11.如图，光线照到平面镜AB上发生反射，已知$∠ AOC = 90°$，$∠ DOC = ∠ COE$，下列判断不一定正确的是()


A.$∠ AOD = ∠ BOE$
B.$∠ DOC + ∠ BOE = 90°$
C.$∠ AOE = ∠ BOD$
D.$∠ DOC + ∠ COE = 90°$

11.D

【分析】
解题首先从已知条件入手：首先平角∠AOB为180°，结合∠AOC=90°可推出∠BOC也为90°，得到两组互余的角；再结合已知∠DOC=∠COE，利用余角的性质（等角的余角相等）以及角的和差关系，逐个验证四个选项是否一定成立，最终选出不一定正确的选项即可。
【解析】
解：
∵ ∠AOB是平角，
∴ ∠AOB=180°，
又
∵ ∠AOC=90°，
∴ ∠BOC=180°-∠AOC=90°，
可得：∠AOD + ∠DOC = 90° ①，∠COE + ∠BOE = 90° ②，
已知∠DOC=∠COE。
对选项逐一分析：
A：因为∠DOC=∠COE，根据等角的余角相等，可得∠AOD=∠BOE，该选项一定正确；
B：由②得∠COE+∠BOE=90°，将∠COE替换为相等的∠DOC，可得∠DOC + ∠BOE=90°，该选项一定正确；
C：∠AOE=∠AOC + ∠COE=90°+∠COE，∠BOD=∠BOC + ∠DOC=90°+∠DOC，因为∠DOC=∠COE，所以∠AOE=∠BOD，该选项一定正确；
D：∠DOC+∠COE=2∠DOC，只有当∠DOC=45°时和为90°，题目没有给出该条件，因此该式不一定成立。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平角的定义，余角的性质，角的和差计算
【点评】
本题结合光线反射的情境，考查角的相关运算和性质，解题时要注意审题，明确题目要求选择“不一定正确”的选项，避免因粗心误选一定正确的选项。
【难度系数】
0.7

12. [2026合肥期末]若$∠α$和$∠β$互补，且$∠α＞∠β$，有下列式子：①$90° - ∠β$；②$∠α - 90°$；③$\frac{1}{2}(∠α + ∠β)$；④$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$，其中可以表示$∠β$的余角的有.(填序号)

12.①②④

【分析】
解题首先要明确余角和补角的核心定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角；若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。题中已知∠α和∠β互补，可得∠α+∠β=180°，∠β的余角固定为90°-∠β，接下来只需将四个式子分别利用∠α+∠β=180°进行化简，判断化简结果是否等于90°-∠β，即可选出正确的序号。
【解析】
由题意可知，∠α和∠β互补，因此$∠α + ∠β = 180°$，$∠β$的余角为$90° - ∠β$，我们逐个验证四个式子：
① $90° - ∠β$：直接符合$∠β$余角的定义，符合要求；
② 将$∠α = 180° - ∠β$代入$∠α - 90°$，得：
$∠α - 90° = 180° - ∠β - 90° = 90° - ∠β$，等于$∠β$的余角，符合要求；
③ $\frac{1}{2}(∠α + ∠β) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，是直角，不是$∠β$的余角，不符合要求；
④ 将$∠α = 180° - ∠β$代入$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$，得：
$\frac{1}{2}(∠α - ∠β) = \frac{1}{2}(180° - ∠β - ∠β) = \frac{1}{2}(180° - 2∠β) = 90° - ∠β$，等于$∠β$的余角，符合要求。
综上，可以表示$∠β$的余角的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
余角的定义，补角的定义，角度运算
【点评】
本题是余角、补角基础概念的综合应用题，解题关键是利用两角互补的关系对表达式进行等量代换化简，再和余角的标准形式对比判断，掌握基本定义是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.7

13. 新题型 数学课上，老师在黑板上写下题目：如图，O是直线AB上的一点，∠BOD=23°，OD，OE分别是∠BOC，∠AOC的平分线。下面是四个小组提出的问题，请你帮忙解答。
(1)图中与∠COD互余的角有；
(2)图中与∠COD互补的角有；
(3)图中所有互余的角共有对，互补的角共有对；
(4)求∠AOE的度数。

13.解：(1)$∠AOE,∠COE$ (2)$∠AOD$ (3)4;5
(4)因为$∠BOD=23°$,OD是$∠BOC$的平分线，
所以$∠BOC=2∠BOD=46°$.
因为O是直线AB上的一点,所以$∠AOC+∠BOC=180°$.
所以$∠AOC=180°-∠BOC=134°$.
因为OE是$∠AOC$的平分线,所以$∠AOE=\frac{1}{2}∠AOC=67°$.

