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典例 计算：$\dfrac{2x^2 + 2}{x^2 - 2x + 1} ÷ ( x - 1 + \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x - 1} )$
规律方法 （1）对于分式的混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，异分母分式相加减转化为同分母分式相加减。
（2）在运算过程中，既要注意正确运用运算法则，又要灵活运用交换律、结合律、分配律，注意运算技巧。
规律方法 （1）对于分式的混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，异分母分式相加减转化为同分母分式相加减。
（2）在运算过程中，既要注意正确运用运算法则，又要灵活运用交换律、结合律、分配律，注意运算技巧。
答案
解 $\dfrac{2x^2 + 2}{x^2 - 2x + 1} ÷ ( x - 1 + \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x - 1} ) =$
$\dfrac{2(x^2 + 1)}{(x - 1)^2} ÷ ( \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x - 1} + \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x - 1} ) =$
$\dfrac{2(x^2 + 1)}{(x - 1)^2} · \dfrac{x - 1}{2(x^2 + 1)} = \dfrac{1}{x - 1}.$
$\dfrac{2(x^2 + 1)}{(x - 1)^2} ÷ ( \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x - 1} + \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x - 1} ) =$
$\dfrac{2(x^2 + 1)}{(x - 1)^2} · \dfrac{x - 1}{2(x^2 + 1)} = \dfrac{1}{x - 1}.$
解析
【分析】
这是分式混合运算题，解题遵循“先括号内、后括号外，先乘除、后加减”的运算顺序：①先处理括号内运算：括号里是整式与分式相加，需将整式$x-1$通分，转化为分母为$x-1$的分式，再和后面的分式做同分母加法；②括号外的除法运算转化为乘以除数的倒数；③对运算中出现的多项式先因式分解，再约去分子分母的公因式，化简得到最终结果。
【解析】
解：原式$=\dfrac{2(x^2 + 1)}{(x - 1)^2} ÷ ( \dfrac{(x-1)^2}{x - 1} + \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x - 1} )$
$=\dfrac{2(x^2 + 1)}{(x - 1)^2} ÷ \dfrac{x^2-2x+1 + x^2+2x+1}{x-1}$
$=\dfrac{2(x^2 + 1)}{(x - 1)^2} ÷ \dfrac{2x^2+2}{x-1}$
$=\dfrac{2(x^2 + 1)}{(x - 1)^2} · \dfrac{x - 1}{2(x^2 + 1)}$
$=\dfrac{1}{x-1}$
【答案】
$\dfrac{1}{x-1}$
【知识点】
分式混合运算；因式分解；异分母分式加减
【点评】
本题是分式运算的常规题型，核心是掌握分式混合运算的顺序、通分和约分的规则，运算过程中先对多项式因式分解再计算，可有效降低出错率，最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.7
这是分式混合运算题，解题遵循“先括号内、后括号外，先乘除、后加减”的运算顺序：①先处理括号内运算：括号里是整式与分式相加，需将整式$x-1$通分，转化为分母为$x-1$的分式，再和后面的分式做同分母加法；②括号外的除法运算转化为乘以除数的倒数；③对运算中出现的多项式先因式分解，再约去分子分母的公因式，化简得到最终结果。
【解析】
解：原式$=\dfrac{2(x^2 + 1)}{(x - 1)^2} ÷ ( \dfrac{(x-1)^2}{x - 1} + \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x - 1} )$
$=\dfrac{2(x^2 + 1)}{(x - 1)^2} ÷ \dfrac{x^2-2x+1 + x^2+2x+1}{x-1}$
$=\dfrac{2(x^2 + 1)}{(x - 1)^2} ÷ \dfrac{2x^2+2}{x-1}$
$=\dfrac{2(x^2 + 1)}{(x - 1)^2} · \dfrac{x - 1}{2(x^2 + 1)}$
$=\dfrac{1}{x-1}$
【答案】
$\dfrac{1}{x-1}$
【知识点】
分式混合运算；因式分解；异分母分式加减
【点评】
本题是分式运算的常规题型，核心是掌握分式混合运算的顺序、通分和约分的规则，运算过程中先对多项式因式分解再计算，可有效降低出错率，最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.7
举一反三 已知A，B两地相距s km，小刚从A地到B地需要m h，小军从B地到A地，需要n h，若他们同时出发相向而行，需要多长时间才能相遇？
答案
解 根据题意知，小刚的速度为$\dfrac{s}{m}$(km/h)，小军的速度为$\dfrac{s}{n}$(km/h)，所以两人相遇需要的时间为$\dfrac{s}{\dfrac{s}{m}+\dfrac{s}{n}}=\dfrac{mn}{m+n}$(h).
