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变式训练1 如图，在等边$△ ABC$中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转$60°$后得到CE，连接AE。求证：$AE// BC$。
答案
证明:$\because △ABC$是等边三角形，
$\therefore AC=BC,∠B=∠ACB=60°$。
$\because$线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 60°得到 CE，
$\therefore CD=CE,∠DCE=60°$,
$\therefore ∠DCE=∠ACB$,
$\therefore ∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE$,
即$∠BCD=∠ACE$。
在$△BCD$与$△ACE$中，
$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ DC=EC, \end{cases}$
$\therefore △BCD≌△ACE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠EAC=∠B=60°$,
$\therefore ∠EAC=∠ACB$,
$\therefore AE//BC$。
$\therefore AC=BC,∠B=∠ACB=60°$。
$\because$线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 60°得到 CE，
$\therefore CD=CE,∠DCE=60°$,
$\therefore ∠DCE=∠ACB$,
$\therefore ∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE$,
即$∠BCD=∠ACE$。
在$△BCD$与$△ACE$中，
$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ DC=EC, \end{cases}$
$\therefore △BCD≌△ACE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠EAC=∠B=60°$,
$\therefore ∠EAC=∠ACB$,
$\therefore AE//BC$。
解析
【分析】
要证明$AE// BC$，可通过证明内错角相等推导两直线平行，即证$∠ EAC=∠ ACB$。已知$△ ABC$是等边三角形，可得$∠ ACB=∠ B=60°$，因此只需证$∠ EAC=60°$即可。根据旋转的性质可得$CD=CE$、旋转角$∠ DCE=60°$，结合等边三角形$∠ ACB=60°$，可推出$∠ BCD=∠ ACE$，进而证明$△ BCD$和$△ ACE$全等，通过全等三角形对应角相等即可得到$∠ EAC=∠ B=60°$，最终完成平行的证明。
【解析】
证明:$\because △ABC$是等边三角形，
$\therefore AC=BC,∠B=∠ACB=60°$。
$\because$线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 60°得到 CE，
$\therefore CD=CE,∠DCE=60°$,
$\therefore ∠DCE=∠ACB$,
$\therefore ∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE$,
即$∠BCD=∠ACE$。
在$△BCD$与$△ACE$中，
$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ DC=EC, \end{cases}$
$\therefore △BCD≌△ACE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠EAC=∠B=60°$,
$\therefore ∠EAC=∠ACB$,
$\therefore AE//BC$。
【答案】
证明过程见上述解析，最终可证得$AE// BC$。
【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 旋转的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础证明题，融合了等边三角形、旋转、全等三角形和平行线判定的相关知识，解题核心是通过旋转和等边三角形的性质挖掘三角形全等的条件，借助全等转化角的等量关系进而证明平行，是几何中角转化类的典型题型。
【难度系数】
0.8
要证明$AE// BC$，可通过证明内错角相等推导两直线平行，即证$∠ EAC=∠ ACB$。已知$△ ABC$是等边三角形，可得$∠ ACB=∠ B=60°$，因此只需证$∠ EAC=60°$即可。根据旋转的性质可得$CD=CE$、旋转角$∠ DCE=60°$，结合等边三角形$∠ ACB=60°$，可推出$∠ BCD=∠ ACE$，进而证明$△ BCD$和$△ ACE$全等，通过全等三角形对应角相等即可得到$∠ EAC=∠ B=60°$，最终完成平行的证明。
【解析】
证明:$\because △ABC$是等边三角形，
$\therefore AC=BC,∠B=∠ACB=60°$。
$\because$线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 60°得到 CE，
$\therefore CD=CE,∠DCE=60°$,
$\therefore ∠DCE=∠ACB$,
$\therefore ∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE$,
即$∠BCD=∠ACE$。
在$△BCD$与$△ACE$中，
$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ DC=EC, \end{cases}$
$\therefore △BCD≌△ACE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠EAC=∠B=60°$,
$\therefore ∠EAC=∠ACB$,
$\therefore AE//BC$。
【答案】
证明过程见上述解析，最终可证得$AE// BC$。
【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 旋转的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础证明题，融合了等边三角形、旋转、全等三角形和平行线判定的相关知识，解题核心是通过旋转和等边三角形的性质挖掘三角形全等的条件，借助全等转化角的等量关系进而证明平行，是几何中角转化类的典型题型。
【难度系数】
0.8
例2 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为$(2,5)$，把OA绕点O逆时针旋转$90°$，那么点A旋转后所得点B的坐标是（）
A.$(-5,2)$
B.$(-5,-2)$
C.$(-2,5)$
D.$(-2,-5)$
[点拨] 抓住旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度，通过画图求解。
A.$(-5,2)$
B.$(-5,-2)$
C.$(-2,5)$
D.$(-2,-5)$
[点拨] 抓住旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度，通过画图求解。
答案
A
解析
【分析】
解题时首先明确旋转三要素：旋转中心为原点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°，结合旋转的性质可知OA=OB，∠AOB=90°。要推导点B的坐标，可通过作辅助线构造直角三角形，利用全等三角形的性质得到对应线段的长度，再结合点所在象限确定坐标符号；也可直接运用平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变化规律快速求解。
【解析】
方法一：构造全等三角形求解
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO=∠ODB=90°。
