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活动1 纸条平结
如图1，用一条宽度相等的纸条打好一个结，再拉紧压平，沿中间五边形的边缘剪开，得到五边形ABCDE，图2为其示意图。已知各边相等、各角相等的五边形是正五边形，你能证明五边形ABCDE是正五边形吗？
如图1，用一条宽度相等的纸条打好一个结，再拉紧压平，沿中间五边形的边缘剪开，得到五边形ABCDE，图2为其示意图。已知各边相等、各角相等的五边形是正五边形，你能证明五边形ABCDE是正五边形吗？
答案
证明：如图，连接EC，过点O作OM⊥AB，ON⊥BC。
∵纸条宽度相等，
∴OM=ON，AD//BC，AB//CE。
∴四边形AOCB为平行四边形。
由平行四边形的面积公式，得AB·OM=BC·ON，
∴AB=BC。
同理可证BC=CD=DE=AE，
∴AB=BC=CD=DE=AE。
在等腰梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA，
在等腰三角形EAD中，∠EAD=∠EDA，
∴∠BAE=∠CDE。
同理可得五边形ABCDE的五个角相等，
∴五边形ABCDE为正五边形。
配图：
解析
【分析】
要证明五边形ABCDE是正五边形，需同时满足两个判定条件：①五条边长度全部相等；②五个内角全部相等。结合题目中纸条宽度相等的已知条件，可先利用纸条对边平行、宽度即高相等的特点，构造平行四边形，通过面积法推导各边相等；再借助等腰梯形、等腰三角形的内角性质，推导各内角相等，逐步完成证明。
【解析】
证明：如图，连接EC，过点O作OM⊥AB，ON⊥BC。
∵纸条宽度相等，
∴OM=ON，AD//BC，AB//CE。
∴四边形AOCB为平行四边形。
由平行四边形的面积公式，得$AB· OM=BC· ON$，
∴AB=BC。
同理可证BC=CD=DE=AE，
∴AB=BC=CD=DE=AE。
在等腰梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA，
在等腰三角形EAD中，∠EAD=∠EDA，
∴∠BAE=∠CDE。
同理可得五边形ABCDE的五个角相等，
∴五边形ABCDE为正五边形。
【答案】
证明：如图，连接EC，过点O作OM⊥AB，ON⊥BC。
∵纸条宽度相等，
∴OM=ON，AD//BC，AB//CE。
∴四边形AOCB为平行四边形。
由平行四边形的面积公式，得$AB· OM=BC· ON$，
∴AB=BC。
同理可证BC=CD=DE=AE，
∴AB=BC=CD=DE=AE。
在等腰梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA，
在等腰三角形EAD中，∠EAD=∠EDA，
∴∠BAE=∠CDE。
同理可得五边形ABCDE的五个角相等，
∴五边形ABCDE为正五边形。
【知识点】
正五边形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题结合生活中纸条打结的实际场景考查正五边形的判定，解题的核心是挖掘出纸条对边平行、宽度相等的隐含条件，通过面积法先证边相等，再利用特殊几何图形的内角性质证角相等，能够锻炼学生将生活实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.6
要证明五边形ABCDE是正五边形，需同时满足两个判定条件：①五条边长度全部相等；②五个内角全部相等。结合题目中纸条宽度相等的已知条件，可先利用纸条对边平行、宽度即高相等的特点，构造平行四边形，通过面积法推导各边相等；再借助等腰梯形、等腰三角形的内角性质，推导各内角相等，逐步完成证明。
【解析】
证明：如图，连接EC，过点O作OM⊥AB，ON⊥BC。
∵纸条宽度相等，
∴OM=ON，AD//BC，AB//CE。
∴四边形AOCB为平行四边形。
由平行四边形的面积公式，得$AB· OM=BC· ON$，
∴AB=BC。
同理可证BC=CD=DE=AE，
∴AB=BC=CD=DE=AE。
在等腰梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA，
在等腰三角形EAD中，∠EAD=∠EDA，
∴∠BAE=∠CDE。
同理可得五边形ABCDE的五个角相等，
∴五边形ABCDE为正五边形。
【答案】
证明：如图，连接EC，过点O作OM⊥AB，ON⊥BC。
∵纸条宽度相等，
∴OM=ON，AD//BC，AB//CE。
∴四边形AOCB为平行四边形。
由平行四边形的面积公式，得$AB· OM=BC· ON$，
∴AB=BC。
同理可证BC=CD=DE=AE，
∴AB=BC=CD=DE=AE。
在等腰梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA，
在等腰三角形EAD中，∠EAD=∠EDA，
∴∠BAE=∠CDE。
同理可得五边形ABCDE的五个角相等，
∴五边形ABCDE为正五边形。
【知识点】
