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某高铁列车从郑州东站出发，停靠站点依次为郑州东站—新乡东站—鹤壁东站—安阳东站—……—北京西站. 若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车票（去程和回程视作两种车票），则这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有$ x $个站点，则可列方程为（
A.$ x(x-1)=56 $
B.$ x^2 + x -56=0 $
C.$ \frac{x(x-1)}{2}=56 $
D.$ x^2 -x +56=0 $
A
）.A.$ x(x-1)=56 $
B.$ x^2 + x -56=0 $
C.$ \frac{x(x-1)}{2}=56 $
D.$ x^2 -x +56=0 $
答案
A
解析
【分析】
解题时首先明确车票的计数规则：往返车票对应两个站点的不同顺序，属于和顺序有关的计数问题。我们可以先思考单个站点的车票种类：如果有x个站点，每个站点需要发往除自身外其余(x-1)个站点的车票，共(x-1)种；再计算所有站点的总车票数，就是x个(x-1)相加，即x(x-1)，最后结合总车票数为56的条件，即可列出对应方程。
【解析】
设这条线路共有$x$个站点。
由于往返车票是两种不同的车票（与站点顺序有关），每个站点可通往其余$(x-1)$个站点，对应$(x-1)$种不同的车票，因此x个站点的总往返车票数为$x(x-1)$种。
已知总共有56种往返车票，因此可列方程：$x(x-1)=56$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用 2. 计数原理
【点评】
本题结合生活中的车票设计场景考查方程的列写，解题核心是区分计数问题是否和顺序有关，本题车票和顺序有关，无需除以2，避免误选C选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确车票的计数规则：往返车票对应两个站点的不同顺序，属于和顺序有关的计数问题。我们可以先思考单个站点的车票种类：如果有x个站点，每个站点需要发往除自身外其余(x-1)个站点的车票，共(x-1)种；再计算所有站点的总车票数，就是x个(x-1)相加，即x(x-1)，最后结合总车票数为56的条件，即可列出对应方程。
【解析】
设这条线路共有$x$个站点。
由于往返车票是两种不同的车票（与站点顺序有关），每个站点可通往其余$(x-1)$个站点，对应$(x-1)$种不同的车票，因此x个站点的总往返车票数为$x(x-1)$种。
已知总共有56种往返车票，因此可列方程：$x(x-1)=56$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用 2. 计数原理
【点评】
本题结合生活中的车票设计场景考查方程的列写，解题核心是区分计数问题是否和顺序有关，本题车票和顺序有关，无需除以2，避免误选C选项。
【难度系数】
0.7
1. 某校九年级举行了一次学生篮球赛，比赛以班级为单位采用单循环制，要求每两个班级之间赛一场。若整个比赛一共赛了45场，则参赛的班级数为（
A.8
B.9
C.10
D.15
C
）。A.8
B.9
C.10
D.15
答案
1. C
解析
【分析】
首先明确赛制为单循环，即每两个班级仅比赛1次。解题思路如下：①设参赛班级数为x个；②推导总比赛场数的表达式：每个班级需要和剩余(x-1)个班级各赛1场，若直接计算x(x-1)，每场比赛会被参赛的两个班级各统计1次，存在重复计数，因此实际总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$；③结合题干给出的总场数45列一元二次方程，求解后根据班级数为正整数的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到结果。
【解析】
设参赛的班级数为$x$个。
根据单循环赛制的总场数规律，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理方程得：$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：$(x-10)(x+9)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-9$
因为班级数不能为负数，所以舍去$x=-9$，即参赛班级数为10个。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环计数规律
【点评】
本题是典型的方程实际应用题，核心是理解单循环赛制的计数规则，避免出现重复计数的错误，熟练掌握一元二次方程的解法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
首先明确赛制为单循环，即每两个班级仅比赛1次。解题思路如下：①设参赛班级数为x个；②推导总比赛场数的表达式：每个班级需要和剩余(x-1)个班级各赛1场，若直接计算x(x-1)，每场比赛会被参赛的两个班级各统计1次，存在重复计数，因此实际总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$；③结合题干给出的总场数45列一元二次方程，求解后根据班级数为正整数的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到结果。
【解析】
设参赛的班级数为$x$个。
根据单循环赛制的总场数规律，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理方程得：$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：$(x-10)(x+9)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-9$
因为班级数不能为负数，所以舍去$x=-9$，即参赛班级数为10个。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环计数规律
【点评】
本题是典型的方程实际应用题，核心是理解单循环赛制的计数规则，避免出现重复计数的错误，熟练掌握一元二次方程的解法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2. 某商场销售一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒，每盒的售价每降低0.5元，每天的销量增加5盒，要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价$ x $元，则可列方程为（
A.$(45 - x)(100 + \dfrac{5}{x}) = 6000$
