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1. 如图,点A,B,C在$\odot O$上,$∠ BOC=60°$,则$∠ BAC$的度数是 （）
A.$30°$
B.$15°$
C.$45°$
D.$20°$
第1小题图
第2小题图
第5小题图
A.$30°$
B.$15°$
C.$45°$
D.$20°$
第1小题图
第2小题图
第5小题图
答案
A
解析
【分析】
首先观察图形，明确∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，联想到圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此只需用已知的圆心角度数除以2，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵∠BOC和∠BAC分别是弧BC所对的圆心角和圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$，
又
∵$∠ BOC=60°$，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是对圆周角定理的直接考查，属于基础题型，熟练掌握圆周角定理的内容就能快速解题。
【难度系数】
0.9
首先观察图形，明确∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，联想到圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此只需用已知的圆心角度数除以2，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵∠BOC和∠BAC分别是弧BC所对的圆心角和圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$，
又
∵$∠ BOC=60°$，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是对圆周角定理的直接考查，属于基础题型，熟练掌握圆周角定理的内容就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 如图，武山湖大桥是串联武穴城区与环湖片区、畅通对外交通，带动武山湖生态文旅发展、助推城市空间拓展与城乡一体化建设的关键交通枢纽工程. 若某拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，水面宽AB为8 m，则拱桥的半径OC为（）
A.4 m
B.5 m
C.6 m
D.8 m
A.4 m
B.5 m
C.6 m
D.8 m
答案
B
解析
【分析】
这是垂径定理在实际问题中的应用类题目，解题思路如下：首先将拱桥的拱形看作圆的一段弧，CD是拱顶到水面的垂直距离，AB是水面宽度，根据圆的对称性可知CD所在直线经过圆心，且垂直平分AB，由此可构造直角三角形，设半径为未知数，结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设拱桥所在圆的半径为$ r\ \mathrm{m} $，即$ OA = OC = r\ \mathrm{m} $。
由题意可知$ CD ⊥ AB $，且直线CD经过圆心O，根据垂径定理可得：
$ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{m} $
已知$ CD = 8\ \mathrm{m} $，则$ OD = CD - OC = (8 - r)\ \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，根据勾股定理有：
$ OA^2 = OD^2 + AD^2 $
代入数值可得：
$ r^2 = (8 - r)^2 + 4^2 $
展开计算：
$ r^2 = 64 - 16r + r^2 + 16 $
消去$ r^2 $后整理得：
$ 16r = 80 $
解得$ r = 5 $
即拱桥的半径OC为5m。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理的应用，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题以实际桥梁建设为背景，考查几何知识在生活中的应用，核心是将实际问题转化为圆的几何模型，结合方程思想求解，能很好地检验学生的知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
这是垂径定理在实际问题中的应用类题目，解题思路如下：首先将拱桥的拱形看作圆的一段弧，CD是拱顶到水面的垂直距离，AB是水面宽度，根据圆的对称性可知CD所在直线经过圆心，且垂直平分AB，由此可构造直角三角形，设半径为未知数，结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设拱桥所在圆的半径为$ r\ \mathrm{m} $，即$ OA = OC = r\ \mathrm{m} $。
由题意可知$ CD ⊥ AB $，且直线CD经过圆心O，根据垂径定理可得：
$ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{m} $
已知$ CD = 8\ \mathrm{m} $，则$ OD = CD - OC = (8 - r)\ \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，根据勾股定理有：
$ OA^2 = OD^2 + AD^2 $
代入数值可得：
$ r^2 = (8 - r)^2 + 4^2 $
展开计算：
$ r^2 = 64 - 16r + r^2 + 16 $
消去$ r^2 $后整理得：
$ 16r = 80 $
解得$ r = 5 $
即拱桥的半径OC为5m。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理的应用，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题以实际桥梁建设为背景，考查几何知识在生活中的应用，核心是将实际问题转化为圆的几何模型，结合方程思想求解，能很好地检验学生的知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
