登录
8.若关于$x,y$的多项式$2mx^2 - x^2 + 5x + 8 - (7x^2 - 3y + 5x)$的值与$x$无关，求$m$的值.
答案
8. 解:$2mx^2 - x^2 + 5x + 8 - (7x^2 - 3y + 5x)$
$=2mx^2 - x^2 + 5x + 8 - 7x^2 + 3y - 5x$
$=(2m - 8)x^2 + 3y + 8.$
因为多项式的值与$x$无关,
所以$2m - 8 = 0$. 所以$m = 4.$
$=2mx^2 - x^2 + 5x + 8 - 7x^2 + 3y - 5x$
$=(2m - 8)x^2 + 3y + 8.$
因为多项式的值与$x$无关,
所以$2m - 8 = 0$. 所以$m = 4.$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需理解“多项式的值与x无关”的含义：即化简后的多项式中，所有含x的项的系数都为0。解题时第一步先对给定的多项式去括号、合并同类项，整理出含x的项，再令含x的项的系数等于0，建立关于m的方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
先对多项式进行化简：
$2mx^2 - x^2 + 5x + 8 - (7x^2 - 3y + 5x)$
$=2mx^2 - x^2 + 5x + 8 - 7x^2 + 3y - 5x$
合并同类项：
$x^2$项合并得：$(2m-1-7)x^2=(2m-8)x^2$
$x$项合并得：$5x-5x=0$
剩余项为$3y+8$
因此化简结果为：$(2m - 8)x^2 + 3y + 8$
因为多项式的值与$x$无关，所以含$x$的项的系数为0，即：
$2m - 8 = 0$
解得：$m=4$
【答案】
$m=4$
【知识点】
1.整式的加减运算
2.多项式与字母无关的性质
3.解一元一次方程
【点评】
本题是整式化简求值的典型基础题型，解题核心是正确理解“多项式的值与某字母无关”即该字母所有次项的系数均为0，解题过程中要熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则，注意运算符号的准确性。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需理解“多项式的值与x无关”的含义：即化简后的多项式中，所有含x的项的系数都为0。解题时第一步先对给定的多项式去括号、合并同类项，整理出含x的项，再令含x的项的系数等于0，建立关于m的方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
先对多项式进行化简：
$2mx^2 - x^2 + 5x + 8 - (7x^2 - 3y + 5x)$
$=2mx^2 - x^2 + 5x + 8 - 7x^2 + 3y - 5x$
合并同类项：
$x^2$项合并得：$(2m-1-7)x^2=(2m-8)x^2$
$x$项合并得：$5x-5x=0$
剩余项为$3y+8$
因此化简结果为：$(2m - 8)x^2 + 3y + 8$
因为多项式的值与$x$无关，所以含$x$的项的系数为0，即：
$2m - 8 = 0$
解得：$m=4$
【答案】
$m=4$
【知识点】
1.整式的加减运算
2.多项式与字母无关的性质
3.解一元一次方程
【点评】
本题是整式化简求值的典型基础题型，解题核心是正确理解“多项式的值与某字母无关”即该字母所有次项的系数均为0，解题过程中要熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则，注意运算符号的准确性。
【难度系数】
0.8
9.有理数$a,b,c$在数轴上的位置如图所示，化简:$|a - c| - |b| - |b - a| + |b + a|$.
答案
解:由数轴,知$a ＜ 0 ＜ b ＜ c$,且$|b| ＜ |a|$,
所以$a - c ＜ 0$,$b ＞ 0$,$b - a ＞ 0$,$b + a ＜ 0$.
所以原式$=c - a - b - b + a - b - a$
$=-a - 3b + c.$
所以$a - c ＜ 0$,$b ＞ 0$,$b - a ＞ 0$,$b + a ＜ 0$.
