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1. [2025合肥一模]如图,在$\odot O$中,BC是切线,切点是B,直线CO交$\odot O$于点D,A,点E为$\odot O$上的一点,连接BE,DE.若$∠ C=24°$,则$∠ E$的度数为 (
A.$66°$
B.$33°$
C.$34°$
D.$24°$
B
)A.$66°$
B.$33°$
C.$34°$
D.$24°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先观察到BC是圆的切线，根据切线相关的辅助线作法，优先连接圆心O和切点B，利用切线的性质得到垂直关系，构造出直角三角形OBC。已知∠C的度数，可先求出圆心角∠BOC的度数；再结合所求的∠E是弧BD对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠E的度数。
【解析】
连接OB，
∵BC是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥BC，即∠OBC=90°，
在Rt△OBC中，∠C=24°，
∴∠BOC=90°-∠C=90°-24°=66°，
∵∠E是弧BD所对的圆周角，∠BOC是弧BD所对的圆心角，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×66°=33°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的基础计算题，解题的关键是掌握切线对应的辅助线作法，熟记切线性质和圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到BC是圆的切线，根据切线相关的辅助线作法，优先连接圆心O和切点B，利用切线的性质得到垂直关系，构造出直角三角形OBC。已知∠C的度数，可先求出圆心角∠BOC的度数；再结合所求的∠E是弧BD对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠E的度数。
【解析】
连接OB，
∵BC是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥BC，即∠OBC=90°，
在Rt△OBC中，∠C=24°，
∴∠BOC=90°-∠C=90°-24°=66°，
∵∠E是弧BD所对的圆周角，∠BOC是弧BD所对的圆心角，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×66°=33°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的基础计算题，解题的关键是掌握切线对应的辅助线作法，熟记切线性质和圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，点O在四边形ABCD的内部，过点C作$\odot O$的切线交AD的延长线于点E，连接OA，OD。若$∠ ABC = 100°$，$∠ DCE = 30°$，则$∠ AOD$的度数为（
A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
C
）A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
答案
2.C
解析
【分析】
解题目标是求圆心角∠AOD的度数，根据圆周角定理，圆心角的度数等于它所对弧的圆周角度数的2倍，因此只需要求出弧AD对应的圆周角∠ACD的度数即可。首先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠ABC的度数求出∠ADC的度数；再根据切线的弦切角定理，得到∠DCE与∠CAD相等，求出∠CAD的度数；最后在△ADC中利用三角形内角和求出∠ACD的度数，再乘2即可得到∠AOD的度数。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得：
$∠ ABC + ∠ ADC = 180°$
已知$∠ ABC=100°$，代入得$∠ ADC=180°-100°=80°$。
2. 因为CE是$\odot O$的切线，根据弦切角定理（弦切角等于所夹弧所对的圆周角），$∠ DCE$是弦切角，所夹弧为CD，因此：
$∠ DCE=∠ CAD=30°$
3. 在$△ ADC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ACD=180°-∠ ADC-∠ CAD=180°-80°-30°=70°$
4. $∠ AOD$是弧AD所对的圆心角，$∠ ACD$是弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理：
$∠ AOD=2∠ ACD=2×70°=140°$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；弦切角定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题型，核心是利用圆的相关性质进行角的转化，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形、切线的性质以及圆周角定理，逐步推导得到目标角的度数。
【难度系数】
0.7
解题目标是求圆心角∠AOD的度数，根据圆周角定理，圆心角的度数等于它所对弧的圆周角度数的2倍，因此只需要求出弧AD对应的圆周角∠ACD的度数即可。首先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠ABC的度数求出∠ADC的度数；再根据切线的弦切角定理，得到∠DCE与∠CAD相等，求出∠CAD的度数；最后在△ADC中利用三角形内角和求出∠ACD的度数，再乘2即可得到∠AOD的度数。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得：
$∠ ABC + ∠ ADC = 180°$
已知$∠ ABC=100°$，代入得$∠ ADC=180°-100°=80°$。