解析
【分析】
本题属于行程中的相遇问题，解题思路如下：首先根据“速度=路程÷时间”的基本公式，分别求出小刚和小军的行驶速度；再结合相向而行相遇问题的等量关系：相遇时间=总路程÷两人的速度和，代入相关量；最后通过分式的运算化简得到最终结果。
【解析】
根据题意，结合行程问题速度公式：
小刚的速度为 $\dfrac{s}{m}\ \mathrm{km/h}$，小军的速度为 $\dfrac{s}{n}\ \mathrm{km/h}$。
两人相向而行的速度和为 $(\dfrac{s}{m}+\dfrac{s}{n})\ \mathrm{km/h}$，
由相遇时间=总路程÷速度和，可得相遇时间为：
$\dfrac{s}{\dfrac{s}{m}+\dfrac{s}{n}}=\dfrac{s}{s(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n})}=\dfrac{1}{\dfrac{m+n}{mn}}=\dfrac{mn}{m+n}\ (\mathrm{h})$
【答案】
$\dfrac{mn}{m+n}\ \mathrm{h}$
【知识点】
行程相遇问题，分式化简，速度计算公式
【点评】
本题是行程类基础典型题，核心是掌握相遇问题的等量关系，同时要熟练运用分式的通分、约分规则，确保运算结果为最简形式。
【难度系数】
0.8
本题属于行程中的相遇问题，解题思路如下：首先根据“速度=路程÷时间”的基本公式，分别求出小刚和小军的行驶速度；再结合相向而行相遇问题的等量关系：相遇时间=总路程÷两人的速度和，代入相关量；最后通过分式的运算化简得到最终结果。
【解析】
根据题意，结合行程问题速度公式：
小刚的速度为 $\dfrac{s}{m}\ \mathrm{km/h}$，小军的速度为 $\dfrac{s}{n}\ \mathrm{km/h}$。
两人相向而行的速度和为 $(\dfrac{s}{m}+\dfrac{s}{n})\ \mathrm{km/h}$，
由相遇时间=总路程÷速度和，可得相遇时间为：
$\dfrac{s}{\dfrac{s}{m}+\dfrac{s}{n}}=\dfrac{s}{s(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n})}=\dfrac{1}{\dfrac{m+n}{mn}}=\dfrac{mn}{m+n}\ (\mathrm{h})$
【答案】
$\dfrac{mn}{m+n}\ \mathrm{h}$
【知识点】
行程相遇问题，分式化简，速度计算公式
【点评】
本题是行程类基础典型题，核心是掌握相遇问题的等量关系，同时要熟练运用分式的通分、约分规则，确保运算结果为最简形式。
【难度系数】
0.8
典例
解 $\dfrac{2x^2 + 2}{x^2 - 2x + 1} ÷ ( x - 1 + \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x - 1} ) =$
$\dfrac{2(x^2 + 1)}{(x - 1)^2} ÷ ( \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x - 1} + \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x - 1} ) =$
$\dfrac{2(x^2 + 1)}{(x - 1)^2} · \dfrac{x - 1}{2(x^2 + 1)} = \dfrac{1}{x - 1}.$
解 $\dfrac{2x^2 + 2}{x^2 - 2x + 1} ÷ ( x - 1 + \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x - 1} ) =$
$\dfrac{2(x^2 + 1)}{(x - 1)^2} ÷ ( \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x - 1} + \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x - 1} ) =$
$\dfrac{2(x^2 + 1)}{(x - 1)^2} · \dfrac{x - 1}{2(x^2 + 1)} = \dfrac{1}{x - 1}.$
答案
解：
原式$=\dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} ÷ ( \dfrac{(x-1)^2}{x-1} + \dfrac{x^2+2x+1}{x-1} )$
$=\dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} ÷ \dfrac{x^2 - 2x + 1 + x^2 + 2x + 1}{x-1}$
$=\dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} ÷ \dfrac{2x^2 + 2}{x-1}$
$=\dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{2(x^2+1)}$
$=\dfrac{1}{x-1}$
原式$=\dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} ÷ ( \dfrac{(x-1)^2}{x-1} + \dfrac{x^2+2x+1}{x-1} )$
