3. 计算：$(\dfrac{1}{b})^3 · (ab)^2 - (\dfrac{a}{b})^3 ÷ \dfrac{a}{b^2} = \_\_\_\_\_\_.$

3. 0

【分析】
本题属于分式的混合运算题，解题时需遵循“先乘方，再乘除，最后算加减”的运算顺序：第一步先分别计算两个项中的乘方运算，利用积的乘方、分式乘方法则展开；第二步分别计算两个项的乘除运算，通过约分完成化简；第三步将两个化简后的结果相减得到最终答案。
【解析】
解：原式先计算乘方运算：
$=\dfrac{1}{b^3} · a^2b^2 - \dfrac{a^3}{b^3} ÷ \dfrac{a}{b^2}$
再计算乘除运算，将除法转化为乘法：
$=\dfrac{a^2b^2}{b^3} - \dfrac{a^3}{b^3} × \dfrac{b^2}{a}$
约分化简得：
$=\dfrac{a^2}{b} - \dfrac{a^2}{b}$
最后计算减法：
$=0$
【答案】
0
【知识点】
分式的混合运算；幂的运算法则；分式的乘除运算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查运算顺序和运算法则的掌握情况，计算过程中要注意乘方展开的正确性和约分的准确性，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.8

4. 计算：
(1) $\frac{a}{a+1} · \frac{a^2 -1}{a^2} + \frac{1}{a}$；
(2) $(x - \frac{2x -1}{x}) ÷ \frac{x^2 -1}{x}$。

4. 解 (1)$\frac{a}{a+1} · \frac{a^2 -1}{a^2} + \frac{1}{a}$
$=\frac{a}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{a^2} + \frac{1}{a}$
$=\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}$
$=\frac{a}{a}$
$=1.$
(2)$(x - \frac{2x -1}{x}) ÷ \frac{x^2 -1}{x}$
$=\frac{x^2-2x+1}{x} · \frac{x}{x^2-1}$
$=\frac{(x-1)^2}{x} · \frac{x}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x-1}{x+1}.$

【分析】
本题考查分式的混合运算，解题思路遵循分式运算的基本规则：先算乘除，后算加减，有括号先算括号内的内容，运算过程中优先对多项式因式分解再约分，可简化计算。
(1) 先计算乘法部分：观察到$a^2-1$符合平方差公式，先因式分解为$(a+1)(a-1)$，再与前一个分式约分，得到最简分式后再和$\frac{1}{a}$做同分母加法运算即可。
(2) 先计算括号内的减法：将$x$转化为分母为$x$的分式，通分后计算分子，分子$x^2-2x+1$符合完全平方公式，因式分解为$(x-1)^2$；再将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数），对分母$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，最后约分得到最简结果。
【解析】
(1) $\frac{a}{a+1} · \frac{a^2 -1}{a^2} + \frac{1}{a}$
$=\frac{a}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{a^2} + \frac{1}{a}$
$=\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}$
$=\frac{a-1+1}{a}$
$=\frac{a}{a}$
$=1$
(2) $(x - \frac{2x -1}{x}) ÷ \frac{x^2 -1}{x}$
$=\frac{x^2-(2x-1)}{x} · \frac{x}{x^2 -1}$
$=\frac{x^2-2x+1}{x} · \frac{x}{x^2 -1}$
$=\frac{(x-1)^2}{x} · \frac{x}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x-1}{x+1}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{\frac{x-1}{x+1}}$
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 因式分解
3. 分式的约分与通分
【点评】
本题是分式运算的基础常考题，主要考查学生对分式运算顺序的掌握和因式分解的灵活应用，计算时先对多项式因式分解再约分，能减少计算量，同时要注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8

5. 先化简,再求值:$(1+\dfrac{3}{x-2})÷\dfrac{x+1}{x^2-4x+4}$,其中$x=3$.