所以原式$=c - a - b - b + a - b - a$
$=-a - 3b + c.$
解析
【分析】
解决这类数轴结合绝对值化简的问题，可按以下思路思考：第一步先观察数轴，确定各有理数的正负、大小顺序以及绝对值的大小关系；第二步根据有理数加减法法则，逐一判断每个绝对值内代数式的正负；第三步依据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号；最后去括号、合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可知：$a ＜ 0 ＜ b ＜ c$，且$|b| ＜ |a|$，
由此可判断各绝对值内式子的符号：
$a - c ＜ 0$，$b ＞ 0$，$b - a ＞ 0$，$b + a ＜ 0$，
根据绝对值的性质去掉绝对值符号，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(c - a) - b - (b - a) + [-(b + a)]\\&=c - a - b - b + a - b - a\\&=-a - 3b + c\end{aligned}$
【答案】
$-a - 3b + c$
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；整式的加减
【点评】
本题是数轴、绝对值化简与整式运算的综合典型题，解题的关键是准确从数轴中提取各数的大小、正负信息，正确判断绝对值内式子的正负，熟练运用绝对值性质和去括号、合并同类项法则计算即可。
【难度系数】
0.65
解决这类数轴结合绝对值化简的问题，可按以下思路思考：第一步先观察数轴，确定各有理数的正负、大小顺序以及绝对值的大小关系；第二步根据有理数加减法法则，逐一判断每个绝对值内代数式的正负；第三步依据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号；最后去括号、合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可知：$a ＜ 0 ＜ b ＜ c$，且$|b| ＜ |a|$，
由此可判断各绝对值内式子的符号：
$a - c ＜ 0$，$b ＞ 0$，$b - a ＞ 0$，$b + a ＜ 0$，
根据绝对值的性质去掉绝对值符号，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(c - a) - b - (b - a) + [-(b + a)]\\&=c - a - b - b + a - b - a\\&=-a - 3b + c\end{aligned}$
【答案】
$-a - 3b + c$
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；整式的加减
【点评】
本题是数轴、绝对值化简与整式运算的综合典型题，解题的关键是准确从数轴中提取各数的大小、正负信息，正确判断绝对值内式子的正负，熟练运用绝对值性质和去括号、合并同类项法则计算即可。
【难度系数】
0.65
10.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简:$2|b+c|-3|a-c|-4|a+b|$. 
答案
解:由数轴,知$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$,且$|b| ＜ |c|$,
所以$b + c ＞ 0$,$a - c ＜ 0$,$a + b ＜ 0$.
所以原式$=2(b + c) - [-3(a - c)] - [-4(a + b)]$
$=2b + 2c + 3(a - c) + 4(a + b)$
$=2b + 2c + 3a - 3c + 4a + 4b$
$=7a + 6b - c.$
所以$b + c ＞ 0$,$a - c ＜ 0$,$a + b ＜ 0$.
所以原式$=2(b + c) - [-3(a - c)] - [-4(a + b)]$
$=2b + 2c + 3(a - c) + 4(a + b)$
$=2b + 2c + 3a - 3c + 4a + 4b$
$=7a + 6b - c.$
解析
【分析】
解题时首先观察数轴上a、b、c的位置，确定三者的大小关系以及对应绝对值的大小关系，再根据有理数加减法的运算法则，判断每个绝对值符号内代数式的正负性，随后依据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后去括号、合并同类项即可完成化简。
【解析】
由数轴可知：$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，且$|b| ＜ |c|$，$|a|＞|b|$。
根据有理数加减法规则判断正负：
$b+c$是绝对值更大的正数加负数，因此$b + c ＞ 0$；
$a-c$是负数减正数，因此$a - c ＜ 0$；
$a+b$是两个负数相加，因此$a + b ＜ 0$。
根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值：
$\begin{aligned}原式&=2(b + c) - 3×[-(a - c)] - 4×[-(a + b)]\\&=2(b + c) + 3(a - c) + 4(a + b)\\&=2b + 2c + 3a - 3c + 4a + 4b\\&=7a + 6b - c\end{aligned}$
【答案】
$7a+6b-c$
【知识点】
数轴的应用、绝对值的性质、整式化简
【点评】