2. 因为CE是$\odot O$的切线，根据弦切角定理（弦切角等于所夹弧所对的圆周角），$∠ DCE$是弦切角，所夹弧为CD，因此：
$∠ DCE=∠ CAD=30°$
3. 在$△ ADC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ACD=180°-∠ ADC-∠ CAD=180°-80°-30°=70°$
4. $∠ AOD$是弧AD所对的圆心角，$∠ ACD$是弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理：
$∠ AOD=2∠ ACD=2×70°=140°$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；弦切角定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题型，核心是利用圆的相关性质进行角的转化，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形、切线的性质以及圆周角定理，逐步推导得到目标角的度数。
【难度系数】
0.7
3.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$O$为$AC$上一点,以$OA$为半径的$\odot O$交$AB$于点$D$.当$DC$为$\odot O$的切线时,$∠ BCD$等于(
A.$∠ A$
B.$2∠ A$
C.$90°-∠ A$
D.$180°-4∠ A$
B
)A.$∠ A$
B.$2∠ A$
C.$90°-∠ A$
D.$180°-4∠ A$
答案
3.B
解析
【分析】
解决本题的核心是利用切线的性质作辅助线：遇到切线时，通常连接圆心与切点得到垂直关系。首先连接OD，结合切线性质得∠ODC=90°，再利用同圆半径相等推出等腰△OAD，得到底角相等，结合三角形外角性质得到∠COD与∠A的关系，最后通过同角的余角相等推导∠BCD和∠COD的关系，即可得出结论。
【解析】
解：连接OD，
∵ DC是⊙O的切线，D为切点，
∴ OD⊥DC，即∠ODC=90°，
∴ ∠COD + ∠OCD = 90°，
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠BCD + ∠OCD = 90°，
∴ ∠BCD = ∠COD（同角的余角相等），
∵ OA=OD（同圆的半径相等），
∴ ∠A=∠ODA，
∵ ∠COD是△AOD的外角，
∴ ∠COD=∠A + ∠ODA = 2∠A，
∴ ∠BCD=2∠A。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题考查与切线有关的角度计算，核心是掌握切线类问题的常用辅助线作法：连接圆心和切点得到垂直关系，再结合三角形的角度性质推导即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用切线的性质作辅助线：遇到切线时，通常连接圆心与切点得到垂直关系。首先连接OD，结合切线性质得∠ODC=90°，再利用同圆半径相等推出等腰△OAD，得到底角相等，结合三角形外角性质得到∠COD与∠A的关系，最后通过同角的余角相等推导∠BCD和∠COD的关系，即可得出结论。
【解析】
解：连接OD，
∵ DC是⊙O的切线，D为切点，
∴ OD⊥DC，即∠ODC=90°，
∴ ∠COD + ∠OCD = 90°，
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠BCD + ∠OCD = 90°，
∴ ∠BCD = ∠COD（同角的余角相等），
∵ OA=OD（同圆的半径相等），
∴ ∠A=∠ODA，
∵ ∠COD是△AOD的外角，
∴ ∠COD=∠A + ∠ODA = 2∠A，
∴ ∠BCD=2∠A。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题考查与切线有关的角度计算，核心是掌握切线类问题的常用辅助线作法：连接圆心和切点得到垂直关系，再结合三角形的角度性质推导即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
4.如图，BD是过$\odot O$圆心的一条直线，A为圆上一点，过点O作$OC⊥ BD$，交圆于点C，连接AC，AB，AB与$\odot O$相切，AC与BD交于点E。已知$AB＝BE$，$OE＝4$，$\frac{EG}{BG}＝\frac{3}{2}$，则AB的长度为
$\frac{80}{9}$
。答案
4.$\frac{80}{9}$
解析
【分析】
解题时首先连接切点与圆心，利用切线的性质得到垂直关系；结合AB=BE的等腰三角形性质，再通过设参数表示相关线段长度；然后利用切割线定理和勾股定理分别建立含参数和半径的方程，联立方程求解参数即可得到AB的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵AB是$\odot O$的切线，A为切点，$\therefore OA⊥ AB$，即$∠ OAB=90°$。
设$BG=2k$，由$\frac{EG}{BG}=\frac{3}{2}$得$EG=3k$，
$\therefore BE=BG+EG=5k$，
$\because AB=BE$，$\therefore AB=5k$。
根据切割线定理：$AB^2=BG· BD$，
设$\odot O$半径为$r$，则$BO=BG+GE+EO=2k+3k+4=5k+4$，$BD=BO+OD=5k+4+r$，
代入得：$(5k)^2=2k·(5k+4+r)$，
化简得：$25k^2=10k^2+8k+2kr$，两边除以非零的$k$得$15k-8=2r$，即$r=\frac{15k-8}{2}$ ①。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，由勾股定理得$OA^2+AB^2=BO^2$，
代入得：$r^2+(5k)^2=(5k+4)^2$，
化简得：$r^2=40k+16$ ②。
将①代入②：$(\frac{15k-8}{2})^2=40k+16$，