3.已知$\odot O$的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与$\odot O$的位置关系是 （）
A.点P在$\odot O$外
B.点P在$\odot O$内
C.点P在$\odot O$上
D.无法确定
A.点P在$\odot O$外
B.点P在$\odot O$内
C.点P在$\odot O$上
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，核心方法是比较点到圆心的距离$d$和圆的半径$r$的大小：若$d＞r$，点在圆外；若$d=r$，点在圆上；若$d＜r$，点在圆内。本题已经直接给出圆的半径和点到圆心的距离，直接对两个数值进行比较，就能推出点和圆的位置关系。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=3$，圆心$O$到点$P$的距离$d=OP=5$。
对比两个数值可得$5＞3$，即$d＞r$，根据点与圆的位置关系判定规则，可知点$P$在$\odot O$外。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础类题型，只要牢记点和圆三种位置关系对应的距离与半径的大小比较规则，就能快速得出答案，得分难度较低。
【难度系数】
0.9
要判断点与圆的位置关系，核心方法是比较点到圆心的距离$d$和圆的半径$r$的大小：若$d＞r$，点在圆外；若$d=r$，点在圆上；若$d＜r$，点在圆内。本题已经直接给出圆的半径和点到圆心的距离，直接对两个数值进行比较，就能推出点和圆的位置关系。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=3$，圆心$O$到点$P$的距离$d=OP=5$。
对比两个数值可得$5＞3$，即$d＞r$，根据点与圆的位置关系判定规则，可知点$P$在$\odot O$外。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础类题型，只要牢记点和圆三种位置关系对应的距离与半径的大小比较规则，就能快速得出答案，得分难度较低。
【难度系数】
0.9
4. 下列说法中正确的是 （）
A.三点确定一个圆
B.三角形的外心是三角形角平分线的交点
C.等弧所对的圆心角相等
D.在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等
A.三点确定一个圆
B.三角形的外心是三角形角平分线的交点
C.等弧所对的圆心角相等
D.在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等
答案
C
解析
【分析】
本题考查圆的相关基础概念，解题时需逐个分析每个选项，结合对应定理的完整表述和限制条件判断正误：首先回忆确定圆的条件、三角形外心的定义、等弧的性质、弦与圆周角的关系这几个知识点，逐一排查选项对错即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 只有不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，共线的三点无法确定圆，故A错误；
B. 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，而三角形角平分线的交点是三角形的内心，故B错误；
C. 等弧的定义是同圆或等圆中能够完全重合的弧，因此等弧一定满足“同圆或等圆”的前提，其所对的圆心角相等，故C正确；
D. 在同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），因此等弦所对的圆周角可能相等，也可能互补，并非一定相等，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 三角形外心定义
3. 弧弦圆心角圆周角的关系
【点评】
本题侧重考查圆相关基础概念的准确掌握，易错点是容易忽略定理的前提限制，比如忘记A选项中三点不能共线、D选项中弦对应两类圆周角的情况，学习时要注意记全概念的完整表述，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.7
本题考查圆的相关基础概念，解题时需逐个分析每个选项，结合对应定理的完整表述和限制条件判断正误：首先回忆确定圆的条件、三角形外心的定义、等弧的性质、弦与圆周角的关系这几个知识点，逐一排查选项对错即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 只有不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，共线的三点无法确定圆，故A错误；
B. 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，而三角形角平分线的交点是三角形的内心，故B错误；
C. 等弧的定义是同圆或等圆中能够完全重合的弧，因此等弧一定满足“同圆或等圆”的前提，其所对的圆心角相等，故C正确；
D. 在同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），因此等弦所对的圆周角可能相等，也可能互补，并非一定相等，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 三角形外心定义
3. 弧弦圆心角圆周角的关系
【点评】
本题侧重考查圆相关基础概念的准确掌握，易错点是容易忽略定理的前提限制，比如忘记A选项中三点不能共线、D选项中弦对应两类圆周角的情况，学习时要注意记全概念的完整表述，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.7
5. 如图，AB为$\odot O$的切线，OB交$\odot O$于点D，C为$\odot O$上一点，若$∠ ACD=24°$，则$∠ ABO$的度数为 （）
A.$48°$
B.$36°$
C.$42°$
D.$72°$
A.$48°$
B.$36°$