B.$(45 - x)(100 + 5x) = 6000$
C.$(45 + x)(100 + 5x) = 6000$
D.$(45 - x)(100 + 10x) = 6000$
D
）。A.$(45 - x)(100 + \dfrac{5}{x}) = 6000$
B.$(45 - x)(100 + 5x) = 6000$
C.$(45 + x)(100 + 5x) = 6000$
D.$(45 - x)(100 + 10x) = 6000$
答案
2. D
解析
【分析】
解题的核心是牢记销售额的计算公式：销售额 = 单件商品售价 × 销售总数量，我们分两步推导对应量再列方程：第一步先确定降价后的单件售价，原价45元，降价x元后售价为(45-x)元；第二步确定降价后的总销量，每降低0.5元销量增加5盒，降价x元时包含$\frac{x}{0.5}=2x$个0.5元，因此增加的销量为$2x×5=10x$盒，总销量为原本的100盒加新增的10x盒，最后结合总销售额为6000元即可列出方程。
【解析】
根据题意，列方程的等量关系为：降价后每盒售价 × 降价后每日总销量 = 每日总销售额6000元。
1. 降价x元后，每盒大礼包的售价为：$45 - x$ 元；
2. 计算降价后的总销量：每降价0.5元销量增加5盒，降价x元时新增销量为 $\frac{x}{0.5} × 5 = 10x$ 盒，因此每日总销量为 $100 + 10x$ 盒；
3. 代入等量关系可得方程：$(45 - x)(100 + 10x) = 6000$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 销售问题等量关系
【点评】
本题是销售类列方程的典型基础题，解题的关键是准确梳理降价幅度和销量增量的对应关系，易错点是计算新增销量时搞错单位降价对应的增量倍数。
【难度系数】
0.7
解题的核心是牢记销售额的计算公式：销售额 = 单件商品售价 × 销售总数量，我们分两步推导对应量再列方程：第一步先确定降价后的单件售价，原价45元，降价x元后售价为(45-x)元；第二步确定降价后的总销量，每降低0.5元销量增加5盒，降价x元时包含$\frac{x}{0.5}=2x$个0.5元，因此增加的销量为$2x×5=10x$盒，总销量为原本的100盒加新增的10x盒，最后结合总销售额为6000元即可列出方程。
【解析】
根据题意，列方程的等量关系为：降价后每盒售价 × 降价后每日总销量 = 每日总销售额6000元。
1. 降价x元后，每盒大礼包的售价为：$45 - x$ 元；
2. 计算降价后的总销量：每降价0.5元销量增加5盒，降价x元时新增销量为 $\frac{x}{0.5} × 5 = 10x$ 盒，因此每日总销量为 $100 + 10x$ 盒；
3. 代入等量关系可得方程：$(45 - x)(100 + 10x) = 6000$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 销售问题等量关系
【点评】
本题是销售类列方程的典型基础题，解题的关键是准确梳理降价幅度和销量增量的对应关系，易错点是计算新增销量时搞错单位降价对应的增量倍数。
【难度系数】
0.7
3. 有一个两位数等于其各数位上的数字之积的3倍，其十位上的数字比个位上的数字小2，求这个两位数。
答案
3. 解：设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为x-2，这个两位数为10(x-2)+x.
根据题意，得10(x-2)+x=3x(x-2)，
整理，得3x²-17x+20=0.
解得x₁=4，x₂=$\dfrac{5}{3}$(不符合题意，舍去).
当x=4时，10(x-2)+x=24.
答：这个两位数是24.
根据题意，得10(x-2)+x=3x(x-2)，
整理，得3x²-17x+20=0.
解得x₁=4，x₂=$\dfrac{5}{3}$(不符合题意，舍去).
当x=4时，10(x-2)+x=24.
答：这个两位数是24.
解析
【分析】
这是一道数字类的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字；2. 提取题目给出的两个等量关系：①十位数字=个位数字-2；②两位数=3×十位数字×个位数字；3. 设个位数字为x，用x表示出十位数字和对应的两位数；4. 根据第二个等量关系列方程求解，由于数位上的数字只能是0~9的整数，且十位数字不能为0，需舍去不符合实际意义的解；5. 将符合要求的解代入，计算出最终的两位数。
【解析】
解：设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为x-2，这个两位数可表示为10(x-2)+x。
根据题意列方程：
$10(x-2)+x=3x(x-2)$
整理得：
$3x^2-17x+20=0$
解得$x_1=4$，$x_2=\dfrac{5}{3}$。
由于数位上的数字必须为正整数，因此$x_2=\dfrac{5}{3}$不符合题意，舍去。
当$x=4$时，十位数字为$4-2=2$，这个两位数为$10×2+4=24$。
【答案】
24
【知识点】
一元二次方程的应用；两位数的表示；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，解题核心是正确掌握两位数的表示方法，精准提取题目中的等量关系列方程，求解后要注意结合数位数字的实际属性排除不符合要求的解，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字；2. 提取题目给出的两个等量关系：①十位数字=个位数字-2；②两位数=3×十位数字×个位数字；3. 设个位数字为x，用x表示出十位数字和对应的两位数；4. 根据第二个等量关系列方程求解，由于数位上的数字只能是0~9的整数，且十位数字不能为0，需舍去不符合实际意义的解；5. 将符合要求的解代入，计算出最终的两位数。
【解析】
解：设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为x-2，这个两位数可表示为10(x-2)+x。
根据题意列方程：
$10(x-2)+x=3x(x-2)$
整理得：
$3x^2-17x+20=0$
解得$x_1=4$，$x_2=\dfrac{5}{3}$。
由于数位上的数字必须为正整数，因此$x_2=\dfrac{5}{3}$不符合题意，舍去。
当$x=4$时，十位数字为$4-2=2$，这个两位数为$10×2+4=24$。
【答案】
24
【知识点】
一元二次方程的应用；两位数的表示；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，解题核心是正确掌握两位数的表示方法，精准提取题目中的等量关系列方程，求解后要注意结合数位数字的实际属性排除不符合要求的解，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