5. 解 $(1+\dfrac{3}{x-2})÷\dfrac{x+1}{x^2-4x+4}$
$=\frac{x-2+3}{x-2} · \frac{(x-2)^2}{x+1}$
$=\frac{x+1}{x-2} · \frac{(x-2)^2}{x+1}=x-2.$
当$x=3$时,原式$=3-2=1.$

【分析】
本题为分式化简求值类题目，解题思路分为两步：①先化简分式：首先处理括号内的分式加法，将整数1通分为分母为x-2的分式，与$\frac{3}{x-2}$合并；再将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），同时对多项式$x^2-4x+4$用完全平方公式因式分解，最后对分子分母的公因式约分得到最简结果；②将$x=3$代入最简式计算即可得到最终值，比直接代入原式计算更简便。
【解析】
解：$(1+\dfrac{3}{x-2})÷\dfrac{x+1}{x^2-4x+4}$
$=\dfrac{x-2+3}{x-2} · \dfrac{(x-2)^2}{x+1}$
$=\dfrac{x+1}{x-2} · \dfrac{(x-2)^2}{x+1}$
约分后得：原式$=x-2$
当$x=3$时，代入得：
原式$=3-2=1$
【答案】
1
【知识点】
分式混合运算；完全平方公式；分式约分
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，重点考查分式运算规则和因式分解的应用，解题时要注意通分、除变乘、因式分解、约分各步骤的准确性，熟练掌握这类题型能为后续复杂分式运算打下基础。
【难度系数】
0.8

6.若$(1+\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{2x}{x^2-2x+1}$的计算结果为正整数，则对$x$的取值描述最准确的是().

A.$x$为自然数
B.$x$为大于1的奇数
C.$x$为大于0的偶数
D.$x$为正整数

6. B 解析 $(1+\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{2x}{x^2-2x+1}$
$=(\dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{2x}{(x-1)^2}$
$=\dfrac{x}{x-1} · \dfrac{(x-1)^2}{2x}$
$=\dfrac{x-1}{2}.$
$\because$计算结果为正整数，
$\therefore x$ 为大于1的奇数. 故选 B.

【分析】
解这道题需按照“先化简，再根据条件推导取值”的思路解题：第一步先处理括号内的分式加法，通过通分合并成同分母分式；第二步将分式除法转化为乘法，利用完全平方公式对多项式$x^2-2x+1$因式分解后约分，得到最简结果；第三步结合“计算结果为正整数”的要求，同时注意分式有意义的隐含条件（分母、除数不能为0），最终推导x的取值，对应选项判断即可。
【解析】
首先明确分式有意义的条件：$x-1≠0$，$2x≠0$，即$x≠1$且$x≠0$。
化简原式：
$\begin{aligned}&(1+\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{2x}{x^2-2x+1}\\=&(\dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{2x}{(x-1)^2}\\=&\dfrac{x}{x-1} · \dfrac{(x-1)^2}{2x}\\=&\dfrac{x-1}{2}\end{aligned}$
∵计算结果为正整数，
∴$\dfrac{x-1}{2}＞0$且$\dfrac{x-1}{2}$为整数，即$x-1$是大于0的偶数，
∴x为大于1的奇数。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；正整数的概念
【点评】
本题属于分式运算的常规考题，核心考查分式化简能力，解题时需特别注意分式有意义的隐含条件，避免忽略取值限制导致错选。
【难度系数】
0.7

7. 小丽和小刚从家到学校的路程都是3 km，小丽走的是平路，骑车速度为2v km/h，小刚需要走1 km的上坡路、2 km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h. 那么：
(1)从家到学校小丽和小刚分别需要多长时间？
(2)小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？

7. 解 (1)小丽花费的时间为$\frac{3}{2v}$ h,小刚走上坡路花费的时间为$\frac{1}{v}$ h,走下坡路花费的时间为$\frac{2}{3v}$ h,小刚花费的总时间为$\frac{1}{v}+\frac{2}{3v}=\frac{5}{3v}(\mathrm{h}).$
(2)$\frac{5}{3v}-\frac{3}{2v}=\frac{1}{6v}＞0,$
所以小丽花费的时间少,少用了$\frac{1}{6v}$ h.

