综合与实践
生活中的优化问题
活动名称 探究足球比赛中的射门角优化问题
背景材料 1. 直线$ l $是足球场底线，$ AB $是球门，点$ P $是射门点，连接$ PA $，$ PB $，则$ ∠ APB $叫作射门角.
2. 仅从射门角度大小考虑，射门角度越大，足球越容易被踢进，解决此类问题需运用圆的性质、几何计算等数学知识.
素材1 如图1，足球场底线为直线$ l $，$ AB $为球门；如图2，甲、乙两名队员向球门$ AB $进攻，甲在点$ Q $处，乙在点$ P $处.
素材2 如图3，在正方形网格中，点$ A $，$ B $，$ C $， $ E $均在格点上，$ AB $为球门，球员沿$ CD $方向进攻.
图示
【活动任务】
任务1：如图2，甲、乙两名队员互相配合向对方球门$ AB $进攻，当甲带球冲到点$ Q $处时，乙跟随冲到点$ P $处，仅从射门角度大小考虑，判断甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，并利用所学知识说明理由.
任务2：如图3，在正方形网格中，点$ A $，$ B $，$ C $，$ D $，$ E $均在格点上，$ AB $为球门，球员丁带球沿$ CD $方向进攻，则最好的射门点在.

A.点$ C $
B.点$ D $或点$ E $
C.线段$ DE $（异于端点）上一点
D.线段$ CD $（异于端点）上一点

任务1 解：甲自己射门好. 理由如下：
记AP与过AB两点的圆的交点为C，连接BC，如图.
$\because \overgroup{AB}=\overgroup{AB}$，$\therefore ∠ ACB = ∠ AQB$. $\because ∠ ACB = ∠ APB + ∠ PBC$，$\therefore ∠ ACB ＞ ∠ APB$.
$\therefore ∠ AQB ＞ ∠ APB$. $\therefore$ 甲自己射门好.
任务2 C

【分析】
任务1解题思路：判断谁射门更好，本质是比较∠AQB和∠APB的大小。我们可以利用圆周角性质构造辅助圆：过A、B、Q三点作圆，观察得点P在圆外，再结合三角形外角的性质，即可推导出同弧所对的圆外角小于圆周角，进而得到两个角的大小关系。
任务2解题思路：直线CD上射门角最大的点，是过A、B两点的圆与直线CD的切点（根据圆的性质，同弧所对的圆周角大于圆外角，切点处的张角是直线上所有点对AB的最大张角），结合正方形网格判断切点位置即可得到答案。
【解析】
任务1
甲自己射门好，理由如下：
记AP与过A、B、Q三点的圆的交点为C，连接BC，如图。
因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ ACB = ∠ AQB$。
又因为$∠ ACB$是$△ PBC$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，得$∠ ACB = ∠ APB + ∠ PBC$，因此$∠ ACB ＞ ∠ APB$。
综上可得$∠ AQB ＞ ∠ APB$，即甲在Q点的射门角更大，甲自己射门好。
任务2
要获得最大射门角，需找到过A、B两点的圆与直线CD的切点，该切点就是直线CD上射门角最大的点。结合正方形网格作图可判断，该切点在线段DE（异于端点）上，因此最好的射门点在线段DE（异于端点）上一点，故选C。
【答案】
任务1：甲自己射门好. 理由如下：
记AP与过AB两点的圆的交点为C，连接BC，如图。
$\because \overgroup{AB}=\overgroup{AB}$，$\therefore ∠ ACB = ∠ AQB$. $\because ∠ ACB = ∠ APB + ∠ PBC$，$\therefore ∠ ACB ＞ ∠ APB$.
$\therefore ∠ AQB ＞ ∠ APB$. $\therefore$ 甲自己射门好.
任务2：C
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，直线与圆相切的性质
【点评】
本题结合足球射门的生活场景，考查圆的相关性质的实际应用，解题核心是理解射门角最大的几何意义，能灵活运用几何性质比较角的大小，很好地体现了数学知识与实际生活的关联性，有助于提升数学建模和知识应用能力。
【难度系数】
0.6