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如图1，在左边托盘A中放置一个固定的重物，在右边托盘B中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡。改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到数据如下表：
（1）依据实验得出x与y的对应点，请在图2中画出函数图象，并求出函数解析式；
（2）当砝码质量为24 g时，求托盘B与点O的距离；
（3）当托盘B向左移动6 cm时，为使仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量。
（1）依据实验得出x与y的对应点，请在图2中画出函数图象，并求出函数解析式；
（2）当砝码质量为24 g时，求托盘B与点O的距离；
（3）当托盘B向左移动6 cm时，为使仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量。
答案
(1)画出函数图象略. 函数解析式为 $y=\frac{300}{x}(x＞0).$
(2)当砝码质量为 24 g 时，托盘 B 与点 O 的距离是 12.5 cm.
(3)在移动前托盘 B 中的砝码质量为 25 g.
(2)当砝码质量为 24 g 时，托盘 B 与点 O 的距离是 12.5 cm.
(3)在移动前托盘 B 中的砝码质量为 25 g.
解析
【分析】
（1）首先观察表格中x与y的对应值，发现x和y的乘积为定值，符合反比例函数的特征，因此先设反比例函数的一般形式，代入一组对应值即可求出解析式，再通过描点、连线画出第一象限内的函数图象；
（2）第二问已知砝码质量即y的值，将其代入已求出的反比例函数解析式，解出对应的x值即可得到托盘B与点O的距离；
（3）第三问可设移动前砝码质量为m，先表示出移动前托盘B到O的距离，再结合移动后距离减少6cm、质量变为2m的条件，根据平衡时x与y的乘积为定值列方程求解即可。
【解析】
（1）观察表格数据可知，每组x与y的乘积均为300，因此y是x的反比例函数，设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
将$x=10,y=30$代入解析式，得$30=\frac{k}{10}$，解得$k=300$，因此函数解析式为$y=\frac{300}{x}(x＞0)$；函数图象为第一象限内的平滑曲线，描点连线即可（画图略）。
（2）当砝码质量$y=24\ \mathrm{g}$时，代入$y=\frac{300}{x}$得：
$24=\frac{300}{x}$
解得$x=\frac{300}{24}=12.5$
即托盘B与点O的距离为12.5 cm。
（3）设移动前托盘B中的砝码质量为$m\ \mathrm{g}$，则移动前托盘B与点O的距离为$\frac{300}{m}\ \mathrm{cm}$。
移动后托盘B与点O的距离为$(\frac{300}{m}-6)\ \mathrm{cm}$，砝码质量为$2m\ \mathrm{g}$，根据平衡条件可得：
$(\frac{300}{m}-6)×2m=300$
展开化简得：$600-12m=300$
解得$m=25$，经检验$m=25$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1)画出函数图象略. 函数解析式为 $y=\frac{300}{x}(x＞0).$
(2)当砝码质量为 24 g 时，托盘 B 与点 O 的距离是 12.5 cm.
(3)在移动前托盘 B 中的砝码质量为 25 g.
【知识点】
反比例函数解析式求解，反比例函数实际应用，分式方程求解
【点评】
本题结合杠杆平衡的生活场景考查反比例函数的应用，解题的关键是将实际平衡条件转化为反比例函数的变量关系，第三问需要准确梳理移动前后两个变量的变化规律，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.7
（1）首先观察表格中x与y的对应值，发现x和y的乘积为定值，符合反比例函数的特征，因此先设反比例函数的一般形式，代入一组对应值即可求出解析式，再通过描点、连线画出第一象限内的函数图象；
（2）第二问已知砝码质量即y的值，将其代入已求出的反比例函数解析式，解出对应的x值即可得到托盘B与点O的距离；
（3）第三问可设移动前砝码质量为m，先表示出移动前托盘B到O的距离，再结合移动后距离减少6cm、质量变为2m的条件，根据平衡时x与y的乘积为定值列方程求解即可。
【解析】
（1）观察表格数据可知，每组x与y的乘积均为300，因此y是x的反比例函数，设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
将$x=10,y=30$代入解析式，得$30=\frac{k}{10}$，解得$k=300$，因此函数解析式为$y=\frac{300}{x}(x＞0)$；函数图象为第一象限内的平滑曲线，描点连线即可（画图略）。
（2）当砝码质量$y=24\ \mathrm{g}$时，代入$y=\frac{300}{x}$得：
$24=\frac{300}{x}$
解得$x=\frac{300}{24}=12.5$
即托盘B与点O的距离为12.5 cm。
（3）设移动前托盘B中的砝码质量为$m\ \mathrm{g}$，则移动前托盘B与点O的距离为$\frac{300}{m}\ \mathrm{cm}$。
移动后托盘B与点O的距离为$(\frac{300}{m}-6)\ \mathrm{cm}$，砝码质量为$2m\ \mathrm{g}$，根据平衡条件可得：
$(\frac{300}{m}-6)×2m=300$
展开化简得：$600-12m=300$
解得$m=25$，经检验$m=25$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1)画出函数图象略. 函数解析式为 $y=\frac{300}{x}(x＞0).$
(2)当砝码质量为 24 g 时，托盘 B 与点 O 的距离是 12.5 cm.
