15.(★★)如图,在△ABC中,D是BC的中点.
(1)画出△ABD关于点D的对称图形△ECD;
(2)若AB=6,AD=4,AC=10,求证:∠BAD=90°
(第15题)

(1) 作图
延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，则△ECD即为所求的△ABD关于点D的对称图形。
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(2) 证明：
∵ D是BC的中点，
∴ BD=CD。
∵ △ABD与△ECD关于点D中心对称，
∴ CE=AB=6，DE=AD=4，∠BAD=∠E。
∴ AE = AD + DE = 4 + 4 = 8。
在△ACE中：
$AE^2 + CE^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$，
$AC^2 = 10^2 = 100$，
∴ $AE^2 + CE^2 = AC^2$。
由勾股定理的逆定理可知，△ACE是直角三角形，且$∠ E = 90°$。
∴ $∠ BAD = ∠ E = 90°$。

【分析】
(1) 作关于点D的中心对称图形，依据中心对称的性质：对称点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。已知D是BC中点，因此点B的对称点是点C；再找A的对称点：延长AD到E，使DE=AD，得到A的对称点E，连接EC即可得到所求图形。
(2) 要证∠BAD=90°，直接在△ABD中无法推导，可借助中心对称的性质转化：通过中心对称将∠BAD转化为∠E，同时把AB转化为CE，AD转化为DE，求出AE长度后，观察△ACE的三边长，用勾股定理的逆定理证明△ACE是直角三角形且∠E=90°，再通过等量代换得到∠BAD=90°。
【解析】
(1) 作图：延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，则△ECD即为△ABD关于点D的对称图形。
(2) 证明：
∵ D是BC的中点，
∴ BD=CD。
∵ △ABD与△ECD关于点D中心对称，
∴ CE=AB=6，DE=AD=4，∠BAD=∠E。
∴ AE = AD + DE = 4 + 4 = 8。
在△ACE中：
$AE^2 + CE^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$，
$AC^2 = 10^2 = 100$，
∴ $AE^2 + CE^2 = AC^2$。
由勾股定理的逆定理可知，△ACE是直角三角形，且$∠E = 90°$。
∴ $∠BAD = ∠E = 90°$。
【答案】
(1) 延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，则△ECD即为所求的△ABD关于点D的对称图形。
(2) 可证得∠BAD=90°，证明过程如上。
【知识点】
中心对称的性质及作图，勾股定理的逆定理，中点的性质
【点评】
本题结合了中心对称的作图、性质应用和勾股定理逆定理的考查，解题核心是利用中心对称实现边和角的转化，把分散的条件集中到同一个三角形中，是几何转化思想的典型应用，能有效锻炼学生的作图能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7

16. (★★★)如图,在等边△ABC中,O为BC的中点,AB=6,△BPQ与△BAO关于点B对称,连接CP,则△QCP的面积为.

$\boldsymbol{\frac{27\sqrt{3}}{2}}$

【分析】
解题时先从等边三角形的性质入手：等边三角形三线合一，可先求出BC边上的高AO的长度以及BO的长度；再根据中心对称的性质，可知△BPQ和△BAO全等，得到对应边PQ=AO、BQ=BO，且对应角∠Q=∠AOB=90°，即PQ垂直于QC；最后确定△QCP的底QC和高PQ，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=6，
∴BC=AB=6，
∵O为BC的中点，
∴$BO=OC=\frac{1}{2}BC=3$，AO⊥BC（等边三角形三线合一），
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
∵△BPQ与△BAO关于点B对称，
∴△BPQ≌△BAO，
∴$BQ=BO=3$，$PQ=AO=3\sqrt{3}$，∠Q=∠AOB=90°，即PQ⊥QC，
∴$QC=BQ+BC=3+6=9$，
∴$S_{△ QCP}=\frac{1}{2}× QC× PQ=\frac{1}{2}×9×3\sqrt{3}=\frac{27\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{27\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
等边三角形的性质，中心对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是熟练运用等边三角形和中心对称的性质，快速定位所求三角形的底和对应高，计算时注意根式的运算规则即可。
【难度系数】
0.6