展开整理得：$225k^2=400k$，
$\because k≠0$，$\therefore k=\frac{16}{9}$，
$\therefore AB=5k=5×\frac{16}{9}=\frac{80}{9}$。
【答案】
$\frac{80}{9}$
【知识点】
切线的性质，切割线定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合计算题，核心是结合切线性质、切割线定理和勾股定理建立方程求解，考查了方程思想在几何问题中的应用，解题关键是合理设参数找到等量关系。
【难度系数】
0.65
解题时首先连接切点与圆心，利用切线的性质得到垂直关系；结合AB=BE的等腰三角形性质，再通过设参数表示相关线段长度；然后利用切割线定理和勾股定理分别建立含参数和半径的方程，联立方程求解参数即可得到AB的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵AB是$\odot O$的切线，A为切点，$\therefore OA⊥ AB$，即$∠ OAB=90°$。
设$BG=2k$，由$\frac{EG}{BG}=\frac{3}{2}$得$EG=3k$，
$\therefore BE=BG+EG=5k$，
$\because AB=BE$，$\therefore AB=5k$。
根据切割线定理：$AB^2=BG· BD$，
设$\odot O$半径为$r$，则$BO=BG+GE+EO=2k+3k+4=5k+4$，$BD=BO+OD=5k+4+r$，
代入得：$(5k)^2=2k·(5k+4+r)$，
化简得：$25k^2=10k^2+8k+2kr$，两边除以非零的$k$得$15k-8=2r$，即$r=\frac{15k-8}{2}$ ①。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，由勾股定理得$OA^2+AB^2=BO^2$，
代入得：$r^2+(5k)^2=(5k+4)^2$，
化简得：$r^2=40k+16$ ②。
将①代入②：$(\frac{15k-8}{2})^2=40k+16$，
展开整理得：$225k^2=400k$，
$\because k≠0$，$\therefore k=\frac{16}{9}$，
$\therefore AB=5k=5×\frac{16}{9}=\frac{80}{9}$。
【答案】
$\frac{80}{9}$
【知识点】
切线的性质，切割线定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合计算题，核心是结合切线性质、切割线定理和勾股定理建立方程求解，考查了方程思想在几何问题中的应用，解题关键是合理设参数找到等量关系。
【难度系数】
0.65
5.如图,在矩形ABCD中,AB＝8,BC＝10,$\odot O$经过点B,与AD相切于点F,交BC于点G,交BO的延长线于点E,BE＝BC,则BG的长是
8
.答案
5.8
解析
【分析】
遇到圆的切线相关问题，首先连接过切点的半径得到垂直关系，这是切线类问题的常用辅助线作法。本题先连接OF，过O作OH⊥BC于H，结合矩形的性质可得FH=AB，且OH垂直BG；再根据BE是直径得出半径长度，求出OH的长，最后在直角三角形中用勾股定理求BH，结合垂径定理即可得到BG的长度。
【解析】
解：连接OF，过点O作OH⊥BC于点H。
1. 由切线的性质可知，OF⊥AD。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AB⊥AD，AB=8，
∴FH⊥BC，四边形ABHF是矩形，
∴FH=AB=8。
2.
∵BE是⊙O的直径，BE=BC=10，
∴⊙O的半径OB=OF=5，
∴OH=FH - OF=8 - 5=3。
3. 在Rt△OBH中，由勾股定理得：
$BH=\sqrt{OB^2 - OH^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
4. 由垂径定理可知，OH垂直平分BG，即BH=HG，
∴BG=2BH=2×4=8。
【答案】
8
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆与矩形结合的常规题型，重点考查切线辅助线的作法，只要熟练掌握切线性质、垂径定理和勾股定理，就能顺利求解，解题关键是构造出合适的直角三角形。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线相关问题，首先连接过切点的半径得到垂直关系，这是切线类问题的常用辅助线作法。本题先连接OF，过O作OH⊥BC于H，结合矩形的性质可得FH=AB，且OH垂直BG；再根据BE是直径得出半径长度，求出OH的长，最后在直角三角形中用勾股定理求BH，结合垂径定理即可得到BG的长度。
【解析】
解：连接OF，过点O作OH⊥BC于点H。
1. 由切线的性质可知，OF⊥AD。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AB⊥AD，AB=8，
∴FH⊥BC，四边形ABHF是矩形，
∴FH=AB=8。
2.
∵BE是⊙O的直径，BE=BC=10，
∴⊙O的半径OB=OF=5，
∴OH=FH - OF=8 - 5=3。
3. 在Rt△OBH中，由勾股定理得：
$BH=\sqrt{OB^2 - OH^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
4. 由垂径定理可知，OH垂直平分BG，即BH=HG，
∴BG=2BH=2×4=8。
【答案】
8
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆与矩形结合的常规题型，重点考查切线辅助线的作法，只要熟练掌握切线性质、垂径定理和勾股定理，就能顺利求解，解题关键是构造出合适的直角三角形。
【难度系数】
0.7
6. [2026 合肥期末] 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，点D是圆外一点，DB是$\odot O$的切线.连接DO，DO与AB交于点E.