(3)在移动前托盘 B 中的砝码质量为 25 g.
【知识点】
反比例函数解析式求解，反比例函数实际应用，分式方程求解
【点评】
本题结合杠杆平衡的生活场景考查反比例函数的应用，解题的关键是将实际平衡条件转化为反比例函数的变量关系，第三问需要准确梳理移动前后两个变量的变化规律，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.7
请根据本课所学，构建知识体系.
答案
(1)图形
(2)模型
(3)模型
(4)问题 $kx+b\ (k≠0)$ $ax^2+bx+c(a≠0)$ $\frac{k}{x}(k≠0)$
(2)模型
(3)模型
(4)问题 $kx+b\ (k≠0)$ $ax^2+bx+c(a≠0)$ $\frac{k}{x}(k≠0)$
解析
【分析】
本题是对构建函数模型解决实际问题的知识体系梳理，解题时先回忆函数建模的基本流程：首先要通过画图梳理实际问题的数量关系，再结合变量规律建立函数模型，接着检验模型是否符合实际约束，最后用模型求解问题。同时要熟练掌握三类常见函数的标准表达式，注意各表达式中系数不为0的限制条件，对应填空即可。
【解析】
1. 填写构建函数模型解决实际问题的一般步骤：
（1）为清晰梳理实际问题中的数量关系，首先要画出图形；
（2）结合变量的对应变化规律，建立合适的函数模型；
（3）检验建立的模型是否符合实际问题的约束条件，避免模型不符合实际场景；
（4）验证模型正确后，求解对应的实际问题。
2. 填写三类常见函数的一般表达式：
一次函数的一般形式为$\boldsymbol{y=kx+b\ (k≠0)}$（$k$、$b$为常数，$k\ne0$）；
二次函数的一般形式为$\boldsymbol{y=ax^2+bx+c\ (a≠0)}$（$a$、$b$、$c$为常数，$a\ne0$）；
反比例函数的一般形式为$\boldsymbol{y=\frac{k}{x}\ (k≠0)}$（$k$为常数，$k\ne0$）。
【答案】
(1)图形；(2)模型；(3)模型；(4)问题；$kx+b\ (k≠0)$；$ax^2+bx+c(a≠0)$；$\frac{k}{x}(k≠0)$
【知识点】
函数建模步骤，常见函数表达式，函数实际应用
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查函数建模的流程和常见初等函数的基本形式，是解决函数实际应用问题的基础，需要熟练掌握相关基础概念。
【难度系数】
0.9
本题是对构建函数模型解决实际问题的知识体系梳理，解题时先回忆函数建模的基本流程：首先要通过画图梳理实际问题的数量关系，再结合变量规律建立函数模型，接着检验模型是否符合实际约束，最后用模型求解问题。同时要熟练掌握三类常见函数的标准表达式，注意各表达式中系数不为0的限制条件，对应填空即可。
【解析】
1. 填写构建函数模型解决实际问题的一般步骤：
（1）为清晰梳理实际问题中的数量关系，首先要画出图形；
（2）结合变量的对应变化规律，建立合适的函数模型；
（3）检验建立的模型是否符合实际问题的约束条件，避免模型不符合实际场景；
（4）验证模型正确后，求解对应的实际问题。
2. 填写三类常见函数的一般表达式：
一次函数的一般形式为$\boldsymbol{y=kx+b\ (k≠0)}$（$k$、$b$为常数，$k\ne0$）；
二次函数的一般形式为$\boldsymbol{y=ax^2+bx+c\ (a≠0)}$（$a$、$b$、$c$为常数，$a\ne0$）；
反比例函数的一般形式为$\boldsymbol{y=\frac{k}{x}\ (k≠0)}$（$k$为常数，$k\ne0$）。
【答案】
(1)图形；(2)模型；(3)模型；(4)问题；$kx+b\ (k≠0)$；$ax^2+bx+c(a≠0)$；$\frac{k}{x}(k≠0)$
【知识点】
函数建模步骤，常见函数表达式，函数实际应用
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查函数建模的流程和常见初等函数的基本形式，是解决函数实际应用问题的基础，需要熟练掌握相关基础概念。
【难度系数】
0.9
