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7. (2024·宜宾改编)元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了这样一道题:“良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何日追及之?”其大意是:快马每天行240里,慢马每天行150里,慢马先行12天,则快马几天可追上慢马? 快马追上慢马需要的天数是 ()
A.5
B.10
C.15
D.20
A.5
B.10
C.15
D.20
答案
D
解析
设快马追上慢马需要x天，此时快马行驶的总路程为240x里，慢马先行12天，总共行驶了(x+12)天，总路程为150(x+12)里。根据追及时两马行驶路程相等列一元一次方程：
240x = 150(x+12)
展开得：240x = 150x + 1800
移项合并同类项得：90x = 1800
解得：x=20
即快马20天可追上慢马。
240x = 150(x+12)
展开得：240x = 150x + 1800
移项合并同类项得：90x = 1800
解得：x=20
即快马20天可追上慢马。
8.一项工作甲单独完成需4天,乙单独完成需6天,若先由乙做1天,再由两人合作,完成任务后共得到报酬900元,若按各人的工作量计算报酬,则分配方案为 ()
A.甲350元,乙550元
B.甲450元,乙450元
C.甲300元,乙600元
D.甲560元,乙340元
A.甲350元,乙550元
B.甲450元,乙450元
C.甲300元,乙600元
D.甲560元,乙340元
答案
B
解析
设两人合作的天数为x，将总工作量看作单位1，则甲的工作效率为$\frac{1}{4}$，乙的工作效率为$\frac{1}{6}$。
根据题意列方程：$\frac{1}{6} + (\frac{1}{4}+\frac{1}{6})x = 1$
化简得：$\frac{5}{12}x = \frac{5}{6}$，解得$x=2$。
甲的总工作量：$2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$
乙的总工作量：$(1+2)×\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$
两人工作量相等，报酬各为$900×\frac{1}{2}=450$元。
根据题意列方程：$\frac{1}{6} + (\frac{1}{4}+\frac{1}{6})x = 1$
化简得：$\frac{5}{12}x = \frac{5}{6}$，解得$x=2$。
甲的总工作量：$2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$
乙的总工作量：$(1+2)×\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$
两人工作量相等，报酬各为$900×\frac{1}{2}=450$元。
9. 轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2 h，船在静水中的速度为26 km/h，水速为2 km/h。设A港和B港相距x km。根据题意，列出的方程是（）
A.$\frac{x}{28} = \frac{x}{24} + 2$
B.$\frac{x+2}{26} = \frac{x-2}{26} - 2$
C.$\frac{x}{28} = \frac{x}{24} - 2$
D.$\frac{x+2}{26} = \frac{x-2}{26} + 2$
A.$\frac{x}{28} = \frac{x}{24} + 2$
B.$\frac{x+2}{26} = \frac{x-2}{26} - 2$
C.$\frac{x}{28} = \frac{x}{24} - 2$
D.$\frac{x+2}{26} = \frac{x-2}{26} + 2$
答案
C
解析
先计算顺流速度：$26+2=28\ \mathrm{km/h}$，逆流速度：$26-2=24\ \mathrm{km/h}$；顺流从A到B的行驶时间为$\frac{x}{28}\ \mathrm{h}$，逆流从B到A的行驶时间为$\frac{x}{24}\ \mathrm{h}$。根据题意“顺流行驶比逆流返回少用2 h”，可得等量关系：顺流时间 = 逆流时间 - 2，列出方程为$\frac{x}{28}=\frac{x}{24}-2$。
10.若关于$ x $的方程$ x - 6 = (k - 1)x $有正整数解,则满足条件的所有整数$ k $的值之和是 $\ (\ )$
A.0
B.1
C.-1
D.-4
A.0
B.1
C.-1
D.-4
答案
D
解析
先对方程进行整理求解：
1. 移项：$x - (k-1)x = 6$
2. 合并同类项：$(2 - k)x = 6$
3. 解得：$x=\frac{6}{2-k}$
因为方程有正整数解，所以$2-k$是6的正整数因数，6的正整数因数为1、2、3、6：
当$2-k=1$时，$k=1$
当$2-k=2$时，$k=0$
当$2-k=3$时，$k=-1$
当$2-k=6$时，$k=-4$
所有满足条件的整数$k$的值之和为$1+0+(-1)+(-4)=-4$
1. 移项：$x - (k-1)x = 6$
2. 合并同类项：$(2 - k)x = 6$
3. 解得：$x=\frac{6}{2-k}$
因为方程有正整数解，所以$2-k$是6的正整数因数，6的正整数因数为1、2、3、6：
