10. 如图，某次军事演习中，一艘船以40 km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东$60°$方向上，2 h后到达B处，测得小岛C在它的北偏西$45°$方向上，则该船在航行过程中与小岛C的最近距离约为________ km（参考数据：$\sqrt{2}≈1.41$，$\sqrt{3}≈1.73$，结果精确到0.1 km）。

10. 29.2

三、解答题
11. 如图,在四边形ABCD中,∠DAB=60°,AD:AB=2:3,BD=√7,AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值;
(2)若∠BCD=120°,求CD的长.

11. (1) 如图,过点 D 作 $DE ⊥ AB$ 于点 E,设 $AE=a$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中, $\because ∠ A = 60°$, $AE=a$,
$\therefore ∠ ADE=30°, \therefore AD=2a, DE=\sqrt{3}a$.
$\because AD:AB=2:3$,
$\therefore AB=3a, EB=AB-AE=2a$.
在 $\mathrm{Rt}△ DEB$ 中, $(\sqrt{3}a)^2+(2a^2)=(\sqrt{7})^2$,
解得 $a=1, \therefore DE=\sqrt{3}, BE=2$,
$\therefore \sin ∠ ABD=\frac{DE}{BD}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$.

(2) 如图,过点 C 作 $CF ⊥ DE$ 于点 F.
$\because CB ⊥ AB, CF ⊥ DE, DE ⊥ AB$,
$\therefore ∠ CFE = ∠ FEB = ∠ CBE=90°$,
$\therefore$ 四边形 CFEB 是矩形.
$\therefore CF=EB=2, BC=EF, ∠ FCB=90°$.
$\because ∠ DCB = 120°, \therefore ∠ DCF=30°$.
$\therefore DF=CF · \tan 30°=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore CD=2DF=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

12. 如图，CD是△ABC的中线，∠B是锐角，$\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan A=\frac{1}{2}$，$AC=\sqrt{5}$。
(1)求AB的长；
(2)求$\tan ∠ CDB$的值。

12. (1) 如图,过点 C 作 $CE ⊥ AB$ 于点 E. 设 $CE=x$, 在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 中, $\because \tan A = \frac{CE}{AE} = \frac{1}{2}, \therefore AE=2x$.
$\therefore AC=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x. \therefore \sqrt{5}x=\sqrt{5}$, 解得 $x=1. \therefore CE=1, AE=2$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中, $\because \sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}, \therefore ∠ B=45°. \therefore △ BCE$ 为等腰直角三角形.
$\therefore BE=CE=1. \therefore AB=AE+BE=3$.

(2) $\because CD$ 为中线, $\therefore BD=\frac{1}{2} AB=1.5. \therefore DE=BD-BE=1.5-1=0.5. \therefore \tan ∠ CDE=\frac{CE}{DE}=\frac{1}{0.5}=2$, 即 $\tan ∠ CDB$ 的值为 2.

13. 某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD=10 m，坡角α=30°. 小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°(已知点A、B、C、D在同一平面内，B、C在同一水平线上).
(1)求点D到地面BC的距离；
(2)求该建筑物的高度AB.

13. (1) 如图,过点 D 作 $DE ⊥ BC$, 交 BC 的延长线于点 E. $\because α=30°, CD=10 \mathrm{ m}, \therefore DE=\frac{1}{2} CD=5 \mathrm{ m}$.
故点 D 到地面 BC 的距离为 5 m.

(2) 如图,过点 D 作 $DF ⊥ AB$ 于点 F, 则 $BF=DE=5 \mathrm{ m}$. 由题意得 $CE=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}(\mathrm{m})$. 设 $BC=x \mathrm{ m}$, 则 $DF = BE = (5\sqrt{3} + x) \mathrm{ m}$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $\tan 60°=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{x}=\sqrt{3}$, $\therefore AB=\sqrt{3}x \mathrm{ m}. \therefore AF=(\sqrt{3}x -5)\mathrm{m}$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADF$ 中, $\tan 30°=\frac{AF}{DF}=\frac{\sqrt{3}x -5}{5\sqrt{3} +x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 解得 $x=5\sqrt{3}$. 经检验, $x=5\sqrt{3}$ 是原方程的解且符合题意, $\therefore AB=\sqrt{3} × 5\sqrt{3}=15(\mathrm{m})$.
$\therefore$ 该建筑物的高度 AB 为 15 m.