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探究 1: 如图,如果我们把太阳看作一个圆,把地平线看作一条直线,请根据直线与圆的公共点个数,探究直线与圆有几种位置关系.
探究 2: 如图,请在纸上画一条直线 $l$,把瓶盖的边缘看作圆,在纸上移动瓶盖,你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗?公共点最少时有几个?最多时有几个?
新知生成:
| 直线与圆的位置关系 | 相离 | 相切 | 相交 |
| --- | --- | --- | --- |
| 图形 |
| | |
| 公共点个数 |
| 公共点名称 | | 切点 |
| 直线名称 | |
即时测评
判断对错:
(1)直线与圆最多有两个公共点. (
(2)若直线与圆相交,则直线上的点都在圆上. (
(3)若 $A$ 是 $\odot O$ 上一点,则直线 $AB$ 与 $\odot O$ 相切. (
(4)若 $C$ 为 $\odot O$ 外一点,则过点 $C$ 的直线与 $\odot O$ 相交或相离. (
(5)直线 $a$ 和 $\odot O$ 有公共点,则直线 $a$ 与 $\odot O$ 相交. (
任务二 探究 $d$ 与 $r$ 的大小和直线与圆位置的对应关系
探究: 同学们用直尺在圆上移动的过程中,除了发现公共点的个数发生了变化外,还发现现有什么量也在改变?它与圆的半径有什么样的数量关系呢?
新知生成: 设圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$, $\odot O$ 的半径为 $r$,则
直线 $l$ 与 $\odot O$ 相离 $⇔$
直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切 $⇔$
直线 $l$ 与 $\odot O$ 相交 $⇔$
探究 2: 如图,请在纸上画一条直线 $l$,把瓶盖的边缘看作圆,在纸上移动瓶盖,你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗?公共点最少时有几个?最多时有几个?
新知生成:
| 直线与圆的位置关系 | 相离 | 相切 | 相交 |
| --- | --- | --- | --- |
| 图形 |
| | || 公共点个数 |
0
| 1
| 2
|| 公共点名称 | | 切点 |
交点
|| 直线名称 | |
切线
| 割线
|即时测评
判断对错:
(1)直线与圆最多有两个公共点. (
√
)(2)若直线与圆相交,则直线上的点都在圆上. (
×
)(3)若 $A$ 是 $\odot O$ 上一点,则直线 $AB$ 与 $\odot O$ 相切. (
×
)(4)若 $C$ 为 $\odot O$ 外一点,则过点 $C$ 的直线与 $\odot O$ 相交或相离. (
×
)(5)直线 $a$ 和 $\odot O$ 有公共点,则直线 $a$ 与 $\odot O$ 相交. (
×
)任务二 探究 $d$ 与 $r$ 的大小和直线与圆位置的对应关系
探究: 同学们用直尺在圆上移动的过程中,除了发现公共点的个数发生了变化外,还发现现有什么量也在改变?它与圆的半径有什么样的数量关系呢?
新知生成: 设圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$, $\odot O$ 的半径为 $r$,则
直线 $l$ 与 $\odot O$ 相离 $⇔$
$d＞r$
;直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切 $⇔$
$d=r$
;直线 $l$ 与 $\odot O$ 相交 $⇔$
$d＜r$
.答案
探究1 解：直线与圆的公共点个数分别为2，1，0，则直线与圆的位置关系有三种。
探究2 解：随着瓶盖的移动，直线与圆的公共点个数会发生如下变化：0个→1个→2个→1个→0个。公共点最少时有0个，最多时有2个。
新知生成 0 1 2 交点 切线 割线
即时测评
(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
探究 解：圆心到直线的距离d也在变化，有d＞r，d=r，d＜r三种情况的数量关系。
新知生成 d＞r d=r d＜r
探究2 解：随着瓶盖的移动，直线与圆的公共点个数会发生如下变化：0个→1个→2个→1个→0个。公共点最少时有0个，最多时有2个。
新知生成 0 1 2 交点 切线 割线
即时测评
(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
探究 解：圆心到直线的距离d也在变化，有d＞r，d=r，d＜r三种情况的数量关系。
新知生成 d＞r d=r d＜r
解析
【分析】