本题是数轴、绝对值与整式运算的综合题型，解题的关键是准确判断绝对值内代数式的正负，去括号时要格外注意符号变化，避免因符号运算失误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴上a、b、c的位置，确定三者的大小关系以及对应绝对值的大小关系，再根据有理数加减法的运算法则，判断每个绝对值符号内代数式的正负性，随后依据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后去括号、合并同类项即可完成化简。
【解析】
由数轴可知：$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，且$|b| ＜ |c|$，$|a|＞|b|$。
根据有理数加减法规则判断正负：
$b+c$是绝对值更大的正数加负数，因此$b + c ＞ 0$；
$a-c$是负数减正数，因此$a - c ＜ 0$；
$a+b$是两个负数相加，因此$a + b ＜ 0$。
根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值：
$\begin{aligned}原式&=2(b + c) - 3×[-(a - c)] - 4×[-(a + b)]\\&=2(b + c) + 3(a - c) + 4(a + b)\\&=2b + 2c + 3a - 3c + 4a + 4b\\&=7a + 6b - c\end{aligned}$
【答案】
$7a+6b-c$
【知识点】
数轴的应用、绝对值的性质、整式化简
【点评】
本题是数轴、绝对值与整式运算的综合题型，解题的关键是准确判断绝对值内代数式的正负，去括号时要格外注意符号变化，避免因符号运算失误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
11.是否存在数$m$，使关于$x$，$y$的多项式$(mx^2 - x^2 + 3x + 1) - (5x^2 - 4y^2 + 3x)$化简后的结果中不含$x^2$项？若不存在，请说明理由；若存在，求出$m$的值。
答案
11. 解:存在.
原式$=mx^2 - x^2 + 3x + 1 - 5x^2 + 4y^2 - 3x$
$=(m - 6)x^2 + 4y^2 + 1.$
由题意,得$m - 6 = 0$,
所以存在$m = 6$,满足要求.
原式$=mx^2 - x^2 + 3x + 1 - 5x^2 + 4y^2 - 3x$
$=(m - 6)x^2 + 4y^2 + 1.$
由题意,得$m - 6 = 0$,
所以存在$m = 6$,满足要求.
解析
【分析】
要判断是否存在满足条件的m，首先需要先对多项式进行化简：第一步先去括号，注意括号前是减号时，括号内各项要变号；第二步合并同类项，将所有含x²的项合并为一项。“化简结果不含x²项”的含义是合并后x²项的系数为0，我们只需令x²项的系数等于0，建立关于m的一元一次方程，求解方程即可得到m的值，进而判断是否存在符合要求的m。
【解析】
解：存在。
先对原式去括号：
原式$=mx^2 - x^2 + 3x + 1 - 5x^2 + 4y^2 - 3x$
再合并同类项：
$=(m-1-5)x^2 + (3x-3x) + 4y^2 + 1$
$=(m - 6)x^2 + 4y^2 + 1$
由题意，化简结果不含$x^2$项，因此$x^2$项的系数为0，即：
$m - 6 = 0$
解得$m=6$。
所以存在$m=6$，满足化简后不含$x^2$项的要求。
【答案】
存在，$m$的值为$6$
【知识点】
整式的加减，合并同类项，一元一次方程求解
【点评】
本题是整式化简的典型基础题型，解题核心是理解“多项式不含某一项”等价于“该项合并同类项后的系数为0”，熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
要判断是否存在满足条件的m，首先需要先对多项式进行化简：第一步先去括号，注意括号前是减号时，括号内各项要变号；第二步合并同类项，将所有含x²的项合并为一项。“化简结果不含x²项”的含义是合并后x²项的系数为0，我们只需令x²项的系数等于0，建立关于m的一元一次方程，求解方程即可得到m的值，进而判断是否存在符合要求的m。
【解析】
解：存在。
先对原式去括号：
原式$=mx^2 - x^2 + 3x + 1 - 5x^2 + 4y^2 - 3x$
再合并同类项：
$=(m-1-5)x^2 + (3x-3x) + 4y^2 + 1$
$=(m - 6)x^2 + 4y^2 + 1$
由题意，化简结果不含$x^2$项，因此$x^2$项的系数为0，即：
$m - 6 = 0$
解得$m=6$。
所以存在$m=6$，满足化简后不含$x^2$项的要求。
【答案】
存在，$m$的值为$6$
【知识点】
整式的加减，合并同类项，一元一次方程求解
【点评】
本题是整式化简的典型基础题型，解题核心是理解“多项式不含某一项”等价于“该项合并同类项后的系数为0”，熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
12.有这样一道练习题:已知 $ x = 10 $，求 $ 6x^2 + 4x - 2(x^2 - 1) - 2(2x + x^2) $ 的值. 小华把“$ x = 10 $”抄成了“$ x = -10 $”，但计算的结果却是正确的.你知道其中的原因吗？
答案
12. 解:原式$=6x^2 + 4x - 2x^2 + 2 - 4x - 2x^2$
$=2x^2 + 2.$
当$x = 10$或$x = -10$时,$x^2 = 100$,
故原式$=2×100 + 2 = 202.$
所以小华虽然把“$x = 10$”抄成了“$x = -10$”,但计算的结果却是正确的.