正五边形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题结合生活中纸条打结的实际场景考查正五边形的判定，解题的核心是挖掘出纸条对边平行、宽度相等的隐含条件，通过面积法先证边相等，再利用特殊几何图形的内角性质证角相等，能够锻炼学生将生活实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.6
活动2 利用等分圆周设计图案
在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：
(1)从带刻度的三角尺、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；
(2)设计的整个图案是某种对称图形。
王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告。
| 名称 | μlticolumn{3}{c}{四等分圆的面积} |
| --- | --- | --- | --- |
| 方案 | 方案一 | 方案二 | 方案三 |
| 选用的工具 | 带刻度的三角尺 | | |
| 画出示意图 |
| | |
| 简述设计方案 | 作$\odot O$两条互相垂直的直径AB，CD，将$\odot O$的面积分成相等的四份 | | |
| 指出对称性 | 既是轴对称图形又是中心对称图形 | | |
在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：
(1)从带刻度的三角尺、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；
(2)设计的整个图案是某种对称图形。
王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告。
| 名称 | μlticolumn{3}{c}{四等分圆的面积} |
| --- | --- | --- | --- |
| 方案 | 方案一 | 方案二 | 方案三 |
| 选用的工具 | 带刻度的三角尺 | | |
| 画出示意图 |
| | || 简述设计方案 | 作$\odot O$两条互相垂直的直径AB，CD，将$\odot O$的面积分成相等的四份 | | |
| 指出对称性 | 既是轴对称图形又是中心对称图形 | | |
答案
解：
| | 方案二 | 方案三 |
| --- | --- | --- |
| 选用的工具 | 量角器、圆规 | 带刻度的三角尺、圆规 |
| 简述设计方案 | 用量角器将⊙O的周角四等分，得到4个相邻夹角为90°的半径端点，顺次连接圆心O与这四个端点，得到四个圆心角为90°的全等扇形，将⊙O的面积分成相等的四份 | 作⊙O的水平直径AB，量取OA、OB的中点M、N，分别以M、N为圆心，3个单位长度为半径作完整的小圆，两个小圆将大圆剩余部分分为上下两个区域，四个区域的面积均为9π，将⊙O的面积分成相等的四份 |
| 指出对称性 | 既是轴对称图形又是中心对称图形 | 既是轴对称图形又是中心对称图形 |
（示意图说明：方案二示意图为圆内有四条从圆心出发、两两夹角90°的半径，将圆分为四个扇形；方案三示意图为大圆内左右各有一个半径为3、分别以OA、OB中点为圆心的小圆，剩余上下两块为对称的曲边区域）
| | 方案二 | 方案三 |
| --- | --- | --- |
| 选用的工具 | 量角器、圆规 | 带刻度的三角尺、圆规 |
| 简述设计方案 | 用量角器将⊙O的周角四等分，得到4个相邻夹角为90°的半径端点，顺次连接圆心O与这四个端点，得到四个圆心角为90°的全等扇形，将⊙O的面积分成相等的四份 | 作⊙O的水平直径AB，量取OA、OB的中点M、N，分别以M、N为圆心，3个单位长度为半径作完整的小圆，两个小圆将大圆剩余部分分为上下两个区域，四个区域的面积均为9π，将⊙O的面积分成相等的四份 |
| 指出对称性 | 既是轴对称图形又是中心对称图形 | 既是轴对称图形又是中心对称图形 |
（示意图说明：方案二示意图为圆内有四条从圆心出发、两两夹角90°的半径，将圆分为四个扇形；方案三示意图为大圆内左右各有一个半径为3、分别以OA、OB中点为圆心的小圆，剩余上下两块为对称的曲边区域）
解析
【分析】
本题有两个核心要求：①将半径为6的圆面积四等分，经计算每份面积为$\frac{1}{4}×π×6^2=9π$；②设计的图案为对称图形。我们可从两个方向思考解法：
方向1：利用扇形面积和圆心角的关系，圆心角为周角$\frac{1}{4}$（即90°）的扇形，面积恰好是圆面积的$\frac{1}{4}$，因此只需将周角四等分，连接圆心和分点即可得到四个面积相等的扇形，该方案可选用量角器、圆规完成。
方向2：构造面积为9π的小圆，半径为3的圆面积为$π×3^2=9π$，恰好符合单份面积要求，在大圆内作两个等面积的小圆后，剩余部分会自然分为两个面积相等的区域，即可实现四等分，该方案需要用带刻度的三角尺找中点，再用圆规画圆。两种方案的最终图案都满足对称性要求。
【解析】
方案二
1. 选用工具：量角器、圆规
2. 设计方案：用量角器将$\odot O$的周角四等分，得到4个相邻夹角为90°的半径端点，顺次连接圆心O与这四个端点，得到四个圆心角为90°的全等扇形，将$\odot O$的面积分成相等的四份。
