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【例】【综合与实践】生物生长规律的模型研究.
如图①,砗磲(chēqú)是地球上最大的双壳类动物,某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析,得到某砗磲样本年龄x(单位:岁)与平均日生长速率y(单位:μm/天)的数据如下表:
【模型构建1】如图②,数学小组A在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点,根据图中点的分布情况,猜想其函数图象是过(0,26.0)的抛物线,设解析式为$y=ax^2+bx+26$.
(1)选取两个点(10,14.0),(20,7.0),求抛物线解析式,并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄.
【模型构建2】数学小组B观察表格中数据,发现后四组数据中x与y的乘积分别为$k_1=140,k_2=142.5,k_3=140,k_4=137.5$,猜想当$x≥10$时y与x符合反比例关系,设解析式为$y=\frac{k}{x}$.
(2)为减少偏差,取$k=\frac{k_1+k_2+k_3+k_4}{4}$,求反比例函数解析式.
【模型应用】研究发现,正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低.
(3)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率,请从上述模型中选择恰当的一个,说明选择的理由并计算.
如图①,砗磲(chēqú)是地球上最大的双壳类动物,某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析,得到某砗磲样本年龄x(单位:岁)与平均日生长速率y(单位:μm/天)的数据如下表:
【模型构建1】如图②,数学小组A在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点,根据图中点的分布情况,猜想其函数图象是过(0,26.0)的抛物线,设解析式为$y=ax^2+bx+26$.
(1)选取两个点(10,14.0),(20,7.0),求抛物线解析式,并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄.
【模型构建2】数学小组B观察表格中数据,发现后四组数据中x与y的乘积分别为$k_1=140,k_2=142.5,k_3=140,k_4=137.5$,猜想当$x≥10$时y与x符合反比例关系,设解析式为$y=\frac{k}{x}$.
(2)为减少偏差,取$k=\frac{k_1+k_2+k_3+k_4}{4}$,求反比例函数解析式.
【模型应用】研究发现,正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低.
(3)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率,请从上述模型中选择恰当的一个,说明选择的理由并计算.
答案
(1) 由题意,将(10,14.0),(20,7.0)代入$y=ax^2+bx+26$,得$\begin{cases}100a+10b+26=14.0,\\400a+20b+26=7.0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{40},\\b=-\dfrac{29}{20},\end{cases}$
$\therefore y=\dfrac{1}{40}x^2-\dfrac{29}{20}x+26=\dfrac{1}{40}(x-29)^2+\dfrac{199}{40}$.
$\therefore$该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁.
(2) 由题意,当$x≥10$,$k=\dfrac{140+142.5+140+137.5}{4}=140$,
$\therefore y=\dfrac{140}{x}(x≥10)$.
(3) 由模型1可知,当$x≥29$时,y随x的增大而增大,不符合砗磲的生长规律;又由模型2可知,当$x≥10$时,y随x的增大而减小,符合砗磲的生长规律,
$\therefore$选择模型2.
当$x=35$时,$y=\dfrac{140}{35}=4$.
答:该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为4 μm/天.
$\therefore y=\dfrac{1}{40}x^2-\dfrac{29}{20}x+26=\dfrac{1}{40}(x-29)^2+\dfrac{199}{40}$.
$\therefore$该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁.
(2) 由题意,当$x≥10$,$k=\dfrac{140+142.5+140+137.5}{4}=140$,
$\therefore y=\dfrac{140}{x}(x≥10)$.
(3) 由模型1可知,当$x≥29$时,y随x的增大而增大,不符合砗磲的生长规律;又由模型2可知,当$x≥10$时,y随x的增大而减小,符合砗磲的生长规律,
$\therefore$选择模型2.
当$x=35$时,$y=\dfrac{140}{35}=4$.
答:该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为4 μm/天.
【变式】在温度不变的条件下,某研究小组将等量的理想气体分别充入不同体积的容器中,并记录了当时容器内的气体的压强,部分实验数据如下表：
体积$V/\mathrm{m}^3$ 0.8 1.2 1.6 2 2.4
压强$p/\mathrm{kPa}$ 120 80 60 47.9 40
以下关系式中,最适合作为气体的压强$p(\mathrm{kPa})$关于容器体积$V(\mathrm{m}^3)$的函数解析式是（
A.$p=150V$
B.$p=-100V+200$
C.$p=\dfrac{96}{V}$
D.$p=\dfrac{120}{V+0.2}$
体积$V/\mathrm{m}^3$ 0.8 1.2 1.6 2 2.4
压强$p/\mathrm{kPa}$ 120 80 60 47.9 40
以下关系式中,最适合作为气体的压强$p(\mathrm{kPa})$关于容器体积$V(\mathrm{m}^3)$的函数解析式是（
C
）A.$p=150V$
B.$p=-100V+200$
C.$p=\dfrac{96}{V}$
D.$p=\dfrac{120}{V+0.2}$
答案
C
