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1. 下列运用等式的性质变形中,正确的是(
A.如果 $ a = b $,那么 $ a + c = b - c $
B.如果 $ 3a = 2b $,那么 $ \frac{2}{3}a = \frac{3}{2}b $
C.如果 $ ac^2 = bc^2 $,那么 $ a = b $
D.如果 $ a = b $,那么 $ \frac{a}{c^2 + 1} = \frac{b}{c^2 + 1} $
D
)A.如果 $ a = b $,那么 $ a + c = b - c $
B.如果 $ 3a = 2b $,那么 $ \frac{2}{3}a = \frac{3}{2}b $
C.如果 $ ac^2 = bc^2 $,那么 $ a = b $
D.如果 $ a = b $,那么 $ \frac{a}{c^2 + 1} = \frac{b}{c^2 + 1} $
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两条基本性质：1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再逐一对照每个选项的变形是否符合性质要求，重点注意做除法变形时，除数必须不为0，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们根据等式的性质逐一分析选项：
A选项：若$a = b$，根据等式性质1，两边需同时加或减同一个数，正确变形应为$a+c = b+c$或$a-c = b-c$，选项中左边加$c$、右边减$c$，变形错误。
B选项：若$3a = 2b$，根据等式性质2，两边需同时乘或除以同一个数，正确变形为两边除以3得$a = \frac{2}{3}b$，或两边除以2得$\frac{3}{2}a = b$，选项中两边乘的数不相同，变形错误。
C选项：若$ac^2 = bc^2$，当$c = 0$时，$c^2 = 0$，此时无论$a$、$b$取何值等式都成立，不能直接两边除以$c^2$得到$a = b$，变形错误。
D选项：因为$c^2 ≥ 0$，所以$c^2 + 1 ≥ 1$，恒不为0，根据等式性质2，$a = b$两边同时除以不为0的$c^2 + 1$，可得$\frac{a}{c^2 + 1} = \frac{b}{c^2 + 1}$，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质、平方的非负性
【点评】
本题是等式性质的常规考查题，易错点在于运用等式性质做除法变形时，容易忽略除数不能为0的要求，解题时需特别注意含平方的除数的取值范围，判断其是否可能为0。
【难度系数】
0.7
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两条基本性质：1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再逐一对照每个选项的变形是否符合性质要求，重点注意做除法变形时，除数必须不为0，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们根据等式的性质逐一分析选项：
A选项：若$a = b$，根据等式性质1，两边需同时加或减同一个数，正确变形应为$a+c = b+c$或$a-c = b-c$，选项中左边加$c$、右边减$c$，变形错误。
B选项：若$3a = 2b$，根据等式性质2，两边需同时乘或除以同一个数，正确变形为两边除以3得$a = \frac{2}{3}b$，或两边除以2得$\frac{3}{2}a = b$，选项中两边乘的数不相同，变形错误。
C选项：若$ac^2 = bc^2$，当$c = 0$时，$c^2 = 0$，此时无论$a$、$b$取何值等式都成立，不能直接两边除以$c^2$得到$a = b$，变形错误。
D选项：因为$c^2 ≥ 0$，所以$c^2 + 1 ≥ 1$，恒不为0，根据等式性质2，$a = b$两边同时除以不为0的$c^2 + 1$，可得$\frac{a}{c^2 + 1} = \frac{b}{c^2 + 1}$，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质、平方的非负性
【点评】
本题是等式性质的常规考查题，易错点在于运用等式性质做除法变形时，容易忽略除数不能为0的要求，解题时需特别注意含平方的除数的取值范围，判断其是否可能为0。
【难度系数】
0.7
2. 当$m=$
$\frac{5}{4}$
时，$5x^{6-4m} - 3 = 0$是关于$x$的一元一次方程。答案
2.$\frac{5}{4}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。本题中的方程已经满足只含x一个未知数、是整式方程的条件，因此只需令x的次数等于1，列出关于m的方程，求解即可得到m的值。
【解析】
根据一元一次方程的定义，未知数x的最高次数为1，因此可得：
$6 - 4m = 1$
移项得：$-4m = 1 - 6$
合并同类项得：$-4m = -5$
系数化为1得：$m = \frac{5}{4}$
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
一元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的核心是抓住一元一次方程中未知数次数为1的特征列方程求解，掌握基本定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。本题中的方程已经满足只含x一个未知数、是整式方程的条件，因此只需令x的次数等于1，列出关于m的方程，求解即可得到m的值。