$=\dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} ÷ \dfrac{x^2 - 2x + 1 + x^2 + 2x + 1}{x-1}$
$=\dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} ÷ \dfrac{2x^2 + 2}{x-1}$
$=\dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{2(x^2+1)}$
$=\dfrac{1}{x-1}$
解析
【分析】
这是分式混合运算题，遵循“先算括号内，再算括号外”的运算顺序解题：①先处理括号内的加法，将整式$x-1$看作分母为1的分式，通分后和后一个分式相加，合并分子的同类项；②再将分式除法转化为分式乘法，即乘以除式的倒数；③对各分子、分母因式分解后，约去公因式即可得到最简结果。
【解析】
原式$=\dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} ÷ ( \dfrac{(x-1)^2}{x-1} + \dfrac{x^2+2x+1}{x-1} )$
$=\dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} ÷ \dfrac{x^2 - 2x + 1 + x^2 + 2x + 1}{x-1}$
$=\dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} ÷ \dfrac{2x^2 + 2}{x-1}$
$=\dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{2(x^2+1)}$
$=\dfrac{1}{x-1}$
【答案】
$\dfrac{1}{x-1}$
【知识点】
1.分式混合运算 2.分式通分 3.分式约分
【点评】
本题是分式化简的基础题型，核心是严格遵循分式运算顺序，通分时注意将整式转化为分母为1的形式再统一分母，除法转乘法时不要忘记颠倒除式的分子分母，约分前先因式分解能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
这是分式混合运算题，遵循“先算括号内，再算括号外”的运算顺序解题：①先处理括号内的加法，将整式$x-1$看作分母为1的分式，通分后和后一个分式相加，合并分子的同类项；②再将分式除法转化为分式乘法，即乘以除式的倒数；③对各分子、分母因式分解后，约去公因式即可得到最简结果。
【解析】
原式$=\dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} ÷ ( \dfrac{(x-1)^2}{x-1} + \dfrac{x^2+2x+1}{x-1} )$
$=\dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} ÷ \dfrac{x^2 - 2x + 1 + x^2 + 2x + 1}{x-1}$
$=\dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} ÷ \dfrac{2x^2 + 2}{x-1}$
$=\dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{2(x^2+1)}$
$=\dfrac{1}{x-1}$
【答案】
$\dfrac{1}{x-1}$
【知识点】
1.分式混合运算 2.分式通分 3.分式约分
【点评】
本题是分式化简的基础题型，核心是严格遵循分式运算顺序，通分时注意将整式转化为分母为1的形式再统一分母，除法转乘法时不要忘记颠倒除式的分子分母，约分前先因式分解能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
1. 化简$(1-\dfrac{1}{m})·\dfrac{1}{m-1}$的结果是(
A.$\dfrac{1}{m-1}$
B.$m$
C.$m-1$
D.$\dfrac{1}{m}$
D
).A.$\dfrac{1}{m-1}$
B.$m$
C.$m-1$
D.$\dfrac{1}{m}$
答案
1. D
解析
【分析】
本题是分式的混合运算题，解题思路分为两步：第一步先计算括号内的分式减法，将整数1通分化为同分母分式后再相减；第二步将得到的结果与后面的分式相乘，约去分子分母的公因式即可得到化简结果。
【解析】
第一步：计算括号内的减法
将1转化为分母为m的分式，得：
$1-\dfrac{1}{m}=\dfrac{m}{m}-\dfrac{1}{m}=\dfrac{m-1}{m}$（其中$m≠0$）
第二步：计算分式乘法
将上式代入原式，得：
$(1-\dfrac{1}{m})·\dfrac{1}{m-1}=\dfrac{m-1}{m}·\dfrac{1}{m-1}$
根据分式有意义的条件，$m-1≠0$即$m≠1$，此时可约去分子分母的公因式$m-1$，化简得：
$\dfrac{m-1}{m}·\dfrac{1}{m-1}=\dfrac{1}{m}$
因此化简结果为$\dfrac{1}{m}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式混合运算、分式通分、分式约分