本题围绕直线与圆的位置关系展开，解题遵循“直观感知→概念归纳→辨析应用→数量转化”的逻辑：①先通过两个生活化、动手操作的探究活动，观察直线与圆公共点个数的变化，归纳出三种位置关系；②结合公共点个数的特征，识记对应公共点、直线的名称；③做判断正误题时，严格紧扣三种位置关系的定义逐一排查；④最后从数形结合的角度，建立圆心到直线的距离d与半径r的数量关系和位置关系的对应联系，完成从直观到量化的认知升级。
【解析】
探究1
将太阳看作圆、地平线看作直线，观察公共点个数可知，直线与圆的公共点个数可分为0个、1个、2个三类，因此直线与圆共有3种位置关系。
探究2
移动瓶盖（边缘视为圆）的过程中，直线与圆的公共点个数按“0个→1个→2个→1个→0个”的规律变化，因此公共点最少为0个，最多为2个。
表格新知生成
根据位置关系的特征：相离时无公共点，填0；相切时仅有1个公共点，填1；相交时有2个公共点，填2；相交的公共点叫做交点；相切时的直线叫做切线，相交时的直线叫做割线。
即时测评
(1) 直线与圆最多有2个公共点，符合相交的特征，说法正确；
(2) 直线与圆相交时仅两个交点在圆上，其余点在圆内或圆外，说法错误；
(3) 点A在圆上仅说明直线AB与圆有公共点，未说明AB与过A的半径垂直，直线也可能与圆相交，说法错误；
(4) 过圆外一点C的直线与圆可能相交、相切、相离，漏了相切的情况，说法错误；
(5) 直线与圆有公共点包含相切（1个公共点）和相交（2个公共点）两种情况，不等同于相交，说法错误。
任务二探究
移动直尺的过程中，除公共点个数变化外，圆心到直线的距离d也在改变，它与半径r的数量关系分为d＞r、d=r、d＜r三种。
数量对应关系新知生成
根据位置和数量的对应规律：直线与圆相离等价于d＞r；相切等价于d=r；相交等价于d＜r。
【答案】
探究1：直线与圆的公共点个数分别为2，1，0，则直线与圆的位置关系有三种。
探究2：随着瓶盖的移动，直线与圆的公共点个数会发生如下变化：0个→1个→2个→1个→0个。公共点最少时有0个，最多时有2个。
新知生成（表格）：0、1、2、交点、切线、割线
即时测评：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
任务二探究：圆心到直线的距离d也在变化，有d＞r，d=r，d＜r三种情况的数量关系。
新知生成（数量关系）：d＞r、d=r、d＜r
【知识点】
1.直线与圆的位置关系
2.位置判定的d-r关系
3.切线与割线定义
【点评】
本题以动手操作、概念辨析的形式考查直线与圆的位置关系相关基础知识，贴合认知规律，能帮助学生清晰区分三类位置关系的特征，避免概念混淆，夯实基础。
【难度系数】
0.8
本题围绕直线与圆的位置关系展开，解题遵循“直观感知→概念归纳→辨析应用→数量转化”的逻辑：①先通过两个生活化、动手操作的探究活动，观察直线与圆公共点个数的变化，归纳出三种位置关系；②结合公共点个数的特征，识记对应公共点、直线的名称；③做判断正误题时，严格紧扣三种位置关系的定义逐一排查；④最后从数形结合的角度，建立圆心到直线的距离d与半径r的数量关系和位置关系的对应联系，完成从直观到量化的认知升级。
【解析】
探究1
将太阳看作圆、地平线看作直线，观察公共点个数可知，直线与圆的公共点个数可分为0个、1个、2个三类，因此直线与圆共有3种位置关系。
探究2
移动瓶盖（边缘视为圆）的过程中，直线与圆的公共点个数按“0个→1个→2个→1个→0个”的规律变化，因此公共点最少为0个，最多为2个。
表格新知生成
根据位置关系的特征：相离时无公共点，填0；相切时仅有1个公共点，填1；相交时有2个公共点，填2；相交的公共点叫做交点；相切时的直线叫做切线，相交时的直线叫做割线。
即时测评
(1) 直线与圆最多有2个公共点，符合相交的特征，说法正确；
(2) 直线与圆相交时仅两个交点在圆上，其余点在圆内或圆外，说法错误；
(3) 点A在圆上仅说明直线AB与圆有公共点，未说明AB与过A的半径垂直，直线也可能与圆相交，说法错误；
(4) 过圆外一点C的直线与圆可能相交、相切、相离，漏了相切的情况，说法错误；
(5) 直线与圆有公共点包含相切（1个公共点）和相交（2个公共点）两种情况，不等同于相交，说法错误。
任务二探究
移动直尺的过程中，除公共点个数变化外，圆心到直线的距离d也在改变，它与半径r的数量关系分为d＞r、d=r、d＜r三种。
数量对应关系新知生成
根据位置和数量的对应规律：直线与圆相离等价于d＞r；相切等价于d=r；相交等价于d＜r。
【答案】
探究1：直线与圆的公共点个数分别为2，1，0，则直线与圆的位置关系有三种。
探究2：随着瓶盖的移动，直线与圆的公共点个数会发生如下变化：0个→1个→2个→1个→0个。公共点最少时有0个，最多时有2个。
新知生成（表格）：0、1、2、交点、切线、割线
即时测评：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
任务二探究：圆心到直线的距离d也在变化，有d＞r，d=r，d＜r三种情况的数量关系。
新知生成（数量关系）：d＞r、d=r、d＜r
【知识点】
1.直线与圆的位置关系
2.位置判定的d-r关系
3.切线与割线定义
【点评】
本题以动手操作、概念辨析的形式考查直线与圆的位置关系相关基础知识，贴合认知规律，能帮助学生清晰区分三类位置关系的特征，避免概念混淆，夯实基础。
【难度系数】
0.8
