1. 下列函数是 $ y $ 关于 $ x $ 的反比例函数的是()

A.$ y = x $
B.$ y = \frac{2k}{x} $
C.$ y = -\frac{8}{x} $
D.$ y = \frac{8}{x^2} $

C

【分析】
要判断一个函数是不是$y$关于$x$的反比例函数，首先要牢记反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$是常数，且$k≠0$）的函数是反比例函数，核心需满足三个条件：①系数$k$为非零常数；②分母仅含自变量$x$，且$x$的次数为1；③分子只能是常数$k$。解题时将每个选项和定义逐一比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做$y$关于$x$的反比例函数，也可变形为$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=x$是正比例函数，不符合反比例函数的形式，排除；
选项B：$y=\frac{2k}{x}$中未说明$k≠0$，若$k=0$，函数变为$y=0$，不是反比例函数，排除；
选项C：$y=-\frac{8}{x}$中，$k=-8$是不为0的常数，分母为$x$的一次式，完全符合反比例函数的定义，当选；
选项D：$y=\frac{8}{x^2}$中分母是$x^2$，即自变量$x$的次数为$-2$，不符合反比例函数自变量次数为$-1$的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对反比例函数定义的理解，解题时需注意不要忽略$k≠0$的隐含条件，同时要注意区分自变量的次数，避免混淆反比例函数和其他函数的形式。
【难度系数】
0.8

2. 在函数$y=\frac{1}{x}$中，自变量$x$的取值范围是（）

A.$x≠0$
B.$x＞0$
C.$x＜0$
D.一切实数

A

【分析】
要确定函数自变量的取值范围，需保证函数表达式有意义。本题中函数表达式是分式形式，根据分式的相关性质，分式有意义的前提是分母不为0，因此只需要令分母x不等于0，即可得到x的取值范围。
【解析】
对于函数$y=\frac{1}{x}$，其表达式为分式，分式有意义的条件是分母不等于0，因此分母$x ≠ 0$，即自变量x的取值范围是$x ≠ 0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式有意义的条件；2. 函数自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题，主要考查分式有意义的条件在求解函数自变量取值范围中的应用，熟记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

3. 函数$y=\frac{2}{x}$的图象大致是（）

B

【分析】
解题时首先判断函数类型：$y=\frac{2}{x}$是反比例函数，图象为双曲线，因此先排除不是双曲线的选项C（正比例函数图象，直线）和D（二次函数图象，抛物线）；再根据反比例函数的性质，由k的符号判断图象所在象限：本题中k=2＞0，说明图象两个分支在第一、三象限，由此排除位于二、四象限的选项A，即可得出正确答案。
【解析】
解：①判断函数类型：$y=\frac{2}{x}$是反比例函数，图象为双曲线。
选项C为过原点的直线，是正比例函数的图象，选项D为抛物线，是二次函数的图象，因此排除C、D。
②判断图象所在象限：反比例函数$y=\frac{2}{x}$中$k=2＞0$，根据反比例函数性质，当k＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、第三象限。
选项A的图象分支在第二、第四象限，不符合要求；选项B的图象分支在第一、第三象限，符合性质。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的性质
【点评】
本题是基础类题型，主要考查反比例函数的图象与性质，掌握k的正负与反比例函数图象所在象限的对应规律即可快速解答。
【难度系数】
0.9

4. 若反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象在第一、第三象限，则点$(k,-3)$在第象限。

四

【分析】
解题思路分为两步：第一步，先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m\ne0$）的图象在第一、三象限时，比例系数$m＞0$，结合题目给出的反比例函数图象位置，求出$k$的取值范围；第二步，根据$k$的正负，结合点$(k,-3)$横、纵坐标的符号，利用象限内点的坐标特征判断点所在的象限即可。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象在第一、第三象限，
根据反比例函数性质可得：比例系数$k-1＞0$，
解得 $k＞1$，
∴ 点$(k,-3)$的横坐标$k$为正数，纵坐标$-3$为负数，
根据平面直角坐标系象限内点的坐标特征：横坐标为正、纵坐标为负的点在第四象限，
因此该点在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，主要考察反比例函数性质和点的坐标特征的结合应用，熟练掌握相关基础性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

5. 如图，点A在函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，点B在函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，$AB// x$轴，C是x轴上一点。若$△ ABC$的面积为3，则k的值为。