【解析】
根据一元一次方程的定义，未知数x的最高次数为1，因此可得：
$6 - 4m = 1$
移项得：$-4m = 1 - 6$
合并同类项得：$-4m = -5$
系数化为1得：$m = \frac{5}{4}$
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
一元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的核心是抓住一元一次方程中未知数次数为1的特征列方程求解，掌握基本定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
3. 解下列方程：
(1) $3(x - 1) + 2(x + 1) = -6$；
(2) $\frac{2x + 1}{3} - \frac{5x - 1}{6} = 1$；
(3) $x - \frac{x - 1}{2} = \frac{2}{3} - \frac{x + 2}{3}$。
(1) $3(x - 1) + 2(x + 1) = -6$；
(2) $\frac{2x + 1}{3} - \frac{5x - 1}{6} = 1$；
(3) $x - \frac{x - 1}{2} = \frac{2}{3} - \frac{x + 2}{3}$。
答案
3. (1)$x = - 1$ (2)$x = - 3$ (3)$x = - \frac{3}{5}$
解析
【分析】
这三道题均为一元一次方程求解，解一元一次方程的通用步骤为：有分母先去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。解题需注意：去分母时不要漏乘不含分母的常数项，去括号时若括号前为负号，括号内每一项都要变号，移项时移动的项也要改变符号。
【解析】
(1) 解：
去括号，得 $3x - 3 + 2x + 2 = -6$
合并同类项，得 $5x - 1 = -6$
移项，得 $5x = -6 + 1$
计算得 $5x = -5$
系数化为1，得 $x = -1$
(2) 解：
去分母，方程两边同时乘6，得 $2(2x+1) - (5x - 1) = 6$
去括号，得 $4x + 2 - 5x + 1 = 6$
合并同类项，得 $-x + 3 = 6$
移项，得 $-x = 6 - 3$
计算得 $-x = 3$
系数化为1，得 $x = -3$
(3) 解：
去分母，方程两边同时乘6，得 $6x - 3(x - 1) = 4 - 2(x + 2)$
去括号，得 $6x - 3x + 3 = 4 - 2x - 4$
合并同类项，得 $3x + 3 = -2x$
移项，得 $3x + 2x = -3$
合并同类项，得 $5x = -3$
系数化为1，得 $x = -\frac{3}{5}$
【答案】
(1)$x = - 1$；(2)$x = - 3$；(3)$x = - \frac{3}{5}$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号法则、等式的性质
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考察解方程的规范步骤和细节，熟练掌握运算规则、注意符号变化即可正确解答。
【难度系数】
0.8
这三道题均为一元一次方程求解，解一元一次方程的通用步骤为：有分母先去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。解题需注意：去分母时不要漏乘不含分母的常数项，去括号时若括号前为负号，括号内每一项都要变号，移项时移动的项也要改变符号。
【解析】
(1) 解：
去括号，得 $3x - 3 + 2x + 2 = -6$
合并同类项，得 $5x - 1 = -6$
移项，得 $5x = -6 + 1$
计算得 $5x = -5$
系数化为1，得 $x = -1$
(2) 解：
去分母，方程两边同时乘6，得 $2(2x+1) - (5x - 1) = 6$
去括号，得 $4x + 2 - 5x + 1 = 6$
合并同类项，得 $-x + 3 = 6$
移项，得 $-x = 6 - 3$
计算得 $-x = 3$
系数化为1，得 $x = -3$
(3) 解：
去分母，方程两边同时乘6，得 $6x - 3(x - 1) = 4 - 2(x + 2)$
去括号，得 $6x - 3x + 3 = 4 - 2x - 4$
合并同类项，得 $3x + 3 = -2x$
移项，得 $3x + 2x = -3$
合并同类项，得 $5x = -3$
系数化为1，得 $x = -\frac{3}{5}$
【答案】
(1)$x = - 1$；(2)$x = - 3$；(3)$x = - \frac{3}{5}$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号法则、等式的性质
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考察解方程的规范步骤和细节，熟练掌握运算规则、注意符号变化即可正确解答。
【难度系数】
0.8
4. 某蔬菜公司收购到某种蔬菜104 t，准备加工后上市销售.该公司加工该种蔬菜的能力是每天可以精加工4 t或粗加工8 t.现计划用16天正好完成加工任务，则该公司应安排几天精加工，几天粗加工？
学习盘点
学习盘点
答案
4. 解:设该公司安排$x$天粗加工,安排$(16 - x)$天精加工. 根据题意,得$8x + 4(16 - x) = 104$. 解得$x = 10$. 所以$16 - x = 6$. 答:该公司安排6天精加工,10天粗加工.