3. 对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形
（示意图：圆内有四条从圆心出发、两两夹角90°的半径，将圆分为四个扇形）
方案三
1. 选用工具：带刻度的三角尺、圆规
2. 设计方案：作$\odot O$的水平直径AB，量取OA、OB的中点M、N，分别以M、N为圆心，3个单位长度为半径作完整的小圆，两个小圆将大圆剩余部分分为上下两个区域，四个区域的面积均为9π，将$\odot O$的面积分成相等的四份。
3. 对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形
（示意图：大圆内左右各有一个半径为3、分别以OA、OB中点为圆心的小圆，剩余上下两块为对称的曲边区域）
【答案】
| | 方案二 | 方案三 |
| --- | --- | --- |
| 选用的工具 | 量角器、圆规 | 带刻度的三角尺、圆规 |
| 简述设计方案 | 用量角器将$\odot O$的周角四等分，得到4个相邻夹角为90°的半径端点，顺次连接圆心O与这四个端点，得到四个圆心角为90°的全等扇形，将$\odot O$的面积分成相等的四份 | 作$\odot O$的水平直径AB，量取OA、OB的中点M、N，分别以M、N为圆心，3个单位长度为半径作完整的小圆，两个小圆将大圆剩余部分分为上下两个区域，四个区域的面积均为9π，将$\odot O$的面积分成相等的四份 |
| 指出对称性 | 既是轴对称图形又是中心对称图形 | 既是轴对称图形又是中心对称图形 |
（注：方案二示意图为圆内有四条从圆心出发、两两夹角90°的半径，将圆分为四个扇形；方案三示意图为大圆内左右各有一个半径为3、分别以OA、OB中点为圆心的小圆，剩余上下两块为对称的曲边区域）
【知识点】
圆的面积计算、扇形面积计算、轴对称与中心对称图形
【点评】
本题为开放性设计题，答案不唯一，只要满足面积四等分、图案符合对称性要求即可，主要考查对圆的相关性质和面积公式的灵活运用能力，能够锻炼发散思维。
【难度系数】
0.7
本题有两个核心要求：①将半径为6的圆面积四等分，经计算每份面积为$\frac{1}{4}×π×6^2=9π$；②设计的图案为对称图形。我们可从两个方向思考解法：
方向1：利用扇形面积和圆心角的关系，圆心角为周角$\frac{1}{4}$（即90°）的扇形，面积恰好是圆面积的$\frac{1}{4}$，因此只需将周角四等分，连接圆心和分点即可得到四个面积相等的扇形，该方案可选用量角器、圆规完成。
方向2：构造面积为9π的小圆，半径为3的圆面积为$π×3^2=9π$，恰好符合单份面积要求，在大圆内作两个等面积的小圆后，剩余部分会自然分为两个面积相等的区域，即可实现四等分，该方案需要用带刻度的三角尺找中点，再用圆规画圆。两种方案的最终图案都满足对称性要求。
【解析】
方案二
1. 选用工具：量角器、圆规
2. 设计方案：用量角器将$\odot O$的周角四等分，得到4个相邻夹角为90°的半径端点，顺次连接圆心O与这四个端点，得到四个圆心角为90°的全等扇形，将$\odot O$的面积分成相等的四份。
3. 对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形
（示意图：圆内有四条从圆心出发、两两夹角90°的半径，将圆分为四个扇形）
方案三
1. 选用工具：带刻度的三角尺、圆规
2. 设计方案：作$\odot O$的水平直径AB，量取OA、OB的中点M、N，分别以M、N为圆心，3个单位长度为半径作完整的小圆，两个小圆将大圆剩余部分分为上下两个区域，四个区域的面积均为9π，将$\odot O$的面积分成相等的四份。
3. 对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形
（示意图：大圆内左右各有一个半径为3、分别以OA、OB中点为圆心的小圆，剩余上下两块为对称的曲边区域）
【答案】
| | 方案二 | 方案三 |
| --- | --- | --- |
| 选用的工具 | 量角器、圆规 | 带刻度的三角尺、圆规 |
| 简述设计方案 | 用量角器将$\odot O$的周角四等分，得到4个相邻夹角为90°的半径端点，顺次连接圆心O与这四个端点，得到四个圆心角为90°的全等扇形，将$\odot O$的面积分成相等的四份 | 作$\odot O$的水平直径AB，量取OA、OB的中点M、N，分别以M、N为圆心，3个单位长度为半径作完整的小圆，两个小圆将大圆剩余部分分为上下两个区域，四个区域的面积均为9π，将$\odot O$的面积分成相等的四份 |
| 指出对称性 | 既是轴对称图形又是中心对称图形 | 既是轴对称图形又是中心对称图形 |
（注：方案二示意图为圆内有四条从圆心出发、两两夹角90°的半径，将圆分为四个扇形；方案三示意图为大圆内左右各有一个半径为3、分别以OA、OB中点为圆心的小圆，剩余上下两块为对称的曲边区域）
【知识点】
圆的面积计算、扇形面积计算、轴对称与中心对称图形
【点评】
本题为开放性设计题，答案不唯一，只要满足面积四等分、图案符合对称性要求即可，主要考查对圆的相关性质和面积公式的灵活运用能力，能够锻炼发散思维。
【难度系数】
0.7
