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1. 下列命题属于假命题的是 ()
A.全等三角形的周长相等
B.全等三角形的对应角相等
C.全等三角形的面积相等
D.面积相等的两个三角形全等
A.全等三角形的周长相等
B.全等三角形的对应角相等
C.全等三角形的面积相等
D.面积相等的两个三角形全等
答案
D
解析
【分析】
本题考查全等三角形的性质及真假命题的判断，解题思路如下：第一步先回忆全等三角形的定义和性质：能够完全重合的两个三角形是全等三角形，因此其对应边、对应角均相等；第二步逐一验证每个选项是否符合全等三角形的性质，判断命题真假；第三步对于性质的逆命题，可通过举反例的方式判断是否成立，最终选出假命题选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 全等三角形的对应边全部相等，周长是三边长度之和，因此全等三角形周长相等，是真命题，不符合题意；
B. 对应角相等是全等三角形的基本性质，是真命题，不符合题意；
C. 全等三角形可以完全重合，因此面积必然相等，是真命题，不符合题意；
D. 面积相等的两个三角形不一定全等，举反例：底为4、高为3的三角形，面积为$\frac{1}{2}×4×3=6$；底为6、高为2的三角形，面积也为$\frac{1}{2}×6×2=6$，两个三角形面积相等，但边长、角度均不相同，不全等，因此该命题是假命题，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 真假命题判定
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对全等三角形性质的理解，要注意全等三角形的性质正向推导均成立，但反过来，周长相等、面积相等的三角形不一定全等，避免混淆性质和其逆命题的正确性。
【难度系数】
0.85
本题考查全等三角形的性质及真假命题的判断，解题思路如下：第一步先回忆全等三角形的定义和性质：能够完全重合的两个三角形是全等三角形，因此其对应边、对应角均相等；第二步逐一验证每个选项是否符合全等三角形的性质，判断命题真假；第三步对于性质的逆命题，可通过举反例的方式判断是否成立，最终选出假命题选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 全等三角形的对应边全部相等，周长是三边长度之和，因此全等三角形周长相等，是真命题，不符合题意；
B. 对应角相等是全等三角形的基本性质，是真命题，不符合题意；
C. 全等三角形可以完全重合，因此面积必然相等，是真命题，不符合题意；
D. 面积相等的两个三角形不一定全等，举反例：底为4、高为3的三角形，面积为$\frac{1}{2}×4×3=6$；底为6、高为2的三角形，面积也为$\frac{1}{2}×6×2=6$，两个三角形面积相等，但边长、角度均不相同，不全等，因此该命题是假命题，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 真假命题判定
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对全等三角形性质的理解，要注意全等三角形的性质正向推导均成立，但反过来，周长相等、面积相等的三角形不一定全等，避免混淆性质和其逆命题的正确性。
【难度系数】
0.85
2. 如图1，在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，点P在边AB上，CP平分$∠ ACB$，$PB=3\ \mathrm{cm}$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，则$△ APC$的面积是（）
A.$15\ \mathrm{cm}^2$
B.$22.5\ \mathrm{cm}^2$
C.$30\ \mathrm{cm}^2$
D.$45\ \mathrm{cm}^2$
A.$15\ \mathrm{cm}^2$
B.$22.5\ \mathrm{cm}^2$
C.$30\ \mathrm{cm}^2$
D.$45\ \mathrm{cm}^2$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，出现角平分线和角一边的垂线，优先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。我们需要过点P作AC边上的高，利用角平分线性质得到这个高的长度等于PB的长度，再结合三角形面积公式即可求出△APC的面积。
【解析】
过点P作PD⊥AC，垂足为D。
∵ CP平分∠ACB，∠B=90°（即PB⊥BC），PD⊥AC，
∴ 根据角平分线的性质可得：PD = PB = 3 cm。
△APC的面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，这里底为AC=10 cm，高为PD=3 cm，
代入得：$S_{△APC}=\frac{1}{2}×AC×PD=\frac{1}{2}×10×3=15\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；三角形的面积计算
【点评】
本题解题的关键是利用角平分线的性质求出△APC中AC边上的高，难度不大，掌握角平分线的性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件，出现角平分线和角一边的垂线，优先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。我们需要过点P作AC边上的高，利用角平分线性质得到这个高的长度等于PB的长度，再结合三角形面积公式即可求出△APC的面积。
【解析】
过点P作PD⊥AC，垂足为D。
∵ CP平分∠ACB，∠B=90°（即PB⊥BC），PD⊥AC，
∴ 根据角平分线的性质可得：PD = PB = 3 cm。
△APC的面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，这里底为AC=10 cm，高为PD=3 cm，
代入得：$S_{△APC}=\frac{1}{2}×AC×PD=\frac{1}{2}×10×3=15\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；三角形的面积计算
【点评】
本题解题的关键是利用角平分线的性质求出△APC中AC边上的高，难度不大，掌握角平分线的性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
3. 在锐角$△ ABC$内一点$P$满足$PA=PB=PC$,则点$P$是$△ ABC$（）
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
答案
D
解析
【分析】
解题时首先从已知条件PA=PB=PC入手，回忆相关几何性质：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。我们可以分别根据三组相等的线段，判断点P所在的直线，再对应选项中三角形各特殊交点的特征，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