当$2-k=1$时，$k=1$
当$2-k=2$时，$k=0$
当$2-k=3$时，$k=-1$
当$2-k=6$时，$k=-4$
所有满足条件的整数$k$的值之和为$1+0+(-1)+(-4)=-4$
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 若关于x的方程$(2-a)x^{|a|-1}+2=0$是一元一次方程,则a的值为。
11. 若关于x的方程$(2-a)x^{|a|-1}+2=0$是一元一次方程,则a的值为。
答案
解：根据一元一次方程的定义，可得
$\begin{cases}|a| - 1 = 1 \\2 - a ≠ 0\end{cases}$
由$|a|-1=1$，得$|a|=2$，即$a=2$或$a=-2$。
由$2 - a ≠ 0$，得$a ≠ 2$。
综上，$a$的值为$-2$。
$\begin{cases}|a| - 1 = 1 \\2 - a ≠ 0\end{cases}$
由$|a|-1=1$，得$|a|=2$，即$a=2$或$a=-2$。
由$2 - a ≠ 0$，得$a ≠ 2$。
综上，$a$的值为$-2$。
12. (2025·遂宁)已知$x=2$是方程$3a - 2x = 2$的解，则$a=$。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：将$x=2$代入方程$3a - 2x = 2$，得
$3a - 2×2 = 2$
$3a - 4 = 2$
移项，得$3a = 2 + 4$
合并同类项，得$3a = 6$
系数化为1，得$a=2$
$3a - 2×2 = 2$
$3a - 4 = 2$
移项，得$3a = 2 + 4$
合并同类项，得$3a = 6$
系数化为1，得$a=2$
13. 为了增强学生的安全防范意识，某校举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，计分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分。小红一共得70分，则小红答对题的个数为。
答案
解：设小红答对题的个数为x，则答错或不答的题数为$(20 - x)$。
根据题意列方程：
$5x - (20 - x) = 70$
去括号，得：
$5x - 20 + x = 70$
移项，得：
$5x + x = 70 + 20$
合并同类项，得：
$6x = 90$
系数化为1，得：
$x = 15$
答：小红答对题的个数为15。
根据题意列方程：
$5x - (20 - x) = 70$
去括号，得：
$5x - 20 + x = 70$
移项，得：
$5x + x = 70 + 20$
合并同类项，得：
$6x = 90$
系数化为1，得：
$x = 15$
答：小红答对题的个数为15。
14. 已知一个长方形的周长为24 cm，如果将这个长方形的长减少3 cm，宽增加1 cm，就可以变成一个正方形，那么这个长方形的长为 cm。
答案
解：设这个长方形的长为$ x $ cm，
由长方形周长为24 cm，可得长方形的宽为$ (12 - x) $ cm。
根据题意列方程：
$ x - 3 = (12 - x) + 1 $
移项，得：$ x + x = 12 + 1 + 3 $
合并同类项，得：$ 2x = 16 $
系数化为1，得：$ x = 8 $
答：这个长方形的长为8 cm。
由长方形周长为24 cm，可得长方形的宽为$ (12 - x) $ cm。
根据题意列方程：
$ x - 3 = (12 - x) + 1 $
移项，得：$ x + x = 12 + 1 + 3 $
合并同类项，得：$ 2x = 16 $
系数化为1，得：$ x = 8 $
答：这个长方形的长为8 cm。
15. 某商场进行促销活动,发布两种消费券:A券满60元减20元,
B券满90元减30元,即一次购物大于或等于60元,90元,付款时分别减20元,30元。小敏有一张A券,小聪有一张B券,他们都购买了一件标价相同的商品,各自付款,若能用券时用券,这样两人共付款156元,则这件商品的标价是元。
B券满90元减30元,即一次购物大于或等于60元,90元,付款时分别减20元,30元。小敏有一张A券,小聪有一张B券,他们都购买了一件标价相同的商品,各自付款,若能用券时用券,这样两人共付款156元,则这件商品的标价是元。
答案
解：设这件商品的标价为x元，分情况讨论：
1. 当$x＜60$时，两人都无法使用优惠券，
由题意得：$2x=156$，
解得$x=78$，与$x＜60$矛盾，舍去。
2. 当$60≤ x＜90$时，小敏可使用A券，小聪无法使用B券，
由题意得：$(x-20)+x=156$，
解得$x=88$，符合$60≤ x＜90$的条件。
3. 当$x≥90$时，两人都可使用对应优惠券，
由题意得：$(x-20)+(x-30)=156$，
解得$x=103$，符合$x≥90$的条件。
综上，这件商品的标价是$\boldsymbol{88}$或$\boldsymbol{103}$元。
1. 当$x＜60$时，两人都无法使用优惠券，
由题意得：$2x=156$，
解得$x=78$，与$x＜60$矛盾，舍去。
2. 当$60≤ x＜90$时，小敏可使用A券，小聪无法使用B券，
由题意得：$(x-20)+x=156$，
解得$x=88$，符合$60≤ x＜90$的条件。
3. 当$x≥90$时，两人都可使用对应优惠券，
由题意得：$(x-20)+(x-30)=156$，
解得$x=103$，符合$x≥90$的条件。
综上，这件商品的标价是$\boldsymbol{88}$或$\boldsymbol{103}$元。