C.$42°$
D.$72°$
答案
C
解析
【分析】
本题可通过构造辅助线结合圆的相关性质求解：首先，已知AB是圆的切线，根据切线性质需连接过切点的半径OA，可得OA垂直于AB，即△OAB是直角三角形；其次，∠ACD是同弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理可求出对应圆心角∠AOD的度数；最后在Rt△OAB中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠ABO的度数。
【解析】
连接OA，
∵AB为$\odot O$的切线，A为切点，
∴$OA⊥AB$，即$∠ OAB=90°$，
∵同弧AD所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ ACD=24°$，
∴$∠ AOD=2∠ ACD=2×24°=48°$，
在$Rt△ OAB$中，$∠ ABO+∠ AOD=90°$，
∴$∠ ABO=90°-48°=42°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础应用类题型，解题的关键是合理作出辅助线，将已知圆周角和待求角通过圆心角、直角三角形的性质建立关联，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
本题可通过构造辅助线结合圆的相关性质求解：首先，已知AB是圆的切线，根据切线性质需连接过切点的半径OA，可得OA垂直于AB，即△OAB是直角三角形；其次，∠ACD是同弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理可求出对应圆心角∠AOD的度数；最后在Rt△OAB中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠ABO的度数。
【解析】
连接OA，
∵AB为$\odot O$的切线，A为切点，
∴$OA⊥AB$，即$∠ OAB=90°$，
∵同弧AD所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ ACD=24°$，
∴$∠ AOD=2∠ ACD=2×24°=48°$，
在$Rt△ OAB$中，$∠ ABO+∠ AOD=90°$，
∴$∠ ABO=90°-48°=42°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础应用类题型，解题的关键是合理作出辅助线，将已知圆周角和待求角通过圆心角、直角三角形的性质建立关联，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
6. 若将同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长分别记作$a_3,a_6$，则$a_3:a_6$等于（）
A.$1:\sqrt{3}$
B.$1:3$
C.$3:1$
D.$\sqrt{3}:1$
A.$1:\sqrt{3}$
B.$1:3$
C.$3:1$
D.$\sqrt{3}:1$
答案
D
解析
【分析】
要计算同圆内接正三角形和正六边形的边长比，我们可先设圆的半径为R，利用正多边形和外接圆的性质，分别将正三角形边长$a_3$、正六边形边长$a_6$用R表示，最后计算比值即可。解题时可先计算正n边形的中心角（$\frac{360°}{n}$），再结合特殊三角形性质或直角三角形边角关系推导边长和半径的关系。
【解析】
设该圆的半径为R。
1. 求正六边形边长$a_6$：
正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，正六边形的两条外接圆半径与边长构成的三角形两边均为R，夹角为$60°$，因此该三角形是等边三角形，可得$a_6=R$。
2. 求正三角形边长$a_3$：
正三角形的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，过圆心作正三角形一边的垂线，根据垂径定理，该垂线平分边长、也平分中心角，得到斜边为R、一个锐角为$\frac{120°}{2}=60°$的直角三角形。
由三角函数定义得：$\sin60°=\frac{\frac{a_3}{2}}{R}$，
代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$a_3=\sqrt{3}R$。
3. 计算边长比：
$a_3:a_6=\sqrt{3}R:R=\sqrt{3}:1$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆，垂径定理，特殊角三角函数值
【点评】
本题考查正多边形边长与外接圆半径的关系，解题核心是将正多边形问题转化为特殊三角形求解，掌握正多边形中心角计算方法是解题的关键，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
要计算同圆内接正三角形和正六边形的边长比，我们可先设圆的半径为R，利用正多边形和外接圆的性质，分别将正三角形边长$a_3$、正六边形边长$a_6$用R表示，最后计算比值即可。解题时可先计算正n边形的中心角（$\frac{360°}{n}$），再结合特殊三角形性质或直角三角形边角关系推导边长和半径的关系。
【解析】
设该圆的半径为R。
1. 求正六边形边长$a_6$：
正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，正六边形的两条外接圆半径与边长构成的三角形两边均为R，夹角为$60°$，因此该三角形是等边三角形，可得$a_6=R$。
2. 求正三角形边长$a_3$：
正三角形的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，过圆心作正三角形一边的垂线，根据垂径定理，该垂线平分边长、也平分中心角，得到斜边为R、一个锐角为$\frac{120°}{2}=60°$的直角三角形。
由三角函数定义得：$\sin60°=\frac{\frac{a_3}{2}}{R}$，
代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$a_3=\sqrt{3}R$。
3. 计算边长比：