(1)求证:$∠ DBA=∠ ACB$；
(2)若$DO ⊥ AB$，$BC=2$，$DE=4$，求$\odot O$的半径.
(1)求证:$∠ DBA=∠ ACB$；
(2)若$DO ⊥ AB$，$BC=2$，$DE=4$，求$\odot O$的半径.
答案
6.(1)略.(2)$\sqrt{5}$
解析
【分析】
(1)要证∠DBA=∠ACB，先连接OB，利用切线性质可得OB⊥DB，再结合∠ABC=90°推出AC是⊙O直径，得到∠OBC=∠ACB，最后通过同角的余角相等即可完成证明；
(2)先根据垂径定理得E是AB中点，结合O是AC中点判定OE是△ABC的中位线，求出OE的长度，设半径为r，再在多个直角三角形中利用勾股定理建立关于r的方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
(1)证明：连接OB，
∵DB是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$OB⊥DB$，即$∠ OBD=90°$，
∴$∠ DBA + ∠ ABO=90°$，
∵$∠ ABC=90°$，
∴AC是$\odot O$的直径，$∠ ABO + ∠ OBC=90°$，
∵OB=OC，
∴$∠ OBC=∠ ACB$，
∴$∠ DBA=∠ ACB$（同角的余角相等）。
(2)解：
∵$DO⊥AB$，DO过圆心O，由垂径定理得$AE=EB$，
∵O是AC中点，E是AB中点，
∴OE是$△ ABC$的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1$，
设$\odot O$的半径为r，则$OB=r$，$OD=DE+OE=4+1=5$，
在$Rt△ OBE$中，由勾股定理得$BE^2=OB^2-OE^2=r^2-1$，
在$Rt△ DBE$中，由勾股定理得$DB^2=DE^2+BE^2=4^2+(r^2-1)=r^2+15$，
在$Rt△ OBD$中，由勾股定理得$OB^2+DB^2=OD^2$，
代入得：$r^2+(r^2+15)=5^2$，
整理得$2r^2=10$，解得$r=\sqrt{5}$（$r＞0$，舍去负根）。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\sqrt{5}$
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合典型题，将切线性质、垂径定理、三角形中位线、勾股定理结合考查，解题的关键是合理作出辅助线，梳理图形中的边角关系，利用方程思想求解未知量。
【难度系数】
0.65
(1)要证∠DBA=∠ACB，先连接OB，利用切线性质可得OB⊥DB，再结合∠ABC=90°推出AC是⊙O直径，得到∠OBC=∠ACB，最后通过同角的余角相等即可完成证明；
(2)先根据垂径定理得E是AB中点，结合O是AC中点判定OE是△ABC的中位线，求出OE的长度，设半径为r，再在多个直角三角形中利用勾股定理建立关于r的方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
(1)证明：连接OB，
∵DB是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$OB⊥DB$，即$∠ OBD=90°$，
∴$∠ DBA + ∠ ABO=90°$，
∵$∠ ABC=90°$，
∴AC是$\odot O$的直径，$∠ ABO + ∠ OBC=90°$，
∵OB=OC，
∴$∠ OBC=∠ ACB$，
∴$∠ DBA=∠ ACB$（同角的余角相等）。
(2)解：
∵$DO⊥AB$，DO过圆心O，由垂径定理得$AE=EB$，
∵O是AC中点，E是AB中点，
∴OE是$△ ABC$的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1$，
设$\odot O$的半径为r，则$OB=r$，$OD=DE+OE=4+1=5$，
在$Rt△ OBE$中，由勾股定理得$BE^2=OB^2-OE^2=r^2-1$，
在$Rt△ DBE$中，由勾股定理得$DB^2=DE^2+BE^2=4^2+(r^2-1)=r^2+15$，
在$Rt△ OBD$中，由勾股定理得$OB^2+DB^2=OD^2$，
代入得：$r^2+(r^2+15)=5^2$，
整理得$2r^2=10$，解得$r=\sqrt{5}$（$r＞0$，舍去负根）。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\sqrt{5}$
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合典型题，将切线性质、垂径定理、三角形中位线、勾股定理结合考查，解题的关键是合理作出辅助线，梳理图形中的边角关系，利用方程思想求解未知量。
【难度系数】
0.65