解析
【分析】
这是一道一元一次方程实际应用类题目，解题时首先审题梳理已知条件：①总加工蔬菜重量为104t，②总加工计划时长为16天，③精加工每天可加工4t、粗加工每天可加工8t。我们可以提炼出两组等量关系：第一组是“粗加工天数+精加工天数=16天”，第二组是“粗加工总重量+精加工总重量=104t”。解题时先设其中一类加工的时长为未知数，利用第一组等量关系用含未知数的式子表示另一类加工的时长，再代入第二组等量关系列方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设该公司安排$x$天粗加工，则安排精加工的天数为$(16 - x)$天。
根据粗加工总重量与精加工总重量之和等于蔬菜总重量，列方程得：
$8x + 4(16 - x) = 104$
展开计算：$8x + 64 - 4x = 104$
合并同类项：$4x + 64 = 104$
移项计算：$4x = 104 - 64$
$4x = 40$
解得：$x = 10$
则精加工天数为$16 - x = 16 - 10 = 6$（天）
【答案】
该公司应安排6天精加工，10天粗加工。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 实际问题等量分析
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，解题核心是准确找到总量对应的等量关系，合理设未知数、列方程求解，掌握这类题型能为后续解决更复杂的实际应用题打好基础。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程实际应用类题目，解题时首先审题梳理已知条件：①总加工蔬菜重量为104t，②总加工计划时长为16天，③精加工每天可加工4t、粗加工每天可加工8t。我们可以提炼出两组等量关系：第一组是“粗加工天数+精加工天数=16天”，第二组是“粗加工总重量+精加工总重量=104t”。解题时先设其中一类加工的时长为未知数，利用第一组等量关系用含未知数的式子表示另一类加工的时长，再代入第二组等量关系列方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设该公司安排$x$天粗加工，则安排精加工的天数为$(16 - x)$天。
根据粗加工总重量与精加工总重量之和等于蔬菜总重量，列方程得：
$8x + 4(16 - x) = 104$
展开计算：$8x + 64 - 4x = 104$
合并同类项：$4x + 64 = 104$
移项计算：$4x = 104 - 64$
$4x = 40$
解得：$x = 10$
则精加工天数为$16 - x = 16 - 10 = 6$（天）
【答案】
该公司应安排6天精加工，10天粗加工。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 实际问题等量分析
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，解题核心是准确找到总量对应的等量关系，合理设未知数、列方程求解，掌握这类题型能为后续解决更复杂的实际应用题打好基础。
【难度系数】
0.8
通过本章的学习,你对一元一次方程的解法及利用一元一次方程解决实际问题,有哪些收获?还有什么疑问?
答案
解：
收获：
1. 掌握了解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、将未知数的系数化为1，同时明确了每一步的注意事项：去分母时不要漏乘不含分母的项，去括号时若括号前是负号，括号内所有项都要变号，移项必须改变符号。
2. 学会了用一元一次方程解决实际问题的思路：先分析实际问题里的数量关系，找到核心的等量关系，设出合适的未知数，根据等量关系列出一元一次方程，求解后检验方程的解是否符合实际意义，再得到最终答案。用方程解题可以让未知量直接参与列式，相比算术方法，处理复杂实际问题时思路更清晰直观。
疑问：
部分等量关系非常隐蔽的行程、工程类实际问题，有没有更快捷的方法快速定位等量关系；有没有特殊形式的一元一次方程，可以不按常规五步步骤求解，得到更简便的解法。
收获：
1. 掌握了解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、将未知数的系数化为1，同时明确了每一步的注意事项：去分母时不要漏乘不含分母的项，去括号时若括号前是负号，括号内所有项都要变号，移项必须改变符号。
