1.如图,点 C 在线段AB 上,M,N 分别是AC,BC 的中点.
(1)若$AC=9\ \mathrm{cm},CB=6\ \mathrm{cm}$,则线段$MN$的长为$\mathrm{cm}$.
(2)若$AC=a,CB=b$,则线段$MN$的长为.
(3)若$C$为线段$AB$上的任意一点,且$AB=n$,其他条件不变,你能猜想$MN$的长度吗?请用一句简洁的话描述你发现的结论.
【拓展提问】若将题干中的“点 C 在线段AB 上”改为“点 C 在线段AB 的延长线上”,其他条件不变,则(3)中的结论还成立吗?请画出图形,写出结论,并说明理由.

1.解: (1)$\frac{15}{2}$ (2)$\frac{a+b}{2}$
(3)猜想:$MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}n$.
结论:若 C 为线段 AB 上的任意一点,且 M,N 分别是 AC,BC 的中点,则$MN=\frac{1}{2}AB$.
【拓展提问】解:$MN=\frac{1}{2}n$成立.
理由如下:如图,当点 C 在线段 AB 的延长线上时,

因为 M,N 分别是 AC,BC 的中点,
所以$MC=\frac{1}{2}AC$,$NC=\frac{1}{2}BC$.又因为$MN=MC-NC$,
所以$MN=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}n$.

【分析】
本题是线段双中点模型的典型问题，解题核心是利用线段中点的定义，结合线段的和差关系推导结论。解题时先根据中点性质得到各分段与对应线段的比例关系，再结合点C的位置判断MN的组成（和或差），代入化简即可得到结果：
1. 前两问已知AC、BC的长度/字母表达式，直接利用中点求出MC、NC的长度，再相加得到MN；
2. 第三问将AC+BC替换为AB，即可推导出MN与AB的通用关系；
3. 拓展问题中点C位置改变，先判断MN为MC与NC的差，再代入中点性质化简，验证结论是否成立。
【解析】
(1) 已知M是AC的中点，$AC=9\ \mathrm{cm}$，根据中点定义可得：
$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$
又N是BC的中点，$CB=6\ \mathrm{cm}$，同理可得：
$NC=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$
观察线段位置得$MN=MC+NC$，代入得：
$MN=\frac{9}{2}+3=\frac{15}{2}\ \mathrm{cm}$
(2) 当$AC=a,CB=b$时，同理根据中点性质：
$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a$，$NC=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}b$
因此$MN=MC+NC=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=\frac{a+b}{2}$
(3) 推导：因为M、N分别是AC、BC的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$，则：
$MN=MC+NC=\frac{1}{2}(AC+BC)$
又因为C在线段AB上，所以$AC+BC=AB=n$，代入得$MN=\frac{1}{2}n$。
【拓展提问】
理由：因为M，N分别是AC，BC的中点，根据中点定义：
$MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$
当点C在线段AB的延长线上时，$MN=MC-NC$，代入得：
$MN=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)$
又因为$AC-BC=AB=n$，所以$MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}n$，结论成立。
【答案】
(1)$\frac{15}{2}$
(2)$\frac{a+b}{2}$
(3)猜想:$MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}n$。
结论:若 C 为线段 AB 上的任意一点,且 M,N 分别是 AC,BC 的中点,则$MN=\frac{1}{2}AB$。
【拓展提问】$MN=\frac{1}{2}n$成立，图形：，理由见解析。
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算，双中点线段模型
【点评】
本题是线段计算的经典题型，通过从具体数值到字母表达式、再到一般规律的推导，帮助掌握双中点模型的通用结论，拓展部分结合点的位置变化考察分类讨论思想，熟练掌握线段中点性质和和差关系是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7

2. 能力训练点·逻辑推理与论证 [2026合肥期末]如图，已知线段$AB=a$，点$C$，$D$在线段$AB$上，$CD=b$，点$E$是$AC$的中点，点$F$是$BD$的中点.
(1)若$a=18\ \mathrm{cm}$，$b=4\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，求线段$EF$的长度.
(2)当线段$CD$在线段$AB$上运动时，试判断线段$EF$的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段$EF$的长度；如果变化，请说明理由.

2.解: (1)因为$AB=18\ \mathrm{cm},CD=4\ \mathrm{cm},AC=6\ \mathrm{cm}$,
所以$BD=AB-AC-CD=18-6-4=8(\mathrm{cm})$,
因为点 E 是 AC 的中点,点 F 是 BD 的中点,
所以$EC=\frac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm},DF=\frac{1}{2}BD=4\ \mathrm{cm}$,
所以$EF=EC+CD+DF=3+4+4=11(\mathrm{cm})$.
(2)线段 EF 的长度不发生变化.
因为点 E 是 AC 的中点,点 F 是 BD 的中点,
所以$AE=\frac{1}{2}AC,BF=\frac{1}{2}BD$,因为$AB=a,CD=b$,
所以$EF=AB-AE-BF=AB-\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BD=AB-\frac{1}{2}(AC+BD)=AB-\frac{1}{2}(AB-CD)=AB-\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}(AB+CD)=\frac{1}{2}(a+b)$.

【分析】
(1) 求解第一问时，先根据线段的和差关系，用AB的长度减去AC、CD的长度得到BD的长度；再结合线段中点的性质，分别计算出AC一半的长度EC、BD一半的长度DF；最后EF的长度为EC、CD、DF三段长度之和，代入数值计算即可得到结果。
(2) 求解第二问时，要判断EF长度是否变化，可尝试将EF用题目给出的定值a、b表示。首先根据中点性质，把AE、BF分别转化为AC、BD的一半；再将EF表示为AB减去AE、BF的差，结合AC+BD=AB-CD的和差关系代入化简，若最终结果仅含a、b两个定值，就说明EF长度不变，反之则变化。
【解析】
(1) 因为$AB=18\ \mathrm{cm},CD=4\ \mathrm{cm},AC=6\ \mathrm{cm}$，
所以$BD=AB-AC-CD=18-6-4=8(\mathrm{cm})$，
因为点E是AC的中点，点F是BD的中点，
所以$EC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$，$DF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$，
所以$EF=EC+CD+DF=3+4+4=11(\mathrm{cm})$。
(2) 线段EF的长度不发生变化。
因为点E是AC的中点，点F是BD的中点，
所以$AE=\frac{1}{2}AC$，$BF=\frac{1}{2}BD$，
又因为$AB=a$，$CD=b$，$AC+BD=AB-CD=a-b$，
所以$EF=AB-AE-BF$
$=AB-\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BD$
$=AB-\frac{1}{2}(AC+BD)$
$=a-\frac{1}{2}(a-b)$
$=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}(a+b)$，
即EF为定值，长度不随CD的运动发生变化。
【答案】
(1) $\boldsymbol{11\ \mathrm{cm}}$；
(2) 线段EF的长度不发生变化，长度为$\boldsymbol{\frac{1}{2}(a+b)}$
【知识点】
线段中点的定义、线段的和差运算、整式的化简
【点评】
本题是线段双中点模型的典型考题，第一问侧重基础计算，第二问侧重动态定值探究，解题核心是牢牢抓住线段中点的性质，灵活转化线段之间的和差关系，将未知线段用已知的定值线段表示，即可顺利求解。
【难度系数】
0.65