$a_3:a_6=\sqrt{3}R:R=\sqrt{3}:1$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆，垂径定理，特殊角三角函数值
【点评】
本题考查正多边形边长与外接圆半径的关系，解题核心是将正多边形问题转化为特殊三角形求解，掌握正多边形中心角计算方法是解题的关键，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
7. 一个圆锥的底面直径是8 cm，母线长为9 cm，则圆锥的全面积为 （）
A.$36π \ \mathrm{cm}^2$
B.$52π \ \mathrm{cm}^2$
C.$72π \ \mathrm{cm}^2$
D.$136π \ \mathrm{cm}^2$
A.$36π \ \mathrm{cm}^2$
B.$52π \ \mathrm{cm}^2$
C.$72π \ \mathrm{cm}^2$
D.$136π \ \mathrm{cm}^2$
答案
B
解析
【分析】要计算圆锥的全面积，首先需明确圆锥全面积是侧面积与底面积之和。首先根据底面直径求出底面半径，再分别利用圆的面积公式计算底面积、圆锥侧面积公式计算侧面积，最后将两部分面积相加即可得到结果。
【解析】解：已知圆锥底面直径为8cm，因此底面半径$r=8÷2=4\mathrm{cm}$，母线长$l=9\mathrm{cm}$。
1. 计算底面积：根据圆的面积公式$S_{\mathrm{底}}=π r^2$，代入得$S_{\mathrm{底}}=π×4^2=16π\ \mathrm{cm}^2$；
2. 计算侧面积：根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入得$S_{\mathrm{侧}}=π×4×9=36π\ \mathrm{cm}^2$；
3. 计算全面积：$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=36π+16π=52π\ \mathrm{cm}^2$。
因此本题选B。
【答案】B
【知识点】圆锥侧面积计算；圆的面积计算；全面积计算
【点评】本题属于基础类计算题，核心是牢记圆锥各部分面积的计算公式，解题时注意区分侧面积和全面积的概念，准确代入对应数值计算即可，是对基础公式应用能力的考查。
【难度系数】0.8
【解析】解：已知圆锥底面直径为8cm，因此底面半径$r=8÷2=4\mathrm{cm}$，母线长$l=9\mathrm{cm}$。
1. 计算底面积：根据圆的面积公式$S_{\mathrm{底}}=π r^2$，代入得$S_{\mathrm{底}}=π×4^2=16π\ \mathrm{cm}^2$；
2. 计算侧面积：根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入得$S_{\mathrm{侧}}=π×4×9=36π\ \mathrm{cm}^2$；
3. 计算全面积：$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=36π+16π=52π\ \mathrm{cm}^2$。
因此本题选B。
【答案】B
【知识点】圆锥侧面积计算；圆的面积计算；全面积计算
【点评】本题属于基础类计算题，核心是牢记圆锥各部分面积的计算公式，解题时注意区分侧面积和全面积的概念，准确代入对应数值计算即可，是对基础公式应用能力的考查。
【难度系数】0.8
8. 等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线(图中阴影部分)，如果AB=1，那么这个等宽曲线的周长是 （）
A.$\frac{π}{3}$
B.$\frac{2π}{3}$
C.$π$
D.$2π$
第8小题图
A.$\frac{π}{3}$
B.$\frac{2π}{3}$
C.$π$
D.$2π$
第8小题图
答案
C
解析
【分析】
首先观察等宽曲线的构成，它的周长由三段长度相等的圆弧组成。已知△ABC是等边三角形，可得每个内角为60°，且每段圆弧的半径等于等边三角形的边长1，每段弧对应的圆心角就是等边三角形的内角。我们可以先利用弧长公式计算单段弧的长度，再乘以3即可得到整个等宽曲线的周长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=1
∴AB=BC=AC=1，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n为圆心角度数，r为半径），可得单段弧的长度为：
$l_1=\frac{60π×1}{180}=\frac{π}{3}$
等宽曲线共有3段这样的弧，因此总周长为：
$C=3×\frac{π}{3}=π$
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；弧长的计算
【点评】
本题解题的核心是明确等宽曲线的周长由三段等长的圆弧构成，结合等边三角形的性质确定弧的圆心角和半径，再代入弧长公式计算即可，解题时注意不要误把阴影部分的面积相关计算和周长混淆。
【难度系数】
0.7
首先观察等宽曲线的构成，它的周长由三段长度相等的圆弧组成。已知△ABC是等边三角形，可得每个内角为60°，且每段圆弧的半径等于等边三角形的边长1，每段弧对应的圆心角就是等边三角形的内角。我们可以先利用弧长公式计算单段弧的长度，再乘以3即可得到整个等宽曲线的周长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=1
∴AB=BC=AC=1，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n为圆心角度数，r为半径），可得单段弧的长度为：
$l_1=\frac{60π×1}{180}=\frac{π}{3}$
等宽曲线共有3段这样的弧，因此总周长为：
$C=3×\frac{π}{3}=π$
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；弧长的计算
【点评】
本题解题的核心是明确等宽曲线的周长由三段等长的圆弧构成，结合等边三角形的性质确定弧的圆心角和半径，再代入弧长公式计算即可，解题时注意不要误把阴影部分的面积相关计算和周长混淆。
【难度系数】
0.7