由旋转的性质得：OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOC + ∠BOD = 90°。
又
∵∠AOC + ∠OAC = 90°，
∴∠OAC = ∠BOD。
在△AOC和△OBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ACO=∠ODB \\∠OAC=∠BOD \\OA=OB\end{array} $
∴△AOC≌△OBD（AAS）。
∵点A的坐标为(2,5)，
∴OC=2，AC=5。
由全等三角形对应边相等得：OD=AC=5，BD=OC=2。
∵点B在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴点B的坐标为(-5,2)。
方法二：坐标旋转规律求解
平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后，对应点的坐标为$(-y,x)$。
将A(2,5)代入规律，得旋转后点B的坐标为$(-5,2)$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系中的基础旋转题，解题核心是利用旋转的性质建立已知点和未知点坐标的关联，既可以通过构造全等的方法推导，也可以熟记旋转坐标规律提高解题速度。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确旋转三要素：旋转中心为原点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°，结合旋转的性质可知OA=OB，∠AOB=90°。要推导点B的坐标，可通过作辅助线构造直角三角形，利用全等三角形的性质得到对应线段的长度，再结合点所在象限确定坐标符号；也可直接运用平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变化规律快速求解。
【解析】
方法一：构造全等三角形求解
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO=∠ODB=90°。
由旋转的性质得：OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOC + ∠BOD = 90°。
又
∵∠AOC + ∠OAC = 90°，
∴∠OAC = ∠BOD。
在△AOC和△OBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ACO=∠ODB \\∠OAC=∠BOD \\OA=OB\end{array} $
∴△AOC≌△OBD（AAS）。
∵点A的坐标为(2,5)，
∴OC=2，AC=5。
由全等三角形对应边相等得：OD=AC=5，BD=OC=2。
∵点B在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴点B的坐标为(-5,2)。
方法二：坐标旋转规律求解
平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后，对应点的坐标为$(-y,x)$。
将A(2,5)代入规律，得旋转后点B的坐标为$(-5,2)$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系中的基础旋转题，解题核心是利用旋转的性质建立已知点和未知点坐标的关联，既可以通过构造全等的方法推导，也可以熟记旋转坐标规律提高解题速度。
【难度系数】
0.8
|变式训练2| 如图,在等腰直角三角形OAB中,以点O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,且$OA=OB=4$。将$△ OAB$绕原点O顺时针旋转$45°$得到$△ OA'B'$,则点B的对应点$B'$的坐标为 (
A.$(-\dfrac{3}{2}, -\dfrac{3}{2})$
B.$(-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$
C.$(-2\sqrt{2}, -\sqrt{2})$
D.$(-2, -\dfrac{\sqrt{2}}{2})$
B
)A.$(-\dfrac{3}{2}, -\dfrac{3}{2})$
B.$(-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$
C.$(-2\sqrt{2}, -\sqrt{2})$
D.$(-2, -\dfrac{\sqrt{2}}{2})$
答案
B
解析
【分析】
解题时先结合旋转的性质确定对应线段的长度，再根据旋转角度判断出旋转后对应线段的位置，最后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算点的坐标即可。具体思路：①旋转不改变图形的边长，所以OB'=OB=4；②原OB在y轴负半轴，顺时针旋转45°后OB'落在第三象限角平分线上，该位置的点横纵坐标绝对值相等且均为负数；③构造直角三角形用勾股定理求出横纵坐标的长度，就能得到B'的坐标。
【解析】
1. 根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等，可得$OB'=OB=4$。
2. 原线段OB与y轴负半轴重合，将$△ OAB$绕原点O顺时针旋转$45°$后，OB'与y轴负半轴的夹角为$45°$，因此OB'位于第三象限的角平分线上，即点$B'$的横坐标和纵坐标的绝对值相等，且均为负数。
3. 过点$B'$作$B'C⊥ x$轴于点C，得到$Rt△ OB'C$，其中$∠ B'OC=45°$，故$△ OB'C$是等腰直角三角形，$OC=B'C$。
设$OC=B'C=a$，根据勾股定理可得：$OC^2+B'C^2=OB'^2$，代入数值得$a^2+a^2=4^2$，即$2a^2=16$，解得$a=2\sqrt{2}$（长度为正，舍去负解）。
因为点$B'$在第三象限，所以横坐标为$-2\sqrt{2}$，纵坐标为$-2\sqrt{2}$，即$B'(-2\sqrt{2},-2\sqrt{2})$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何变换类的基础题型，核心考查旋转的性质和平面直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是准确判断旋转后对应线段所在的位置，结合等腰直角三角形的性质计算坐标。
【难度系数】
0.7
解题时先结合旋转的性质确定对应线段的长度，再根据旋转角度判断出旋转后对应线段的位置，最后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算点的坐标即可。具体思路：①旋转不改变图形的边长，所以OB'=OB=4；②原OB在y轴负半轴，顺时针旋转45°后OB'落在第三象限角平分线上，该位置的点横纵坐标绝对值相等且均为负数；③构造直角三角形用勾股定理求出横纵坐标的长度，就能得到B'的坐标。
【解析】
1. 根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等，可得$OB'=OB=4$。
2. 原线段OB与y轴负半轴重合，将$△ OAB$绕原点O顺时针旋转$45°$后，OB'与y轴负半轴的夹角为$45°$，因此OB'位于第三象限的角平分线上，即点$B'$的横坐标和纵坐标的绝对值相等，且均为负数。
3. 过点$B'$作$B'C⊥ x$轴于点C，得到$Rt△ OB'C$，其中$∠ B'OC=45°$，故$△ OB'C$是等腰直角三角形，$OC=B'C$。
设$OC=B'C=a$，根据勾股定理可得：$OC^2+B'C^2=OB'^2$，代入数值得$a^2+a^2=4^2$，即$2a^2=16$，解得$a=2\sqrt{2}$（长度为正，舍去负解）。
因为点$B'$在第三象限，所以横坐标为$-2\sqrt{2}$，纵坐标为$-2\sqrt{2}$，即$B'(-2\sqrt{2},-2\sqrt{2})$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何变换类的基础题型，核心考查旋转的性质和平面直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是准确判断旋转后对应线段所在的位置，结合等腰直角三角形的性质计算坐标。
【难度系数】
0.7