1. 因为PA=PB，所以点P在AB边的垂直平分线上；
2. 因为PB=PC，所以点P在BC边的垂直平分线上；
3. 因为PA=PC，所以点P在AC边的垂直平分线上。
由此可得，点P是△ABC三边垂直平分线的交点。
再逐一分析其他选项：
A选项：三条角平分线的交点是三角形的内心，特征是到三角形三边的距离相等，不符合到三个顶点距离相等的条件；
B选项：三条中线的交点是三角形的重心，特征是分每条中线为2:1的两段，不符合题意；
C选项：三条高的交点是三角形的垂心，不满足到三个顶点距离相等的性质，不符合题意。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定；三角形外心的性质
【点评】
本题考查三角形特殊交点的性质辨析，解题的核心是熟练掌握线段垂直平分线的判定定理，区分三角形不同特殊交点的特征，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
解题时首先从已知条件PA=PB=PC入手，回忆相关几何性质：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。我们可以分别根据三组相等的线段，判断点P所在的直线，再对应选项中三角形各特殊交点的特征，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
1. 因为PA=PB，所以点P在AB边的垂直平分线上；
2. 因为PB=PC，所以点P在BC边的垂直平分线上；
3. 因为PA=PC，所以点P在AC边的垂直平分线上。
由此可得，点P是△ABC三边垂直平分线的交点。
再逐一分析其他选项：
A选项：三条角平分线的交点是三角形的内心，特征是到三角形三边的距离相等，不符合到三个顶点距离相等的条件；
B选项：三条中线的交点是三角形的重心，特征是分每条中线为2:1的两段，不符合题意；
C选项：三条高的交点是三角形的垂心，不满足到三个顶点距离相等的性质，不符合题意。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定；三角形外心的性质
【点评】
本题考查三角形特殊交点的性质辨析，解题的核心是熟练掌握线段垂直平分线的判定定理，区分三角形不同特殊交点的特征，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
4. 根据下列已知条件,能画出唯一的△ABC的是 ()
A.∠C=90°,AB=6
B.AB=4,BC=3,∠A=30°
C.∠A=60°,∠B=45°,AB=4
D.AB=3,BC=4,CA=8
A.∠C=90°,AB=6
B.AB=4,BC=3,∠A=30°
C.∠A=60°,∠B=45°,AB=4
D.AB=3,BC=4,CA=8
答案
C
解析
【分析】
要判断能否画出唯一的△ABC，核心思路是：首先判断给出的边长能否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），若能构成三角形，再看给出的条件是否符合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），符合判定定理的就能画出唯一三角形，接下来我们逐个分析选项即可。
【解析】
结合三角形三边关系和全等判定定理逐一分析选项：
1. 分析A选项：仅给出∠C=90°，斜边AB=6，两条直角边的长度没有限制，可以画出无数个大小不同的直角三角形，三角形不唯一，故A错误；
2. 分析B选项：给出AB=4，BC=3，∠A=30°，属于“两边及其中一边的对角（SSA）”的情况，该条件不能判定三角形全等，此时可以画出两种不同形状的三角形，不唯一，故B错误；
3. 分析C选项：给出∠A=60°，∠B=45°，夹边AB=4，属于“两角及其夹边（ASA）”的情况，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的△ABC，故C正确；
4. 分析D选项：三边长为3、4、8，由于3+4=7＜8，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，故D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形全等的判定；三角形三边关系
【点评】
本题易错点在于忽略SSA不能判定三角形全等，或是忘记先验证三边是否满足构成三角形的条件，解题时需要结合两个知识点逐一排查选项。
【难度系数】
0.7
要判断能否画出唯一的△ABC，核心思路是：首先判断给出的边长能否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），若能构成三角形，再看给出的条件是否符合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），符合判定定理的就能画出唯一三角形，接下来我们逐个分析选项即可。
【解析】
结合三角形三边关系和全等判定定理逐一分析选项：
1. 分析A选项：仅给出∠C=90°，斜边AB=6，两条直角边的长度没有限制，可以画出无数个大小不同的直角三角形，三角形不唯一，故A错误；
2. 分析B选项：给出AB=4，BC=3，∠A=30°，属于“两边及其中一边的对角（SSA）”的情况，该条件不能判定三角形全等，此时可以画出两种不同形状的三角形，不唯一，故B错误；
3. 分析C选项：给出∠A=60°，∠B=45°，夹边AB=4，属于“两角及其夹边（ASA）”的情况，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的△ABC，故C正确；
4. 分析D选项：三边长为3、4、8，由于3+4=7＜8，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，故D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形全等的判定；三角形三边关系
【点评】
本题易错点在于忽略SSA不能判定三角形全等，或是忘记先验证三边是否满足构成三角形的条件，解题时需要结合两个知识点逐一排查选项。
【难度系数】
0.7
5. 如图2，BD是等边$△ ABC$的边AC上的中线，以点D为圆心、DB的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则$∠ BDE$等于（）
A.$120°$
B.$110°$
C.$100°$
D.$140°$
A.$120°$
B.$110°$
C.$100°$
D.$140°$
答案
A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是等边三角形，可直接得到各内角为60°，再结合BD是AC边上的中线，利用等边三角形“三线合一”的性质，先求出∠DBC的度数；接着由题意可知BD和DE是同圆的半径，二者相等，即可判定△BDE是等腰三角形，得到两个底角相等，最后利用三角形内角和定理就能算出∠BDE的度数。
【解析】
1.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°
2.
