登录
8. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD和BC于点E，F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为
3
。答案
8. 3
解析
【分析】
解题时先从矩形的性质入手：矩形是中心对称图形，对角线交点O是对称中心，过O的直线EF与AD、BC相交形成的△AOE和△COF全等，面积相等，因此可通过割补法将零散的阴影部分面积转化为规则图形的面积，即等于矩形面积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：已知矩形ABCD中，AB=2，BC=3，
则矩形ABCD的面积为 $ S_{矩形ABCD}=AB× BC=2×3=6 $。
∵ 矩形是中心对称图形，对角线AC、BD的交点O是对称中心，
∴ $ △ AOE ≌ △ COF $（ASA判定：$ ∠ OAE=∠ OCF $，$ OA=OC $，$ ∠ AOE=∠ COF $），
∴ $ S_{△ AOE}=S_{△ COF} $，
通过割补可得，阴影部分的面积等于矩形面积的一半，即：
$ S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}×6=3 $。
【答案】
3
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定与性质，割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积求解的典型题，利用矩形的中心对称性将零散的阴影面积转化为规则的矩形面积的一半，大大简化了计算过程，体现了转化思想在几何面积计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先从矩形的性质入手：矩形是中心对称图形，对角线交点O是对称中心，过O的直线EF与AD、BC相交形成的△AOE和△COF全等，面积相等，因此可通过割补法将零散的阴影部分面积转化为规则图形的面积，即等于矩形面积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：已知矩形ABCD中，AB=2，BC=3，
则矩形ABCD的面积为 $ S_{矩形ABCD}=AB× BC=2×3=6 $。
∵ 矩形是中心对称图形，对角线AC、BD的交点O是对称中心，
∴ $ △ AOE ≌ △ COF $（ASA判定：$ ∠ OAE=∠ OCF $，$ OA=OC $，$ ∠ AOE=∠ COF $），
∴ $ S_{△ AOE}=S_{△ COF} $，
通过割补可得，阴影部分的面积等于矩形面积的一半，即：
$ S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}×6=3 $。
【答案】
3
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定与性质，割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积求解的典型题，利用矩形的中心对称性将零散的阴影面积转化为规则的矩形面积的一半，大大简化了计算过程，体现了转化思想在几何面积计算中的应用。
【难度系数】
0.7
9. 如图，图①，图②均是$6×6$的正方形网格，每个小正方形边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A，C在格点上.在给定的网格中按要求作图，所有图形的顶点均在格点上.
（1）在图①中作出以AC为腰的等腰$△ ABC$，使三边长均为无理数，此时$△ ABC$的面积为
（2）在图②中作出以AC为边的四边形ACDE，使四边形为中心对称图形，且面积为8.
（1）在图①中作出以AC为腰的等腰$△ ABC$，使三边长均为无理数，此时$△ ABC$的面积为
6或10
；（2）在图②中作出以AC为边的四边形ACDE，使四边形为中心对称图形，且面积为8.
答案
9. 解（1）如图①，$△ ABC$ 或 $△ ABC$ 即为所求. 6或10
（2）如图②，四边形 ACDE 即为所求.