【分析】
解题前先明确两个核心概念：①两个角的和为90°则互余，和为180°则互补；②角平分线会把一个角分成两个相等的角。首先根据题意，O在直线AB上，因此∠AOB是平角，大小为180°，OD、OE分别平分∠BOC、∠AOC，可得∠BOD=∠COD，∠AOE=∠COE，且∠DOE=∠COD+∠COE=1/2(∠BOC+∠AOC)=90°，由此推导各角的互余、互补关系：
(1)找与∠COD互余的角，即找和∠COD相加为90°的角，结合∠COD+∠COE=90°、∠COE=∠AOE即可得到答案；
(2)找与∠COD互补的角，即找和∠COD相加为180°的角，结合∠COD=∠BOD、∠BOD+∠AOD=180°即可得到答案；
(3)数互余、互补对数时，按照角的等量关系有序枚举，避免重复遗漏；
(4)计算∠AOE时，先利用角平分线性质求∠BOC，再用平角性质求∠AOC，最后用角平分线性质计算∠AOE即可。
【解析】
(1) 因为OD平分∠BOC，所以∠COD=∠BOD；OE平分∠AOC，所以∠COE=∠AOE。
又因为O在直线AB上，∠AOB=180°，所以∠DOE=∠COD+∠COE=1/2(∠BOC+∠AOC)=90°，可得∠COD+∠COE=90°，∠COD+∠AOE=90°，即与∠COD互余的角为∠AOE、∠COE。
(2) 因为∠COD=∠BOD，且∠BOD+∠AOD=180°，所以∠COD+∠AOD=180°，即与∠COD互补的角为∠AOD。
(3) 互余的角有：①∠BOD和∠COE；②∠BOD和∠AOE；③∠COD和∠COE；④∠COD和∠AOE，共4对。
互补的角有：①∠BOD和∠AOD；②∠COD和∠AOD；③∠BOC和∠AOC；④∠AOE和∠BOE；⑤∠COE和∠BOE，共5对。
(4) 因为∠BOD=23°，OD是∠BOC的平分线，所以∠BOC=2∠BOD=46°。
因为O是直线AB上的一点，所以∠AOC+∠BOC=180°，因此∠AOC=180°-∠BOC=134°。
因为OE是∠AOC的平分线，所以∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}×134°=67°$。
【答案】
(1)$∠AOE,∠COE$ (2)$∠AOD$ (3)4;5 (4)$67°$
【知识点】
余角与补角的定义，角平分线的定义，平角的性质
【点评】
本题结合角平分线和平角的性质，考查余角、补角的识别与计算，数角的对数时要注意有序枚举，避免重复或遗漏，计算类问题要严格按照角平分线的性质逐步推导。
【难度系数】
0.7

14. 推理能力 如图，A，O，B 三点在同一条直线上，∠BOD 与∠BOC 互补.
(1)若∠AOC=30°,求∠BOD 的度数.
(2)已知 OM 平分∠AOC,若射线 ON 在∠COD 的内部,且满足∠AOC 与∠MON 互余.
①若∠AOM=α,则∠MON=;(用含α的式子表示)
②在①的结论下,试探究∠MON 与∠DON 之间的数量关系,并说明理由.

14.解：(1)因为A,O,B三点在同一条直线上，
所以$∠AOC+∠BOC=180°$,所以$∠AOC$与$∠BOC$互补.
又因为$∠BOD$与$∠BOC$互补,所以$∠BOD=∠AOC=30°$.
(2)①$90°-2α$
②$2∠DON-∠MON=90°$.理由如下：
由(1)得$∠BOD=∠AOC$,
因为$∠AOM=α$,OM平分$∠AOC$,
所以$∠BOD=∠AOC=2α$.
所以$∠DON=180°-∠AOM-∠MON-∠BOD=180°-α-(90°-2α)-2α=90°-α$,
所以$2∠DON=2(90°-α)=180°-2α$,
所以$2∠DON-∠MON=90°$.

【分析】
(1) 首先根据A、O、B三点共线可得∠AOC与∠BOC互补，结合已知∠BOD与∠BOC互补，利用“同角的补角相等”可得出∠BOD=∠AOC，代入∠AOC的度数即可求解。
(2) ①已知OM平分∠AOC，∠AOM=α，可推出∠AOC=2α；再根据∠AOC与∠MON互余（两角和为90°），即可用含α的式子表示出∠MON。
②先结合(1)的结论得∠BOD=∠AOC=2α，再根据平角为180°，通过角的和差关系求出∠DON的表达式，最后通过代数变形推导∠MON与∠DON的数量关系即可。
【解析】
(1) 因为A，O，B三点在同一条直线上，所以$∠ AOC+∠ BOC=180°$，即$∠ AOC$与$∠ BOC$互补。
又因为$∠ BOD$与$∠ BOC$互补，根据同角的补角相等，可得$∠ BOD=∠ AOC=30°$。
(2) ①因为OM平分$∠ AOC$，$∠ AOM=α$，所以$∠ AOC=2∠ AOM=2α$。
已知$∠ AOC$与$∠ MON$互余，即$∠ AOC+∠ MON=90°$，因此$∠ MON=90°-∠ AOC=90°-2α$。
②$∠ MON$与$∠ DON$的数量关系为$2∠ DON-∠ MON=90°$，理由如下：
由(1)得$∠ BOD=∠ AOC$，因为OM平分$∠ AOC$，$∠ AOM=α$，所以$∠ BOD=∠ AOC=2α$。
因为A、O、B三点共线，$∠ AOB=180°$，所以：
$∠ DON=180°-∠ AOM-∠ MON-∠ BOD=180°-α-(90°-2α)-2α=90°-α$
将上式两边乘2得：$2∠ DON=180°-2α$
又因为$∠ MON=90°-2α$，所以$2∠ DON=90°+∠ MON$，整理得$2∠ DON-∠ MON=90°$。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$
(2) ① $\boxed{90°-2α}$；② $\boxed{2∠ DON-∠ MON=90°}$
【知识点】
余角和补角的性质；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角的综合运算题，核心是利用余角、补角的性质转化角的等量关系，结合角平分线定义和平角的特征梳理各角之间的数量关系，侧重考查逻辑推理能力和代数变形能力，解题时结合图形分析角的位置关系更易理清思路。
【难度系数】
0.7