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查分式的基本运算法则，解题时要注意先处理括号内的运算，通分、约分的过程要牢记分母不为0的隐含前提，细心计算即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
本题是分式的混合运算题，解题思路分为两步：第一步先计算括号内的分式减法，将整数1通分化为同分母分式后再相减；第二步将得到的结果与后面的分式相乘，约去分子分母的公因式即可得到化简结果。
【解析】
第一步：计算括号内的减法
将1转化为分母为m的分式，得：
$1-\dfrac{1}{m}=\dfrac{m}{m}-\dfrac{1}{m}=\dfrac{m-1}{m}$（其中$m≠0$）
第二步：计算分式乘法
将上式代入原式，得：
$(1-\dfrac{1}{m})·\dfrac{1}{m-1}=\dfrac{m-1}{m}·\dfrac{1}{m-1}$
根据分式有意义的条件，$m-1≠0$即$m≠1$，此时可约去分子分母的公因式$m-1$，化简得：
$\dfrac{m-1}{m}·\dfrac{1}{m-1}=\dfrac{1}{m}$
因此化简结果为$\dfrac{1}{m}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式混合运算、分式通分、分式约分
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查分式的基本运算法则，解题时要注意先处理括号内的运算，通分、约分的过程要牢记分母不为0的隐含前提，细心计算即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2. 为了练习分式的化简，张老师让同学们在分式$\frac{a^2}{a-2}$和$\frac{4a-4}{2-a}$中间加上“+”“−”“×”“÷”四个运算符号中的任意一个后进行化简，若化简的结果为$a-2$，则所加的运算符号为(
A.+
B.−
C.×
D.÷
A
).A.+
B.−
C.×
D.÷
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先观察两个分式的分母，发现a-2与2-a互为相反数，可先将第二个分式的分母转化为a-2简化后续计算，再依次将四个运算符号代入两分式之间进行化简，将化简结果与a-2对比，即可确定符合要求的运算符号。
【解析】
先对第二个分式变形：$\frac{4a-4}{2-a}=\frac{4a-4}{-(a-2)}=-\frac{4a-4}{a-2}$，分别计算四种运算的结果：
1. 当运算符号为“+”时：
$\frac{a^2}{a-2}+\frac{4a-4}{2-a}=\frac{a^2}{a-2}-\frac{4a-4}{a-2}=\frac{a^2-4a+4}{a-2}=\frac{(a-2)^2}{a-2}=a-2$（$a≠2$，满足分式有意义的前提），符合要求。
2. 验证其余运算：
若为“−”：$\frac{a^2}{a-2}-\frac{4a-4}{2-a}=\frac{a^2+4a-4}{a-2}≠ a-2$；
若为“×”：$\frac{a^2}{a-2}×\frac{4a-4}{2-a}=-\frac{4a^2(a-1)}{(a-2)^2}≠ a-2$；
若为“÷”：$\frac{a^2}{a-2}÷\frac{4a-4}{2-a}=-\frac{a^2}{4(a-1)}≠ a-2$。
因此所加运算符号为“+”。
【答案】
A
【知识点】
分式化简，分式四则运算，完全平方公式
【点评】
本题侧重考查分式运算的基础应用，解题的核心是先对分母互为相反数的分式做符号变形，减少计算出错概率，需要熟练掌握分式的基本性质和常见因式分解方法。
【难度系数】
0.7
解题时先观察两个分式的分母，发现a-2与2-a互为相反数，可先将第二个分式的分母转化为a-2简化后续计算，再依次将四个运算符号代入两分式之间进行化简，将化简结果与a-2对比，即可确定符合要求的运算符号。
【解析】
先对第二个分式变形：$\frac{4a-4}{2-a}=\frac{4a-4}{-(a-2)}=-\frac{4a-4}{a-2}$，分别计算四种运算的结果：
1. 当运算符号为“+”时：
$\frac{a^2}{a-2}+\frac{4a-4}{2-a}=\frac{a^2}{a-2}-\frac{4a-4}{a-2}=\frac{a^2-4a+4}{a-2}=\frac{(a-2)^2}{a-2}=a-2$（$a≠2$，满足分式有意义的前提），符合要求。
2. 验证其余运算：
若为“−”：$\frac{a^2}{a-2}-\frac{4a-4}{2-a}=\frac{a^2+4a-4}{a-2}≠ a-2$；
若为“×”：$\frac{a^2}{a-2}×\frac{4a-4}{2-a}=-\frac{4a^2(a-1)}{(a-2)^2}≠ a-2$；
若为“÷”：$\frac{a^2}{a-2}÷\frac{4a-4}{2-a}=-\frac{a^2}{4(a-1)}≠ a-2$。
因此所加运算符号为“+”。
【答案】
A
【知识点】
分式化简，分式四则运算，完全平方公式
【点评】
本题侧重考查分式运算的基础应用，解题的核心是先对分母互为相反数的分式做符号变形，减少计算出错概率，需要熟练掌握分式的基本性质和常见因式分解方法。
【难度系数】
0.7