2. 学会了用一元一次方程解决实际问题的思路：先分析实际问题里的数量关系，找到核心的等量关系，设出合适的未知数，根据等量关系列出一元一次方程，求解后检验方程的解是否符合实际意义，再得到最终答案。用方程解题可以让未知量直接参与列式，相比算术方法，处理复杂实际问题时思路更清晰直观。
疑问：
部分等量关系非常隐蔽的行程、工程类实际问题，有没有更快捷的方法快速定位等量关系；有没有特殊形式的一元一次方程，可以不按常规五步步骤求解，得到更简便的解法。
解析
【分析】
这是一道章节总结类开放性题目，解题时可从两大方向梳理内容：首先回顾本章核心的一元一次方程解法相关内容，整理解一元一次方程的步骤、每一步的注意事项作为收获；其次梳理用一元一次方程解决实际问题的完整流程，对比算术方法总结方程解题的优势。再结合自己平时练习时遇到的难点，提出真实合理的疑问即可，内容符合本章所学知识、言之有理就符合要求。
【解析】
梳理收获时可围绕两个核心模块展开：第一模块聚焦一元一次方程的解法，明确解一元一次方程的标准步骤和各步骤的易错点；第二模块聚焦实际应用，梳理列方程解应用题的完整流程，体会方程方法对比算术方法的优势。提出疑问时可结合自己做题时的常见困惑，比如复杂应用题的等量关系怎么找、有没有更简便的解方程方法等，内容合理即可。
【答案】
收获：
1. 掌握了解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、将未知数的系数化为1，同时明确了每一步的注意事项：去分母时不要漏乘不含分母的项，去括号时若括号前是负号，括号内所有项都要变号，移项必须改变符号。
2. 学会了用一元一次方程解决实际问题的思路：先分析实际问题里的数量关系，找到核心的等量关系，设出合适的未知数，根据等量关系列出一元一次方程，求解后检验方程的解是否符合实际意义，再得到最终答案。用方程解题可以让未知量直接参与列式，相比算术方法，处理复杂实际问题时思路更清晰直观。
疑问：
部分等量关系非常隐蔽的行程、工程类实际问题，有没有更快捷的方法快速定位等量关系；有没有特殊形式的一元一次方程，可以不按常规五步步骤求解，得到更简便的解法。
【知识点】
1.一元一次方程的解法
2.一元一次方程的实际应用
【点评】
本题为开放性总结题，重在引导学生自主梳理知识体系，反思学习过程中存在的问题，既能够帮助学生巩固核心知识点，也能让学生明确后续的学习提升方向，答案不唯一，言之有理即可。
【难度系数】
0.8
这是一道章节总结类开放性题目，解题时可从两大方向梳理内容：首先回顾本章核心的一元一次方程解法相关内容，整理解一元一次方程的步骤、每一步的注意事项作为收获；其次梳理用一元一次方程解决实际问题的完整流程，对比算术方法总结方程解题的优势。再结合自己平时练习时遇到的难点，提出真实合理的疑问即可，内容符合本章所学知识、言之有理就符合要求。
【解析】
梳理收获时可围绕两个核心模块展开：第一模块聚焦一元一次方程的解法，明确解一元一次方程的标准步骤和各步骤的易错点；第二模块聚焦实际应用，梳理列方程解应用题的完整流程，体会方程方法对比算术方法的优势。提出疑问时可结合自己做题时的常见困惑，比如复杂应用题的等量关系怎么找、有没有更简便的解方程方法等，内容合理即可。
【答案】
收获：
1. 掌握了解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、将未知数的系数化为1，同时明确了每一步的注意事项：去分母时不要漏乘不含分母的项，去括号时若括号前是负号，括号内所有项都要变号，移项必须改变符号。
2. 学会了用一元一次方程解决实际问题的思路：先分析实际问题里的数量关系，找到核心的等量关系，设出合适的未知数，根据等量关系列出一元一次方程，求解后检验方程的解是否符合实际意义，再得到最终答案。用方程解题可以让未知量直接参与列式，相比算术方法，处理复杂实际问题时思路更清晰直观。
疑问：
部分等量关系非常隐蔽的行程、工程类实际问题，有没有更快捷的方法快速定位等量关系；有没有特殊形式的一元一次方程，可以不按常规五步步骤求解，得到更简便的解法。
【知识点】
1.一元一次方程的解法
2.一元一次方程的实际应用
【点评】
本题为开放性总结题，重在引导学生自主梳理知识体系，反思学习过程中存在的问题，既能够帮助学生巩固核心知识点，也能让学生明确后续的学习提升方向，答案不唯一，言之有理即可。
【难度系数】
0.8