解析
【分析】
（1）先利用勾股定理计算AC的长度，明确要求是以AC为腰的等腰三角形，分AB=AC、BC=AC两种情况找点B，同时要保证三角形三边均为无理数，最后用割补法计算三角形面积即可。
（2）中心对称的四边形常见为平行四边形，平行四边形是中心对称图形，因此构造以AC为边的平行四边形，结合面积为8的要求，在格点上找到剩余两个顶点即可。
【解析】
（1）设每个小正方形边长为1，由网格可知点A到点C的水平距离为3，竖直距离为5，由勾股定理得$AC=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$，为无理数。
分两种情况作图：
① 取格点B使$AB=AC=\sqrt{34}$，且BC长为无理数，此时用割补法计算$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=5× 6 - \frac{1}{2}×3×5 - \frac{1}{2}×3×5 - \frac{1}{2}×2×2=6$；
② 取格点B使$BC=AC=\sqrt{34}$，且AB长为无理数，同理用割补法计算得$S_{△ ABC}=10$，两种情况均符合要求。
（2）平行四边形为中心对称图形，构造平行四边形ACDE：取格点E在点A右侧2格处，格点D在点C右侧2格处，此时$AE// CD$且$AE=CD$，四边形ACDE为平行四边形，其面积为$2×4=8$，满足要求，所有顶点均在格点上。
【答案】
（1），6或10
（2）
【知识点】
等腰三角形判定，勾股定理，中心对称图形性质
【点评】
本题属于网格作图类题目，综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用、中心对称图形的特点以及割补法求图形面积，需要结合图形特点和题目限制条件找点，有利于提升数形结合能力和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
（1）先利用勾股定理计算AC的长度，明确要求是以AC为腰的等腰三角形，分AB=AC、BC=AC两种情况找点B，同时要保证三角形三边均为无理数，最后用割补法计算三角形面积即可。
（2）中心对称的四边形常见为平行四边形，平行四边形是中心对称图形，因此构造以AC为边的平行四边形，结合面积为8的要求，在格点上找到剩余两个顶点即可。
【解析】
（1）设每个小正方形边长为1，由网格可知点A到点C的水平距离为3，竖直距离为5，由勾股定理得$AC=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$，为无理数。
分两种情况作图：
① 取格点B使$AB=AC=\sqrt{34}$，且BC长为无理数，此时用割补法计算$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=5× 6 - \frac{1}{2}×3×5 - \frac{1}{2}×3×5 - \frac{1}{2}×2×2=6$；
② 取格点B使$BC=AC=\sqrt{34}$，且AB长为无理数，同理用割补法计算得$S_{△ ABC}=10$，两种情况均符合要求。
（2）平行四边形为中心对称图形，构造平行四边形ACDE：取格点E在点A右侧2格处，格点D在点C右侧2格处，此时$AE// CD$且$AE=CD$，四边形ACDE为平行四边形，其面积为$2×4=8$，满足要求，所有顶点均在格点上。
【答案】
（1）
，6或10（2）
【知识点】
等腰三角形判定，勾股定理，中心对称图形性质
【点评】
本题属于网格作图类题目，综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用、中心对称图形的特点以及割补法求图形面积，需要结合图形特点和题目限制条件找点，有利于提升数形结合能力和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图①中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题。
（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是
（2）请在图②中设计出一个面积为4，且具备（1）中特征的图案，要求所画图案不能与图①中所给出的图案相同。
（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是
中心
对称图形，都不是轴
对称图形；（2）请在图②中设计出一个面积为4，且具备（1）中特征的图案，要求所画图案不能与图①中所给出的图案相同。
答案
10. 解（1）中心 轴
（2）如图所示.（答案不唯一）
解析
【分析】
