1. 圆的直径是12 cm，如果圆心到直线的距离是6.5 cm，那么该直线和圆的位置关系是（）

A.相离
B.相切
C.相交
D.相交或相切

1.A

【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系。解题第一步先根据已知的圆直径求出半径，第二步将半径和给出的圆心到直线的距离作大小比较，第三步对照位置关系的判定规则，即可得出对应结论。
【解析】
解：已知圆的直径为12 cm，因此圆的半径$ r = 12÷2 = 6\ \mathrm{cm} $。
由题可知圆心到直线的距离$ d = 6.5\ \mathrm{cm} $，比较得$ 6.5\ \mathrm{cm} ＞ 6\ \mathrm{cm} $，即$ d＞r $。
根据直线与圆的位置关系判定规则：当$ d＞r $时，直线与圆相离，因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.直线与圆的位置关系判定
2.圆的半径与直径的关系
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，只要牢记直线和圆三种位置关系对应的d与r的大小关系即可解题，解题时需注意不要误将直径直接当作半径参与比较，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.9

2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，以点$C$为圆心，$2.5$为半径的圆与$AB$的公共点的个数为________.

2.2

【分析】
要判断圆与AB的公共点个数，本质是判断直线AB和圆C的位置关系，直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系决定：d＜r时相交，有2个公共点；d=r时相切，有1个公共点；d＞r时相离，有0个公共点。因此解题步骤为：首先用勾股定理求出斜边AB的长度，再用面积法求出点C到AB的垂线段长度（即d），最后比较d和r的大小即可得出结论。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，则$CD$为圆心$C$到直线$AB$的距离$d$。
根据三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$，
解得$CD=\frac{12}{5}=2.4$。
已知圆$C$的半径$r=2.5$，可得$d=2.4＜r=2.5$，因此直线$AB$与$\odot C$相交，公共点个数为2。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；直线与圆的位置关系；面积法求高
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础应用题，解题核心是掌握通过比较圆心到直线的距离与半径的大小判断位置关系的方法，利用面积法求斜边上的高是常用的计算技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点A为圆心，r为半径作⊙A.
（1）当半径r为何值时，⊙A与BC相切？
（2）当半径r为何值时，⊙A与BD相切？
（3）当半径r的范围为多少时，⊙A与直线BC相交且与直线CD相离？

3. 解：(1)当半径r为3时，⊙A与BC相切。
(2)当半径r为2.4时，⊙A与BD相切。
(3)当半径r的范围为3＜r＜4时，⊙A与直线BC相交且与直线CD相离。

【分析】
解决本题的核心是掌握直线与圆的位置关系判定方法：设圆心到直线的距离为d，当d=r时圆与直线相切，d＜r时圆与直线相交，d＞r时圆与直线相离。解题时先利用矩形性质求出点A到各条直线的距离，再结合对应位置关系的条件求解即可：
1. 求⊙A与BC相切的r：由矩形AB⊥BC的性质，A到BC的距离就是AB的长度，令r等于该距离即可；
2. 求⊙A与BD相切的r：先用勾股定理算出对角线BD的长度，再通过三角形面积法求出A到BD的垂线段长度，令r等于该长度即可；
3. 求⊙A与BC相交、与CD相离的r范围：分别求出A到BC、CD的距离，结合相交、相离的条件列不等式，联立得到r的取值范围。
【解析】
已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，因此AD=BC=4，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°。
（1）
∵AB⊥BC，
∴点A到直线BC的距离$d_1=AB=3$，
根据圆与直线相切的条件$d=r$，可得$r=3$时，⊙A与BC相切。
（2）连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，AE即为点A到直线BD的距离。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
△ABD的面积可表示为$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AB· AD=\frac{1}{2}· BD· AE$，
代入数值计算：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× AE$，解得$AE=\frac{12}{5}=2.4$，
根据相切条件$d=r$，可得$r=2.4$时，⊙A与BD相切。
（3）①点A到直线BC的距离$d_1=3$，⊙A与BC相交需满足$r＞d_1$，即$r＞3$；
②
∵AD⊥CD，
∴点A到直线CD的距离$d_2=AD=4$，⊙A与CD相离需满足$r＜d_2$，即$r＜4$；
联立两个条件得r的取值范围为$3＜r＜4$。
【答案】
(1) $r=3$；(2) $r=2.4$；(3) $3＜r＜4$
【知识点】
直线与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题侧重考查直线与圆位置关系的应用，解题核心是准确求出圆心到对应直线的距离，结合d与r的大小关系列式求解，计算时可灵活运用面积法求点到直线的距离，降低运算难度。
【难度系数】
0.7

请根据本课所学，构建知识体系.

