1. 已知$a = b + 2021$，求$\frac{2}{a-b} · \frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2} ÷ \frac{1}{a^2 - b^2}$的值.

1. 原式$=2(a-b)$.
∵ $a=b+2\ 021$,
∴ $a-b=2\ 021$.
∴ 原式$=2×2\ 021=4\ 042$.

【分析】
这是一道分式化简求值类题目，解题时遵循“先化简，再求值”的思路可大幅降低运算量：第一步先处理分式运算，按照分式乘除运算法则，先将除法转化为乘法，再对分子分母中的多项式用乘法公式因式分解，通过约分得到最简代数式；第二步根据已知的a、b关系求出a-b的值，代入最简式即可算出最终结果。
【解析】
解：先对原式进行化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{a-b} · \frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2} ÷ \frac{1}{a^2 - b^2}\\&=\frac{2}{a-b} · \frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)^2} · (a^2-b^2) \quad \mathrm{（除法变乘法，对多项式因式分解）}\\&=\frac{2}{a-b} · \frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)^2} · (a-b)(a+b) \quad \mathrm{（拆分}a^2-b^2=(a-b)(a+b)\mathrm{）}\\&=2(a-b) \quad \mathrm{（约分化简得到最简结果）}\end{aligned}$
已知$a = b + 2021$，移项可得$a - b = 2021$，将其代入最简式：
原式$=2×2021 = 4042$
【答案】
4042
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；代数式求值
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，解题核心是熟练运用平方差公式、完全平方公式完成因式分解，结合分式乘除运算法则约分化简，避免直接代入数值产生的复杂运算，考查学生对基础运算规则的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8

2. 先化简,再求值:$\dfrac{a^2 - 3a}{a^2 + a} ÷ \dfrac{a - 3}{a^2 - 1} · \dfrac{a + 1}{a - 1}$,其中$a=-3$.

2. 原式$=a+1$.
当$a=-3$时,原式$=-3+1=-2$.

【分析】
本题为分式化简求值类题目，解题可按以下思路推进：首先处理分式的乘除混合运算，先根据分式除法法则，将所有除法转化为乘法运算；再对每个分式的分子、分母进行因式分解，可采用提公因式法分解一次多项式，用平方差公式分解符合形式的二次多项式；随后约去分子与分母中相同的公因式，得到最简结果；最后将给定的a值代入最简式计算即可得到最终数值。
【解析】
解：先将除法转化为乘法，再对各部分因式分解：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{a^2 - 3a}{a^2 + a} × \dfrac{a^2 - 1}{a - 3} × \dfrac{a + 1}{a - 1}\\&=\dfrac{a(a - 3)}{a(a + 1)} × \dfrac{(a + 1)(a - 1)}{a - 3} × \dfrac{a + 1}{a - 1}\\\end{aligned}$
约去分子分母的公因式$a、a-3、a+1、a-1$，可得化简结果为$a+1$。
将$a=-3$代入化简后的式子：
原式$=-3+1=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式乘除混合运算、因式分解、代数式求值
【点评】
本题属于分式运算的基础常考题型，重点考察分式乘除运算法则的应用，解题的关键是先统一运算为乘法，再准确因式分解后彻底约分，计算时需注意避免符号及约分错误。
【难度系数】
0.8

3. 计算$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x+1}{x-1} · \frac{1-x}{x+1}$，下列解答过程是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若不正确，请指出错误的原因，并纠正.
解：原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} ÷ (-1) = \frac{1+x}{1-x}.$

3. 不正确. 理由:乘除是同一级运算,应按从左到右的顺序进行计算.
正确的解法如下：
原式$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{x+1} · \dfrac{1-x}{x+1} =\dfrac{1-x}{1+x}$.

