2. 如图3,两个同心圆圆心为O,大圆半径OC,OD分别交小圆于A,B两点.
求证:AB//CD.

2. 提示:证明$∠ OAB=∠ OCD$.

【分析】
要证明两条直线平行，可根据平行线的判定定理，通过证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补推导。本题中AB和CD被OC所截，可证明同位角∠OAB=∠OCD：首先结合同心圆的特征，同圆的半径相等，可得△OAB和△OCD均为等腰三角形，二者有公共顶角∠O，因此可推出底角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行。
【解析】
证明：
∵ OA、OB是小圆的半径，
∴ OA=OB，
∴ △OAB为等腰三角形，$∠ OAB = \frac{180° - ∠ O}{2}$。
又
∵ OC、OD是大圆的半径，
∴ OC=OD，
∴ △OCD为等腰三角形，$∠ OCD = \frac{180° - ∠ O}{2}$。
∴ $∠ OAB = ∠ OCD$，
根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AB// CD$。
【答案】
$AB// CD$，得证。
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；平行线判定
【点评】
本题是圆相关的基础证明题，解题核心是利用同圆半径相等得到等腰三角形，再结合等腰三角形的角的特征推导角的等量关系，进而用平行线判定定理完成证明，解题思路较为直接。
【难度系数】
0.8

3. 如图4,在矩形ABCD中,AB=6 cm,AD=8 cm.
(1)以点A为圆心、8cm为半径作⊙A,求点B,C,D与⊙A的位置关系;
(2)若以点A为圆心作⊙A,使B,C,D三点中至少有一个点在圆内,且至少有一点在圆外,求⊙A的半径r的取值范围.

3. (1)点B在$\odot A$内,点D在$\odot A$上,点C在$\odot A$外.
(2)由题意,以点A为圆心作$\odot A$,使B,C,D三点中至少有一个点在圆内,且至少有一点在圆外,又$\because AB=6\ \mathrm{cm},AD=8\ \mathrm{cm},AC=10\ \mathrm{cm},\therefore \odot A$的半径r的取值范围是$6\ \mathrm{cm}＜r＜10\ \mathrm{cm}$.

【分析】
要判断点与圆的位置关系，需依据点到圆心的距离$d$与圆半径$r$的大小关系判定：若$d＜r$，点在圆内；$d=r$，点在圆上；$d＞r$，点在圆外。
(1) 先计算点$B$、$C$、$D$到圆心$A$的距离，再与半径$8\mathrm{cm}$比较，即可确定三点与$\odot A$的位置关系；
(2) 先求出$B$、$C$、$D$三点到$A$点的距离的最小值和最大值，要满足“至少一个点在圆内，至少一个点在圆外”，则半径$r$需大于最小距离、小于最大距离，即可得到$r$的取值范围。
【解析】
(1) 连接$AC$，
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ ABC=90°$，$BC=AD=8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$，
已知$\odot A$的半径$r=8\ \mathrm{cm}$，
∵ $AB=6\ \mathrm{cm}＜8\ \mathrm{cm}$，
∴ 点$B$在$\odot A$内；
∵ $AD=8\ \mathrm{cm}=r$，
∴ 点$D$在$\odot A$上；
∵ $AC=10\ \mathrm{cm}＞8\ \mathrm{cm}$，
∴ 点$C$在$\odot A$外。
(2) $B$、$C$、$D$三点到点$A$的距离分别为$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AD=8\ \mathrm{cm}$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，其中最小距离为$6\ \mathrm{cm}$，最大距离为$10\ \mathrm{cm}$。
要使三点中至少有一个点在圆内，需半径$r＞6\ \mathrm{cm}$；要使至少有一个点在圆外，需半径$r＜10\ \mathrm{cm}$，
因此$\odot A$的半径$r$的取值范围是$6\ \mathrm{cm}＜r＜10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 点$B$在$\odot A$内，点$D$在$\odot A$上，点$C$在$\odot A$外；
(2) $\odot A$的半径$r$的取值范围是$6\ \mathrm{cm}＜r＜10\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
点与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题重点考查点与圆位置关系的判定方法，解题的核心是准确计算各点到圆心的距离，再结合题意分析半径的取值边界，整体难度较低，掌握基础判定规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

一、选择题
1. 下列条件中不能确定一个圆的是()

A.圆心与半径
B.直径
C.三角形的三个顶点
D.平面上任意的三个已知点

1. D

【分析】
要判断哪个条件不能确定一个圆，首先明确确定圆的核心要素是圆心（确定位置）和半径（确定大小），再结合各选项的条件逐一验证：首先，若已知条件能唯一确定圆心和半径，就能确定一个圆；其次，过三点作圆的前提是三点不共线，共线的三点无法确定圆，据此分析各选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，可唯一确定一个圆，不符合题意；
B选项：已知直径，直径的中点就是圆心，直径长度的一半是半径，可唯一确定一个圆，不符合题意；
C选项：三角形的三个顶点一定不共线，根据过不共线三点有且只有一个圆的定理，可唯一确定三角形的外接圆，不符合题意；
D选项：平面上任意三个已知点，如果三个点在同一条直线上，就不存在同时经过这三个点的圆，因此无法确定一个圆，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件；过三点的圆
【点评】
本题是基础概念题，解题的关键是牢记确定圆的条件，尤其注意只有过不共线的三个点才能唯一确定一个圆，不要遗漏三点共线的特殊情况。
【难度系数】
0.8

2. 下面四个命题中真命题的个数有()
①经过三点一定可以作圆；
②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.

A.4
B.3
C.2
D.1

2. C

【分析】
要解决这道题，我们需要逐一判断4个命题的真假，结合过三点作圆的条件、三角形外接圆、圆的内接三角形、三角形外心的相关概念进行分析即可。判断时要格外注意概念中的限定条件，比如“过三点作圆”要求三点不共线，涉及“唯一”的表述要仔细验证是否成立。
【解析】
我们逐个分析每个命题：
① 经过不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法作圆，因此该命题是假命题；
② 任意三角形的三个顶点都不在同一直线上，因此可以确定唯一的一个外接圆，该命题是真命题；
③ 任意一个圆上可以选取无数组不共线的三个点，每组点都可以构成一个圆的内接三角形，因此圆有无数个内接三角形，该命题是假命题；
④ 三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离都等于外接圆的半径，因此距离相等，该命题是真命题。
综上，真命题为②④，共2个。
【答案】
C
【知识点】
过三点作圆的条件；三角形外接圆与外心；圆的内接三角形
【点评】
本题考查圆的相关基础概念，属于易错题，解题的关键是准确把握相关概念的细节，尤其是容易忽略的限定条件，避免因概念记混导致判断错误。
【难度系数】
0.7

3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=9$，$BC=12$，则其外接圆的直径为()

A.15
B.7.5
C.6
D.3

3. A

【分析】
解题时首先回忆直角三角形外接圆的相关性质：90°的圆周角所对的弦是直径，因此直角三角形的外接圆直径等于其斜边的长度。所以解题步骤分为两步：第一步用勾股定理计算Rt△ABC的斜边长度，第二步将斜边长度对应为外接圆直径即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得斜边$AB$的长度为：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$
根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可知直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，因此该三角形外接圆的直径为15。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；直角三角形外接圆性质；圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础题型，将勾股定理与圆的基本性质结合考查，只要熟记相关性质和定理，就能快速计算得出答案。
【难度系数】
0.8