∵BD是等边△ABC边AC上的中线，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$
3. 由作图可知，BD、DE都是圆D的半径，
∴BD=DE，即△BDE是等腰三角形，
∴$∠ DEB=∠ DBE=30°$
4. 根据三角形内角和为180°，在△BDE中：
$∠ BDE=180°-∠ DBE-∠ DEB=180°-30°-30°=120°$
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何角度计算题，核心是利用特殊三角形的性质推导角度关系，解题关键是熟练掌握等边三角形三线合一、等腰三角形等边对等角的性质，理清角度之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是等边三角形，可直接得到各内角为60°，再结合BD是AC边上的中线，利用等边三角形“三线合一”的性质，先求出∠DBC的度数；接着由题意可知BD和DE是同圆的半径，二者相等，即可判定△BDE是等腰三角形，得到两个底角相等，最后利用三角形内角和定理就能算出∠BDE的度数。
【解析】
1.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°
2.
∵BD是等边△ABC边AC上的中线，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$
3. 由作图可知，BD、DE都是圆D的半径，
∴BD=DE，即△BDE是等腰三角形，
∴$∠ DEB=∠ DBE=30°$
4. 根据三角形内角和为180°，在△BDE中：
$∠ BDE=180°-∠ DBE-∠ DEB=180°-30°-30°=120°$
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何角度计算题，核心是利用特殊三角形的性质推导角度关系，解题关键是熟练掌握等边三角形三线合一、等腰三角形等边对等角的性质，理清角度之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. (2025·德州)如图3,在△ABC中,AB=AC.分别以点A和点B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧交于M、N两点,作直线MN,与AC交于点D,连接BD,若∠A=42°,则∠CBD的度数为 ()
A.21°
B.27°
C.30°
D.34.5°
A.21°
B.27°
C.30°
D.34.5°
答案
B
解析
【分析】
解题首先要识别尺规作图的类型，题中MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，进而得到∠ABD=∠A；再结合△ABC是等腰三角形，利用三角形内角和定理算出底角∠ABC的度数，最后用∠ABC减去∠ABD即可求出∠CBD的度数。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴ $AD = BD$，
∴ $∠ ABD = ∠ A = 42°$，
∵ $AB = AC$，△ABC为等腰三角形，
∴ $∠ ABC = ∠ C = \frac{180° - ∠ A}{2} = \frac{180° - 42°}{2} = 69°$，
∴ $∠ CBD = ∠ ABC - ∠ ABD = 69° - 42° = 27°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查了尺规作图的识别、等腰三角形及线段垂直平分线的性质，解题的关键是判断出MN是AB的垂直平分线，灵活运用相关性质进行角度计算。
【难度系数】
0.7
解题首先要识别尺规作图的类型，题中MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，进而得到∠ABD=∠A；再结合△ABC是等腰三角形，利用三角形内角和定理算出底角∠ABC的度数，最后用∠ABC减去∠ABD即可求出∠CBD的度数。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴ $AD = BD$，
∴ $∠ ABD = ∠ A = 42°$，
∵ $AB = AC$，△ABC为等腰三角形，
∴ $∠ ABC = ∠ C = \frac{180° - ∠ A}{2} = \frac{180° - 42°}{2} = 69°$，
∴ $∠ CBD = ∠ ABC - ∠ ABD = 69° - 42° = 27°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查了尺规作图的识别、等腰三角形及线段垂直平分线的性质，解题的关键是判断出MN是AB的垂直平分线，灵活运用相关性质进行角度计算。
【难度系数】
0.7
7. 如图4,在$△ ABC$中,点D在边BC上,$AB=AD=CD,∠BAD=20°$,则$∠C$的度数是 ()
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
答案
B
解析
【分析】
解题时先观察图形中的等腰三角形，首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理求出∠ADB的度数；再根据∠ADB是△ADC的外角，结合△ADC也是等腰三角形的性质，建立∠ADB与∠C的数量关系，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵AB=AD，∠BAD=20°，
∴△ABD为等腰三角形，∠B=∠ADB，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ADB=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-20°}{2}=80°$。