$=2x^2 + 2.$
当$x = 10$或$x = -10$时,$x^2 = 100$,
故原式$=2×100 + 2 = 202.$
所以小华虽然把“$x = 10$”抄成了“$x = -10$”,但计算的结果却是正确的.
解析
【分析】
遇到抄错未知数取值但计算结果仍正确的问题，核心思路是先对整式进行化简，观察化简后式子的结构特征。首先按照整式加减的运算步骤，先去括号、再合并同类项得到最简式，若最简式中仅含有未知数的偶次幂和常数项，那么互为相反数的两个未知数代入后结果会相等，据此即可解释小华计算结果正确的原因。
【解析】
解：先对原式去括号（括号前为负号时，括号内各项要变号）：
$6x^2 + 4x - 2(x^2 - 1) - 2(2x + x^2) = 6x^2 + 4x - 2x^2 + 2 - 4x - 2x^2$
再合并同类项：
$=(6x^2 - 2x^2 - 2x^2) + (4x - 4x) + 2 = 2x^2 + 2$
因为互为相反数的两个数的平方相等，当$x=10$时，$x^2=10^2=100$；当$x=-10$时，$x^2=(-10)^2=100$，代入最简式可得：
原式$=2×100 + 2 = 202$
因此x取10和-10时，计算结果完全相同。
【答案】
原式化简后为$2x^2 + 2$，当$x=10$或$x=-10$时，$x^2$的值均为100，代入后结果均为202，所以小华虽然把$x=10$抄成$x=-10$，计算结果仍然正确。
【知识点】
整式的加减运算、去括号法则、偶次幂的性质
【点评】
本题考查整式化简求值的基础应用，解题关键是养成先化简再求值的习惯，无需直接代入数值计算，通过观察化简后代数式的结构即可快速分析出结果相同的原因，同时巩固了互为相反数的偶次幂相等的性质。
【难度系数】
0.8
遇到抄错未知数取值但计算结果仍正确的问题，核心思路是先对整式进行化简，观察化简后式子的结构特征。首先按照整式加减的运算步骤，先去括号、再合并同类项得到最简式，若最简式中仅含有未知数的偶次幂和常数项，那么互为相反数的两个未知数代入后结果会相等，据此即可解释小华计算结果正确的原因。
【解析】
解：先对原式去括号（括号前为负号时，括号内各项要变号）：
$6x^2 + 4x - 2(x^2 - 1) - 2(2x + x^2) = 6x^2 + 4x - 2x^2 + 2 - 4x - 2x^2$
再合并同类项：
$=(6x^2 - 2x^2 - 2x^2) + (4x - 4x) + 2 = 2x^2 + 2$
因为互为相反数的两个数的平方相等，当$x=10$时，$x^2=10^2=100$；当$x=-10$时，$x^2=(-10)^2=100$，代入最简式可得：
原式$=2×100 + 2 = 202$
因此x取10和-10时，计算结果完全相同。
【答案】
原式化简后为$2x^2 + 2$，当$x=10$或$x=-10$时，$x^2$的值均为100，代入后结果均为202，所以小华虽然把$x=10$抄成$x=-10$，计算结果仍然正确。
【知识点】
整式的加减运算、去括号法则、偶次幂的性质
【点评】
本题考查整式化简求值的基础应用，解题关键是养成先化简再求值的习惯，无需直接代入数值计算，通过观察化简后代数式的结构即可快速分析出结果相同的原因，同时巩固了互为相反数的偶次幂相等的性质。
【难度系数】
0.8