【分析】
要判断给定解答是否正确，首先需明确分式乘除混合运算的规则：乘除属于同级运算，需按从左到右的顺序依次计算，且除法要先转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数）。原解答违背运算顺序，优先计算了右侧两个分式的乘积，因此是错误的。解题时先指出错误原因，再按正确顺序，先把除法转化为乘法，再对分子分母因式分解后约分，就能得到正确结果。
【解析】
原解答不正确，错误原因：乘除是同一级运算，应按从左到右的顺序进行计算，原解答未遵循运算顺序，优先计算$\frac{x+1}{x-1}·\frac{1-x}{x+1}$，导致结果错误。
正确计算过程如下：
1. 将除法转化为乘法：
原式$=\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} · \frac{x-1}{x+1} · \frac{1-x}{x+1}$
2. 对各分式的分子、分母因式分解：
$=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{x+1} · \frac{1-x}{x+1}$
3. 约分计算：
分子的$(x+1)$与分母的$(x+1)$约去，分子的$(x-1)·(x-1)$与分母的$(x-1)^2$约去，最终得$\frac{1-x}{x+1}$。
【答案】
不正确，错误原因为乘除是同一级运算，应按从左到右的顺序进行计算。正确结果为$\boldsymbol{\dfrac{1-x}{1+x}}$。
【知识点】
分式乘除混合运算、分式约分、同级运算顺序
【点评】
本题考查分式乘除混合运算的运算规则，易错点是忽略同级运算从左到右的顺序，擅自调整运算步骤导致错误。计算时先将所有除法统一为乘法，再通过因式分解、约分简化计算，可有效降低出错率。
【难度系数】
0.6

4. 已知实数$x,y$满足$|x-3|+y^2-4y+4=0$，求$\frac{x^2 - y^2}{xy} · \frac{1}{x^2 - 2xy + y^2} ÷ \frac{x}{x^2 y - xy^2}$的值。

4.
∵ $|x-3|+y^2-4y+4=0$,
∴ $|x-3|+(y-2)^2=0$.
又 $|x-3|≥0,(y-2)^2≥0$,
∴ $|x-3|=0,(y-2)^2=0$,
即 $x-3=0,y-2=0$. 解得 $x=3,y=2$.
原式$=\dfrac{(x+y)(x-y)}{xy} · \dfrac{1}{(x-y)^2} · \dfrac{xy(x-y)}{x} =\dfrac{x+y}{x}$.
当 $x=3,y=2$ 时,原式$=\dfrac{3+2}{3}=\dfrac{5}{3}$.

【分析】
解题分为两个步骤：首先，观察已知等式，可将含y的二次三项式配方为完全平方形式，根据绝对值和平方的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，即可求出x、y的值；其次，处理分式运算时，先将除法转化为乘法，再对各分式的分子、分母进行因式分解，通过约分化简为最简形式，最后代入x、y的值计算即可，先化简再求值能大幅降低计算量，避免出错。
【解析】
首先化简已知等式：
∵ $|x-3|+y^2-4y+4=0$,
∴ $|x-3|+(y-2)^2=0$.
又
∵ $|x-3|≥0$，$(y-2)^2≥0$,
∴ $|x-3|=0$，$(y-2)^2=0$,
即 $x-3=0$，$y-2=0$，解得 $x=3$，$y=2$.
再化简分式原式：
$\frac{x^2 - y^2}{xy} · \frac{1}{x^2 - 2xy + y^2} ÷ \frac{x}{x^2 y - xy^2}$
先将除法转化为乘法，再对多项式因式分解：
$=\frac{(x+y)(x-y)}{xy} · \frac{1}{(x-y)^2} · \frac{xy(x-y)}{x}$
约分后可得：
$=\frac{x+y}{x}$
将$x=3$，$y=2$代入化简后的式子：
原式$=\frac{3+2}{3}=\frac{5}{3}$
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
非负数的性质，分式乘除运算，因式分解
【点评】
本题综合考查了非负数的应用与分式的混合运算，解题核心是先通过非负性确定未知数的值，再遵循分式运算规则先化简后代入求值，化简过程中要注意因式分解的正确性，以及约分时相同因式不能遗漏。
【难度系数】
0.7

