1.如图，$∠ AOC=130°$，$∠ BOC=50°$，且$OD$平分$∠ AOB$，$OE$平分$∠ BOC$.

(1)求$∠ DOE$的度数.
(2)若将条件“$∠ BOC=50°$”删去，其余条件不变，则$∠ DOE$的度数是否会改变？请说明理由.

【拓展设问】若$OB$在$∠ AOC$的外部，其他条件不变，则$∠ BOE=$.

1.解：(1)$\because ∠AOC=130°,∠BOC=50°,$
$\therefore ∠AOB=∠AOC-∠BOC=130°-50°=80°.$
$\because OD$平分$∠AOB,\therefore ∠DOB=80°÷2=40°.$
$\because OE$平分$∠BOC,\therefore ∠BOE=50°÷2=25°.$
$\therefore ∠DOE=∠DOB+∠BOE=40°+25°=65°.$
(2)不会变.理由如下:$\because OD$平分$∠AOB,OE$平分$∠BOC,$
$\therefore ∠DOB=\frac{1}{2}∠AOB,∠BOE=\frac{1}{2}∠BOC.$
$\because ∠AOB+∠BOC=∠AOC,$
$\therefore ∠DOE=∠DOB+∠BOE=\frac{1}{2}∠AOC=65°.$
【拓展设问】$65°$

【分析】
(1) 第一问先利用已知的∠AOC和∠BOC的度数，通过角的和差关系求出∠AOB的度数，再结合角平分线的定义分别求出∠DOB和∠BOE的度数，最后将两个角相加即可得到∠DOE的度数。
(2) 第二问无需代入具体角度，直接根据角平分线的定义，把∠DOB和∠BOE分别用∠AOB、∠BOC的二分之一表示，再结合∠AOB与∠BOC的和等于∠AOC，推导得出∠DOE与∠AOC的固定数量关系，即可判断角度是否发生变化。
拓展设问可沿用双角平分线的推导逻辑，即使OB在∠AOC外部，仍可通过角平分线定义和角的和差关系推导得到对应角度。
【解析】
(1) $\because ∠AOC=130°,∠BOC=50°,$
$\therefore ∠AOB=∠AOC-∠BOC=130°-50°=80°.$
$\because OD$平分$∠AOB,\therefore ∠DOB=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×80°=40°.$
$\because OE$平分$∠BOC,\therefore ∠BOE=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×50°=25°.$
$\therefore ∠DOE=∠DOB+∠BOE=40°+25°=65°.$
(2) $∠DOE$的度数不会改变，理由如下:
$\because OD$平分$∠AOB,OE$平分$∠BOC,$
$\therefore ∠DOB=\frac{1}{2}∠AOB,∠BOE=\frac{1}{2}∠BOC.$
$\because ∠AOB+∠BOC=∠AOC,$
$\therefore ∠DOE=∠DOB+∠BOE=\frac{1}{2}(∠AOB+∠BOC)=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×130°=65°.$
【拓展设问】当OB在$∠AOC$外部时，同理可得$∠DOE=\frac{1}{2}|∠AOB - ∠BOC|=\frac{1}{2}∠AOC=65°$。
【答案】
(1) $65°$；(2) 不会改变，理由见解析；【拓展设问】$65°$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义
【点评】
本题是角计算中经典的双角平分线模型问题，既考查了基础的角运算和角平分线性质的应用，也培养了从特殊数值到一般规律的推导思维，掌握该模型可以快速解决同类型角度计算问题。
【难度系数】
0.7

2. 新考法 如图，已知$∠ BOC=2∠ AOB$，OD平分$∠ AOC$，OE平分$∠ AOB$。
(1)请你利用直尺和量角器，根据题意在现有图形中补全图形；
(2)当$∠ DOE=30°$时，求$∠ BOC$的度数。

2.解：(1)补全图形如图①②，即。
(2)当OC与OB在OA同侧时,如图①所示,因为$∠BOC=2∠AOB$,所以$∠AOC=∠AOB+∠BOC=3∠AOB.$
因为OD平分$∠AOC$,OE平分$∠AOB$,
所以$∠AOD=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{3}{2}∠AOB,∠AOE=\frac{1}{2}∠AOB,$
所以$∠DOE=∠AOD-∠AOE=\frac{3}{2}∠AOB-\frac{1}{2}∠AOB=∠AOB.$因为$∠DOE=30°$,所以$∠AOB=30°,$
所以$∠BOC=2∠AOB=60°;$
当OC与OB在OA异侧时,如图②所示,
因为$∠BOC=2∠AOB$,
所以$∠AOC=∠BOC-∠AOB=∠AOB.$
因为OD平分$∠AOC$,OE平分$∠AOB$,
所以$∠AOD=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}∠AOB,∠AOE=\frac{1}{2}∠AOB,$
所以$∠DOE=∠AOD+∠AOE=\frac{1}{2}∠AOB+\frac{1}{2}∠AOB=∠AOB.$因为$∠DOE=30°$,所以$∠AOB=30°,$
所以$∠BOC=2∠AOB=60°.$
综上所述,$∠BOC$的度数为$60°.$

【分析】
(1) 补全图形需考虑OC的两种位置：OC与OB在OA同侧、OC与OB在OA异侧，再结合OD平分∠AOC、OE平分∠AOB的要求画出两条角平分线即可。
(2) 求解∠BOC需分类讨论两种位置情况：首先根据∠BOC和∠AOB的倍数关系表示出∠AOC；再利用角平分线的性质分别表示出∠AOD和∠AOE；接着通过角的和差关系推导∠DOE和∠AOB的等量关系，结合已知∠DOE=30°求出∠AOB，最后代入∠BOC=2∠AOB计算结果，汇总两种情况的结论即可。
【解析】
(1) 补全图形分两种位置情况，如下：

(2) 分两种情况计算：
① 当OC与OB在OA同侧时，如图①：
已知$∠BOC=2∠AOB$，因此$∠AOC=∠AOB+∠BOC=3∠AOB$。
因为OD平分$∠AOC$，OE平分$∠AOB$，
所以$∠AOD=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{3}{2}∠AOB$，$∠AOE=\frac{1}{2}∠AOB$，
因此$∠DOE=∠AOD-∠AOE=\frac{3}{2}∠AOB-\frac{1}{2}∠AOB=∠AOB$。
又因为$∠DOE=30°$，所以$∠AOB=30°$，
则$∠BOC=2∠AOB=2×30°=60°$。
② 当OC与OB在OA异侧时，如图②：
已知$∠BOC=2∠AOB$，因此$∠AOC=∠BOC-∠AOB=∠AOB$。
因为OD平分$∠AOC$，OE平分$∠AOB$，
所以$∠AOD=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}∠AOB$，$∠AOE=\frac{1}{2}∠AOB$，
因此$∠DOE=∠AOD+∠AOE=\frac{1}{2}∠AOB+\frac{1}{2}∠AOB=∠AOB$。
又因为$∠DOE=30°$，所以$∠AOB=30°$，
则$∠BOC=2∠AOB=2×30°=60°$。
综上可得$∠BOC$的度数为$60°$。
【答案】
(1) 补全图形为；
(2) $\boldsymbol{60°}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是角计算的典型题型，将动手画图和逻辑运算相结合，重点考查角平分线的性质，解题时需注意OC位置的两种可能性，避免漏解，能有效训练分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6