-4

【分析】
解题思路如下：1. 由AB//x轴可知A、B两点纵坐标相等，可先设出点A的坐标，再根据反比例函数解析式表示出点B的坐标；2. 线段AB的长度为A点横坐标减去B点横坐标（B在y轴左侧，横坐标为负），△ABC的高等于A（B）点的纵坐标；3. 利用三角形面积公式列方程化简即可求出k的值，也可结合反比例函数k的几何意义、同底等高三角形面积相等的性质求解，更加简便。
【解析】
方法一：设点A的坐标为$(a,\frac{2}{a})$（$a＞0$），
∵AB//x轴，点B在函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，
∴点B的纵坐标为$\frac{2}{a}$，代入$y=\frac{k}{x}$得：$x=\frac{k}{\frac{2}{a}}=\frac{ak}{2}$，即$B(\frac{ak}{2},\frac{2}{a})$，
∴AB的长度为$a - \frac{ak}{2}$（$\frac{ak}{2}＜0$，计算结果为正），
△ABC中AB边上的高等于A、B点的纵坐标值，即$\frac{2}{a}$，
由$S_{△ ABC}=3$得：
$\frac{1}{2} × (a - \frac{ak}{2}) × \frac{2}{a} = 3$
化简得：$\frac{1}{2} × (2 - k) = 3$
解得$k=-4$，符合$x＜0$时反比例函数图象在第二象限的特征。
方法二：连接OA、OB，设AB与y轴交于点D，
∵AB//x轴，
∴△ABC和△ABO同底等高，面积相等，即$S_{△ ABO}=S_{△ ABC}=3$，
由反比例函数k的几何意义得：$S_{△ AOD}=\frac{1}{2} × |2|=1$，$S_{△ BOD}=\frac{1}{2} × |k|$，
∴$S_{△ ABO}=S_{△ AOD}+S_{△ BOD}=1 + \frac{1}{2}|k|=3$，
解得$|k|=4$，
∵$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象在第二象限，
∴$k＜0$，故$k=-4$。
【答案】
-4
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积计算，平行于坐标轴的点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的典型基础题，既可以通过设坐标代入计算求解，也可利用反比例函数k的几何意义结合同底等高三角形面积相等的性质快速得出结果，解题时注意结合函数图象所在象限判断k的符号。
【难度系数】
0.7

6. 如图，直线$l ⊥ x$轴于点$P$，且与反比例函数$y_1=\dfrac{12}{x}(x＞0)$及$y_2=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的图象分别交于点$A$，$B$，连接$OA$，$OB$，则$△ OAB$的面积为________。

4

【分析】
首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k\ne0)$图象上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\dfrac{1}{2}|k|$。观察图形可知，$△ OAB$的面积等于$△ OAP$的面积减去$△ OBP$的面积，我们只需要分别求出两个三角形的面积，再作差即可得到$△ OAB$的面积。
【解析】
根据反比例函数k的几何意义可得：
对于反比例函数$y_1=\dfrac{12}{x}(x＞0)$，$S_{△ OAP}=\dfrac{1}{2}×|12|=6$；
对于反比例函数$y_2=\dfrac{4}{x}(x＞0)$，$S_{△ OBP}=\dfrac{1}{2}×|4|=2$；
则$S_{△ OAB}=S_{△ OAP}-S_{△ OBP}=6-2=4$。
【答案】
4
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题核心是将待求三角形面积转化为两个同底直角三角形的面积差，结合反比例函数k的几何意义可快速求解，无需计算点坐标即可得到结果。
【难度系数】
0.7

7. 如图，一次函数 $ y = kx + b $ 与反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图象交于 $ A(-2, 1) $，$ B(1, a) $ 两点.
（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出反比例函数的值大于一次函数的值时 $ x $ 的取值范围.

(1)反比例函数的解析式为 $ y=-\frac{2}{x} $，一次函数的解析式为 $ y=-x-1 $。
(2)结合图象可知，$ x $ 的取值范围是 $ -2＜x＜0 $ 或 $ x＞1 $。

【分析】
（1）求解反比例函数解析式：已知反比例函数图象过点A(-2,1)，将点A坐标代入反比例函数表达式即可求出未知参数m，确定反比例函数解析式；再将点B(1,a)代入反比例函数解析式，求出a的值得到点B的完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到一次函数解析式。
（2）求解反比例函数值大于一次函数值的x范围：该问题对应图象上反比例函数图象位于一次函数图象上方的部分，结合两个交点的横坐标，以及反比例函数x≠0的取值限制，分区间即可找出对应的x范围。
【解析】
（1）①求反比例函数解析式：
将$A(-2,1)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$1=\frac{m}{-2}$，解得$m=-2$，
因此反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
②求点B的坐标：
将$B(1,a)$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$a=\frac{-2}{1}=-2$，即点B坐标为$(1,-2)$。
③求一次函数解析式：
将$A(-2,1)$、$B(1,-2)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}-2k + b = 1 \\ k + b = -2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=-3$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$k+b=-2$，得$-1+b=-2$，解得$b=-1$，
因此一次函数的解析式为$y=-x-1$。
（2）观察图象可知：当$-2＜x＜0$或$x＞1$时，反比例函数图象在一次函数图象上方，即反比例函数的值大于一次函数的值。
【答案】
(1)反比例函数的解析式为 $ y=-\frac{2}{x} $，一次函数的解析式为 $ y=-x-1 $。
(2)$ -2＜x＜0 $ 或 $ x＞1 $。
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与反比例函数综合；函数图象与不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，重点考查待定系数法的应用和数形结合思想解不等式的能力，解题时要注意反比例函数图象是不连续的双曲线，确定取值范围时不要遗漏x≠0的限制。
【难度系数】
0.7