活动1 四等分圆周
（A）用等分圆周的方法画出下列图案.

（B）利用圆的等分作图：
（1）用直尺和圆规作一个正六边形；
（2）发挥你的创造性和想象力，设计一幅美丽的图案.

(A)略
(B)略

【分析】
解决这类等分圆周画图问题，首先观察图案特征确定基础圆的等分份数：①左图内部对应正方形，需将圆周四等分，可通过作互相垂直的直径得到4个分点，再以分点为圆心画弧即可；②中间图案有6个花瓣，需将圆周六等分，利用同圆内半径等于正六边形边长的特点，用半径长截圆周就能得到6个分点，再以分点为圆心画弧；③右图有5个花瓣，需将圆周五等分得到5个分点后再画弧。作正六边形同样基于六等分圆周的原理，设计图案可结合不同等分方法自主创作。
【解析】
(A)三个图案的画法参考：
1. 左图：①画任意圆O，过圆心作两条互相垂直的直径，把圆周分为4个等分点；②分别以4个等分点为圆心，以圆O的半径为半径，在圆内画连接相邻分点的弧，整理线条即可得到对应图案。
2. 中图：①画任意圆O，用圆规量取圆O的半径，在圆周上依次截取得到6个等分点；②分别以6个等分点为圆心，圆O的半径为半径，在圆外画以相邻两个分点为端点的半圆弧，整理线条即可得到对应图案。
3. 右图：①画任意圆O，将圆周五等分得到5个等分点；②分别以5个等分点为圆心，以相邻两分点的弦长为半径画弧，弧的端点为该分点相邻的两个分点，整理线条即可得到对应图案。
(B)(1)正六边形尺规作图步骤：
①画一个任意圆，记圆心为O，半径为r；②在圆周上任取一点A，以A为圆心、r为半径画弧，交圆周于点B；③依次以B、C、D、E为圆心，r为半径画弧，分别得到交点C、D、E、F；④顺次连接A、B、C、D、E、F，得到的六边形即为所求正六边形。
(2)图案设计可自主发挥，例如将圆八等分后，以各分点为圆心画弧拼接出窗花、徽章等图案，只要用到等分圆周的作图方法即可。
【答案】
(A)略
(B)略
【知识点】
等分圆周；尺规作图；正多边形与圆
【点评】
本题侧重动手操作能力的考查，需要熟练掌握圆的等分方法，理解正多边形和圆的关系，同时也能发挥创意将数学作图和美学设计结合，实用性较强。
【难度系数】
0.8

阅读下面的材料，并完成相应的任务.
探究四点共圆的条件：
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆.过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？
下面给出了一些四个顶点都在圆上的四边形，如图1～3.
分别用量角器测量上面各四边形的内角，得出结论：∠A+∠C①180°.
∵四边形的内角和为360°，
∴∠B+∠D②180°.
如果四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么∠B+∠D与180°之间还有上面的关系吗？
试结合图4和图5的情况进行探究.
任务：
(1)填空：①，②；(均填“＞”“＜”或“=”)
(2)请你在图4与图5中选择其中一个图，探究∠B+∠D与180°之间的关系.

(1)= =
(2)题图4中，点C在圆的内部时，∠B+∠D＜180°.证明如下：
如图，连接BE，则∠BCD=∠E+∠EBC，
∴∠BCD＞∠E.
∵∠A+∠E=180°，
∴∠A+∠BCD＞180°.
∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，
∴∠ABC+∠D=360°-(∠A+∠BCD)＜180°.
题图5中，点C在圆的外部时，∠B+∠D＞180°.证明如下：
如图，连接BF，则∠BFD=∠C+∠FBC，
∴∠BFD＞∠C.
∵∠A+∠BFD=180°，
∴∠A+∠C＜180°.
∵∠A+∠ABC+∠C+∠D=360°，
∴∠ABC+∠D=360°-(∠A+∠C)＞180°.

【分析】
本题围绕四点共圆的条件展开探究，解题思路如下：
1. 第一问：直接应用圆内接四边形的性质，圆内接四边形对角互补，再结合四边形内角和为360°，即可快速得出两个角和与180°的关系。
2. 第二问：对于顶点不在圆上的四边形，可通过作辅助线构造出圆内接四边形，再结合三角形外角性质（三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角）、圆内接四边形对角互补、四边形内角和定理三个知识点，逐步推导∠B+∠D与180°的大小关系。
【解析】
(1) 四个顶点都在圆上的四边形是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得∠A+∠C=180°；已知四边形内角和为360°，因此∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=180°，故①②均填“=”。
(2) 若选图4（点C在圆内部）推导：
延长DC交圆于E，连接BE，∠BCD是△BCE的外角，根据外角性质可知∠BCD=∠E+∠EBC，因此∠BCD＞∠E。
由于四边形ABED是圆内接四边形，故∠A+∠E=180°，代入得∠A+∠BCD＞180°。
结合四边形ABCD内角和为360°，即∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，因此∠ABC+∠D=360°-(∠A+∠BCD)＜180°。
若选图5（点C在圆外部）推导：
设BC交圆于F，连接BF，∠BFD是△BFC的外角，根据外角性质可知∠BFD=∠C+∠FBC，因此∠BFD＞∠C。
由于四边形ABFD是圆内接四边形，故∠A+∠BFD=180°，代入得∠A+∠C＜180°。
结合四边形ABCD内角和为360°，即∠A+∠ABC+∠C+∠D=360°，因此∠ABC+∠D=360°-(∠A+∠C)＞180°。
【答案】
(1)= =
(2)题图4中，点C在圆的内部时，∠B+∠D＜180°.证明如下：
如图，连接BE，则∠BCD=∠E+∠EBC，
∴∠BCD＞∠E.
∵∠A+∠E=180°，
∴∠A+∠BCD＞180°.
∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，
∴∠ABC+∠D=360°-(∠A+∠BCD)＜180°.
题图5中，点C在圆的外部时，∠B+∠D＞180°.证明如下：
如图，连接BF，则∠BFD=∠C+∠FBC，
∴∠BFD＞∠C.
∵∠A+∠BFD=180°，
∴∠A+∠C＜180°.
∵∠A+∠ABC+∠C+∠D=360°，
∴∠ABC+∠D=360°-(∠A+∠C)＞180°.
【知识点】
圆内接四边形的性质，三角形外角的性质，四边形内角和定理
【点评】
本题遵循“猜想-验证-证明”的探究逻辑，考查了多个基础几何定理的综合应用，能够帮助学生理解对角互补的四边形内接于圆的核心结论，有效提升几何逻辑推理和探究能力。
【难度系数】
0.7