【分析】
(1) 解题核心是利用行程问题基本公式：时间=路程÷速度。小丽的行驶路程和速度已知，直接代入公式即可计算时间；小刚的路程分为上坡、下坡两段，需分别用对应路段的路程除以该路段的速度算出两段时间，再求和得到总时间。
(2) 比较两人的时间长短采用作差法：将小刚的总时间减去小丽的时间，对所得分式通分计算后，结合速度v为正数判断差的正负，若差为正则说明小刚用时更长，差的数值就是少用的时间。
【解析】
解：(1) 根据时间=路程÷速度可得：
小丽走平路的路程为3km，速度为2v km/h，因此小丽花费的时间为$\frac{3}{2v}$ h；
小刚上坡路程为1km，上坡速度为v km/h，上坡时间为$\frac{1}{v}$ h；下坡路程为2km，下坡速度为3v km/h，下坡时间为$\frac{2}{3v}$ h；
小刚的总时间为两段时间之和：$\frac{1}{v}+\frac{2}{3v}=\frac{3}{3v}+\frac{2}{3v}=\frac{5}{3v}$ h。
(2) 用作差法比较两人的时间：
$\frac{5}{3v}-\frac{3}{2v}=\frac{10}{6v}-\frac{9}{6v}=\frac{1}{6v}$，
由于速度v＞0，因此$\frac{1}{6v}＞0$，说明小刚花费的时间更长，小丽花费的时间少，少用的时长为$\frac{1}{6v}$ h。
【答案】
(1) 小丽需要$\frac{3}{2v}\ \mathrm{h}$，小刚需要$\frac{5}{3v}\ \mathrm{h}$；
(2) 小丽在路上花费的时间少，少用$\frac{1}{6v}\ \mathrm{h}$。
【知识点】
行程问题公式；分式加减运算；作差法比较大小
【点评】
本题结合实际行程场景考查分式的应用，解题关键是准确匹配各路段的路程和速度，熟练掌握分式的加减运算规则，能够提升学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7

8. 在一次行程中，张叔叔和王叔叔同时加了两次油，且两次加油时汽油的价格分别为$x$元/升和$y$元/升$(x＞0,y＞0,x≠y)$.张叔叔两次都加了相同体积(单位:升)的油，王叔叔两次都加了相同金额(单位:元)的油，假设每次加油都未加满油箱，请判断谁加油的平均单价更低，并利用学过的数学知识说明理由.

8. 解 王叔叔加油的平均单价更低. 理由如下：
根据题意,得张叔叔加油的平均单价为$\frac{x+y}{2}$(元/升),
王叔叔加油的平均单价为$\frac{2xy}{x+y}$(元/升).
$\frac{x+y}{2}-\frac{2xy}{x+y}=\frac{(x+y)^2-4xy}{2(x+y)}=\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}.$
因为 $x＞0,y＞0,x≠ y$,
所以$\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}＞0,$
即$\frac{x+y}{2}＞\frac{2xy}{x+y}.$
所以王叔叔加油的平均单价更低.

【分析】
要判断两人谁的加油平均单价更低，首先需明确平均单价的计算方法：平均单价=两次加油总金额÷两次加油总升数。我们可以先分别推导张叔叔、王叔叔的加油平均单价的表达式，再通过作差法比较两个表达式的大小，根据差的正负即可判断单价高低。
【解析】
解：王叔叔加油的平均单价更低，理由如下：
张叔叔两次都加相同体积的油，因此他的加油平均单价为：
$\frac{x+y}{2}$（元/升）
王叔叔两次都加相同金额的油，因此他的加油平均单价为：
$\frac{2xy}{x+y}$（元/升）
用作差法比较两个平均单价的大小：
$\frac{x+y}{2}-\frac{2xy}{x+y}=\frac{(x+y)^2-4xy}{2(x+y)}=\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}$
已知$x＞0,y＞0,x≠ y$，因此$(x-y)^2＞0$，$2(x+y)＞0$，可得$\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}＞0$，即$\frac{x+y}{2}＞\frac{2xy}{x+y}$。
因此王叔叔加油的平均单价更低。
【答案】
王叔叔加油的平均单价更低
【知识点】
平均单价计算、分式的混合运算、作差法比较大小
【点评】
本题结合生活中的加油场景命题，既考查了分式运算、代数式大小比较的核心知识，又体现了数学知识在实际生活中的应用价值。解题的关键是正确推导两人平均单价的表达式，再利用完全平方公式判断作差后结果的正负。
【难度系数】
0.6