没有 ＞ 一个 = 两个 ＜

【分析】
我们可以从两个维度梳理直线与圆的位置关系来填空：一是看公共点的个数，二是对比圆心到直线的距离$d$和圆半径$r$的大小。相离时直线和圆无接触，相切时刚好碰到1个点，相交时直线穿过圆有2个接触点；距离$d$越大说明直线离圆越远，对应相离时$d$大于$r$，相切时$d$等于$r$，相交时$d$小于$r$，按对应关系填写即可。
【解析】
1. 相离状态下，直线和圆没有接触，对应没有公共点，此时圆心到直线的距离大于圆的半径，即$d＞r$；
2. 相切状态下，直线和圆刚好接触到1个切点，对应有1个公共点，此时圆心到直线的距离等于圆的半径，即$d=r$；
3. 相交状态下，直线穿过圆内部，有2个交点，对应有2个公共点，此时圆心到直线的距离小于圆的半径，即$d＜r$。
【答案】
没有 ＞ 一个 = 两个 ＜
【知识点】
直线与圆的位置关系、公共点判定法、距离半径比较法
【点评】
本题是对直线与圆位置关系基础概念的考查，内容是圆章节的核心基础知识点，准确记忆三种位置关系的对应特征即可完成，为后续学习切线的性质、判定等内容打基础。
【难度系数】
0.9

思考下列探究问题，并补全证明过程.
探究：如图，在$\odot O$中，直线$l$是$\odot O$的切线，$A$为切点，那么$OA$与$l$垂直吗？

解：(1)假设$OA$与$l$，
如图，过点$O$作一条线段于$l$，垂足为$M$；
(2)根据垂线段最短，则$OM ＜ OA$，即圆心到直线$l$的距离小于$\odot O$的，因此，直线$l$与$\odot O$，这与已知条件“”相矛盾；
(3)所以假设不成立，故$OA$与$l$.
新知生成：(切线的性质定理)圆的切线于过的半径.

探究 （1）不垂直 垂直
（2）半径 相交 直线l是⊙O的切线
（3）垂直
新知生成 垂直 切点

【分析】
本题采用反证法证明切线的性质定理，解题遵循反证法的三步逻辑：①反设：假设待证结论“OA⊥l”不成立；②归谬：从反设出发，结合垂线段最短的性质、直线与圆的位置关系的判定规则推导，得出与已知条件矛盾的结论；③存真：由矛盾判定反设不成立，从而肯定原结论正确，按照该逻辑即可逐步补全空缺内容。
【解析】
(1) 反证法第一步需假设结论不成立，因此假设$OA$与$l$不垂直；为结合垂线段性质推导，需过点$O$作线段垂直于$l$，垂足为$M$。
(2) $OA$是$\odot O$的半径，由$OM＜OA$可知圆心$O$到直线$l$的距离小于$\odot O$的半径；根据直线与圆的位置关系判定规则，圆心到直线的距离小于半径时，直线$l$与$\odot O$相交，这与已知条件“直线$l$是$\odot O$的切线”矛盾。
(3) 假设不成立，因此原结论成立，故$OA$与$l$垂直。
根据上述证明可得切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
【答案】
探究 （1）不垂直 垂直
（2）半径 相交 直线l是⊙O的切线
（3）垂直
新知生成 垂直 切点
【知识点】
反证法，切线的性质，直线与圆的位置关系
【点评】
本题通过补全证明过程的形式考查切线性质定理的推导逻辑，要求掌握反证法的基本步骤和直线与圆位置关系的判定方法，能够帮助学习者加深对基础定理的理解。
【难度系数】
0.8