解决第（1）问时，先回忆两类对称图形的定义：中心对称图形是绕某一点旋转180°后能与自身重合的图形，轴对称图形是沿某条直线折叠后，直线两侧部分能完全重合的图形。随后对图①的三个图案逐一验证：绕网格中心旋转180°，三个图案都能和原图案重合，说明是中心对称图形；尝试沿任意直线折叠，三个图案两侧都无法完全重合，说明不是轴对称图形。
解决第（2）问时，需满足三个要求：①阴影总面积为4（每个小正方形面积为1，可组合正方形、三角形等图形凑出总面积4）；②是中心对称图形，不是轴对称图形；③和图①已有图案不重复。设计时先保证旋转180°能重合，再确认无对称轴，同时核对面积即可。
【解析】
（1）根据定义判断：
将三个图案分别绕各自网格的中心旋转180°，旋转后的图形均能与原图形重合，因此都是中心对称图形；
沿任意直线折叠三个图案，直线两旁的部分都无法完全重合，因此都不是轴对称图形。
（2）设计时先确定阴影部分总面积为4，再调整图形形状，保证图形绕网格中心旋转180°与自身重合，且不存在对称轴即可，示例如下：
【答案】
（1）中心；轴
（2）（答案不唯一）
【知识点】
中心对称图形，轴对称图形，图案设计
【点评】
本题考查两类对称图形的概念辨析，以及动手作图能力，解题核心是准确掌握中心对称、轴对称图形的特征，作图时满足全部题干要求即可。
【难度系数】
0.7
解决第（1）问时，先回忆两类对称图形的定义：中心对称图形是绕某一点旋转180°后能与自身重合的图形，轴对称图形是沿某条直线折叠后，直线两侧部分能完全重合的图形。随后对图①的三个图案逐一验证：绕网格中心旋转180°，三个图案都能和原图案重合，说明是中心对称图形；尝试沿任意直线折叠，三个图案两侧都无法完全重合，说明不是轴对称图形。
解决第（2）问时，需满足三个要求：①阴影总面积为4（每个小正方形面积为1，可组合正方形、三角形等图形凑出总面积4）；②是中心对称图形，不是轴对称图形；③和图①已有图案不重复。设计时先保证旋转180°能重合，再确认无对称轴，同时核对面积即可。
【解析】
（1）根据定义判断：
将三个图案分别绕各自网格的中心旋转180°，旋转后的图形均能与原图形重合，因此都是中心对称图形；
沿任意直线折叠三个图案，直线两旁的部分都无法完全重合，因此都不是轴对称图形。
（2）设计时先确定阴影部分总面积为4，再调整图形形状，保证图形绕网格中心旋转180°与自身重合，且不存在对称轴即可，示例如下：
【答案】
（1）中心；轴
（2）
（答案不唯一）【知识点】
中心对称图形，轴对称图形，图案设计
【点评】
本题考查两类对称图形的概念辨析，以及动手作图能力，解题核心是准确掌握中心对称、轴对称图形的特征，作图时满足全部题干要求即可。
【难度系数】
0.7
11. 阅读材料：对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图所示.
尝试应用：将下图分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）.
尝试应用：将下图分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）.
答案
11. 解 如图所示.
解析
【分析】
首先观察待分割的组合图形，它是由平行四边形和圆两个中心对称图形组合而成的。结合题干给出的结论：过中心对称图形对称中心的任意直线都可平分该图形面积，我们只需要分别找到两个图形的对称中心，过这两个中心作直线，就能同时平分平行四边形和圆的面积，进而将整个组合图形的面积分成相等的两部分。
【解析】
1. 连接平行四边形的两条对角线，两条对角线的交点即为平行四边形的对称中心；
2. 确定圆的圆心，也就是圆的对称中心；
3. 过上述两个对称中心作直线，该直线即可将整个图形分为面积相等的两部分，按要求保留作图痕迹即可。
【答案】
【知识点】
中心对称图形的性质；平行四边形的对称性；圆的对称性
【点评】
本题属于材料应用型题目，重点考查对新知识的理解和迁移运用能力，解题的关键是读懂题干给出的中心对称图形的面积平分性质，找准组合图形各部分的对称中心连线即可，解题思路灵活但难度不高。
【难度系数】
0.8
首先观察待分割的组合图形，它是由平行四边形和圆两个中心对称图形组合而成的。结合题干给出的结论：过中心对称图形对称中心的任意直线都可平分该图形面积，我们只需要分别找到两个图形的对称中心，过这两个中心作直线，就能同时平分平行四边形和圆的面积，进而将整个组合图形的面积分成相等的两部分。
【解析】
1. 连接平行四边形的两条对角线，两条对角线的交点即为平行四边形的对称中心；
2. 确定圆的圆心，也就是圆的对称中心；
3. 过上述两个对称中心作直线，该直线即可将整个图形分为面积相等的两部分，按要求保留作图痕迹即可。
【答案】
【知识点】
中心对称图形的性质；平行四边形的对称性；圆的对称性
【点评】
本题属于材料应用型题目，重点考查对新知识的理解和迁移运用能力，解题的关键是读懂题干给出的中心对称图形的面积平分性质，找准组合图形各部分的对称中心连线即可，解题思路灵活但难度不高。
【难度系数】
0.8