又
∵AD=CD，
∴△ADC为等腰三角形，$∠ C=∠ CAD$。
∵∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ ADB=∠ C+∠ CAD=2∠ C$，
∴$∠ C=\frac{∠ ADB}{2}=\frac{80°}{2}=40°$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，重点考查等腰三角形性质与三角形内外角性质的综合应用，解题的关键是准确识别等腰三角形，利用外角性质建立不同三角形角度之间的关联。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形中的等腰三角形，首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理求出∠ADB的度数；再根据∠ADB是△ADC的外角，结合△ADC也是等腰三角形的性质，建立∠ADB与∠C的数量关系，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵AB=AD，∠BAD=20°，
∴△ABD为等腰三角形，∠B=∠ADB，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ADB=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-20°}{2}=80°$。
又
∵AD=CD，
∴△ADC为等腰三角形，$∠ C=∠ CAD$。
∵∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ ADB=∠ C+∠ CAD=2∠ C$，
∴$∠ C=\frac{∠ ADB}{2}=\frac{80°}{2}=40°$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，重点考查等腰三角形性质与三角形内外角性质的综合应用，解题的关键是准确识别等腰三角形，利用外角性质建立不同三角形角度之间的关联。
【难度系数】
0.7
8. 一个三角形的两边长分别为4和8，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）
A.$x＞2$
B.$x＜6$
C.$4＜x＜12$
D.$2＜x＜6$
A.$x＞2$
B.$x＜6$
C.$4＜x＜12$
D.$2＜x＜6$
答案
D
解析
【分析】
要求三角形第三边上中线的取值范围，可采用倍长中线法构造全等三角形，将已知的两条边长和两倍的中线长度转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）列不等式求解，这是处理三角形中线类问题的常用思路。
【解析】
设△ABC中，AB=4，AC=8，AD是BC边上的中线，AD=x。
延长AD至点E，使DE=AD，连接CE。
∵ AD是BC边上的中线，
∴ BD=CD。
在△ABD和△ECD中：
$\{\begin{array}{l} BD=CD \\ ∠ ADB=∠ EDC（对顶角相等） \\ AD=ED \end{array} $
∴ △ABD≌△ECD（SAS），
∴ CE=AB=4。
在△ACE中，AC=8，CE=4，AE=AD+DE=2x，根据三角形三边关系可得：
$AC-CE ＜ AE ＜ AC+CE$
代入得：$8-4 ＜ 2x ＜ 8+4$
即$4 ＜ 2x ＜ 12$，不等式两边同时除以2，得$2 ＜ x ＜ 6$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 倍长中线构造全等
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形中线相关的典型题型，核心考查倍长中线这一常用辅助线的用法，通过构造全等三角形实现边的转移，将分散的条件集中到同一个三角形中，再结合三边关系即可求出范围，掌握这类常规辅助线的构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求三角形第三边上中线的取值范围，可采用倍长中线法构造全等三角形，将已知的两条边长和两倍的中线长度转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）列不等式求解，这是处理三角形中线类问题的常用思路。
【解析】
设△ABC中，AB=4，AC=8，AD是BC边上的中线，AD=x。
延长AD至点E，使DE=AD，连接CE。
∵ AD是BC边上的中线，
∴ BD=CD。
在△ABD和△ECD中：
$\{\begin{array}{l} BD=CD \\ ∠ ADB=∠ EDC（对顶角相等） \\ AD=ED \end{array} $
∴ △ABD≌△ECD（SAS），
∴ CE=AB=4。
在△ACE中，AC=8，CE=4，AE=AD+DE=2x，根据三角形三边关系可得：
$AC-CE ＜ AE ＜ AC+CE$
代入得：$8-4 ＜ 2x ＜ 8+4$
即$4 ＜ 2x ＜ 12$，不等式两边同时除以2，得$2 ＜ x ＜ 6$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 倍长中线构造全等
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形中线相关的典型题型，核心考查倍长中线这一常用辅助线的用法，通过构造全等三角形实现边的转移，将分散的条件集中到同一个三角形中，再结合三边关系即可求出范围，掌握这类常规辅助线的构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
