点$F$，$D'G⊥BC$于点$G$。
∵$D'$在$∠ABC$的平分线上，$∠ABC=90°$，
∴$D'F=D'G$，四边形$BFD'G$为正方形，故$BF=D'F$。
设$D'$到$AB$的距离为$h$，即$D'F=h$，则$BF=h$，$AF=AB - BF=7 - h$。
由折叠的性质可知：$AD'=AD=5$。
在$Rt△AD'F$中，根据勾股定理得：$AF^2 + D'F^2 = AD'^2$，
代入数据得：$(7-h)^2 + h^2 = 5^2$，
展开整理得：$h^2 -7h +12=0$，
因式分解得：$(h-3)(h-4)=0$，
解得$h_1=3$，$h_2=4$，经检验两个解均符合题意。
【答案】
D
【知识点】
翻折变换的性质，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何折叠类的常规题型，解题的核心是抓住折叠前后边的不变性，结合角平分线的性质设未知量，通过勾股定理建立方程求解，解题时要注意考虑解的合理性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：①翻折变换的性质可得翻折后对应边相等，即$AD'=AD=5$；②点$D'$落在$∠ABC$的平分线上，矩形中$∠ABC$为直角，根据角平分线的性质，$D'$到$AB$、$BC$的距离相等，可设$D'$到$AB$的距离为$h$，再结合线段长度关系，利用勾股定理列方程求解即可，注意方程的解需验证是否符合实际情景。
【解析】
过点$D'$作$D'F⊥AB$于点$F$，$D'G⊥BC$于点$G$。
∵$D'$在$∠ABC$的平分线上，$∠ABC=90°$，
∴$D'F=D'G$，四边形$BFD'G$为正方形，故$BF=D'F$。
设$D'$到$AB$的距离为$h$，即$D'F=h$，则$BF=h$，$AF=AB - BF=7 - h$。
由折叠的性质可知：$AD'=AD=5$。
在$Rt△AD'F$中，根据勾股定理得：$AF^2 + D'F^2 = AD'^2$，
代入数据得：$(7-h)^2 + h^2 = 5^2$，
展开整理得：$h^2 -7h +12=0$，
因式分解得：$(h-3)(h-4)=0$，
解得$h_1=3$，$h_2=4$，经检验两个解均符合题意。
【答案】
D
【知识点】
翻折变换的性质，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何折叠类的常规题型，解题的核心是抓住折叠前后边的不变性，结合角平分线的性质设未知量，通过勾股定理建立方程求解，解题时要注意考虑解的合理性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