5. 计算：$(-\dfrac{x^2}{y})^2 · (-\dfrac{y^2}{x})^3 ÷ (-x)^4.$

5. $-\dfrac{y^4}{x^3}$

【分析】
本题是分式的乘方与乘除混合运算题，解题时先遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除。首先根据分式乘方法则（分子分母分别乘方）、负数的幂的符号规律（偶次幂为正，奇次幂为负）计算每个乘方项的结果，再将除法转化为乘法，最后按照分式乘法法则约分，结合同底数幂的乘除运算法则计算出最终结果，运算过程中要优先判断符号，避免符号错误。
【解析】
解：先计算各乘方项：
$(-\dfrac{x^2}{y})^2 = \dfrac{(x^2)^2}{y^2} = \dfrac{x^4}{y^2}$（负数的偶次幂为正，分子分母分别乘方）
$(-\dfrac{y^2}{x})^3 = -\dfrac{(y^2)^3}{x^3} = -\dfrac{y^6}{x^3}$（负数的奇次幂为负，分子分母分别乘方）
$(-x)^4 = x^4$（负数的偶次幂为正）
将乘方结果代入原式，把除法转化为乘法：
原式$= \dfrac{x^4}{y^2} · (-\dfrac{y^6}{x^3}) · \dfrac{1}{x^4}$
先确定符号：仅第二个因式带负号，最终结果为负，再约分计算：
$= -\dfrac{x^4 · y^6}{y^2 · x^3 · x^4}$
$= -\dfrac{y^{6-2}}{x^{3+4-4}}$
$= -\dfrac{y^4}{x^3}$
【答案】
$-\dfrac{y^4}{x^3}$
【知识点】
分式的乘方、分式乘除运算、同底数幂的运算
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，核心考查运算顺序和运算法则的应用，解题的易错点是乘方运算时符号判断错误，以及同底数幂运算时指数计算出错，熟练掌握相关法则、运算时细心即可得分。
【难度系数】
0.7

6. 计算: $(-\dfrac{a^2b}{c})^2 · (-\dfrac{c^2}{a^2}) ÷ (-\dfrac{bc}{a})^4$

6. $-\dfrac{a^6}{b^2c^4}$

【分析】
本题属于分式的乘方与乘除混合运算题，解题遵循先乘方、再乘除的运算顺序。首先利用分式乘方法则（分子分母分别乘方，结合负数的乘方符号规律：偶次幂为正，奇次幂为负）计算每个乘方项，再将除法运算转化为乘法运算，最后通过约分、结合同底数幂的乘除运算法则化简得到最简结果，运算过程中要优先确定整体符号，避免符号错误。
【解析】
解：先计算各乘方项：
$(-\dfrac{a^2b}{c})^2=\dfrac{(a^2b)^2}{c^2}=\dfrac{a^4b^2}{c^2}$，
$(-\dfrac{bc}{a})^4=\dfrac{(bc)^4}{a^4}=\dfrac{b^4c^4}{a^4}$，
将乘方结果代入原式，同时把除法转化为乘法：
$\mathrm{原式}=\dfrac{a^4b^2}{c^2} · (-\dfrac{c^2}{a^2}) · \dfrac{a^4}{b^4c^4}$
先确定符号：仅含1个负因数，故结果为负，再合并分子、分母的因式：
$=-\dfrac{a^4b^2 · c^2 · a^4}{c^2 · a^2 · b^4c^4}$
根据同底数幂运算法则约分：
a的指数：$4+4-2=6$，
b的指数：$2-4=-2$（即分母含$b^2$），
c的指数：$2-(2+4)=-4$（即分母含$c^4$），
化简得：$=-\dfrac{a^6}{b^2c^4}$
【答案】
$-\dfrac{a^6}{b^2c^4}$
【知识点】
分式乘方法则，分式乘除混合运算，幂的运算性质
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，核心考察运算顺序和符号判断，解题时要注意先算乘方再算乘除，将除法转化为乘法后再约分，运算过程中要准确计算幂的指数，避免因符号或指数计算错误失分。
【难度系数】
0.7

7. 计算：
(1) $(\dfrac{2ab^3}{-c^2d})^2 ÷ \dfrac{6a^2}{b^3} · (\dfrac{-3c}{b^2})^3$；
(2) $(-\dfrac{a}{b})^2 · (\dfrac{b}{a^2})^2 ÷ (-2ab)^2$；
(3) $\dfrac{2x-6}{x^2-4x+4} ÷ $$ · (\dfrac{x-2}{x+2})^2$；

7. (1) $-\dfrac{18b^3}{cd^2}$
(2) $\dfrac{1}{4a^4b^2}$
(3) $-\dfrac{8x-16}{x+2}$

【分析】
分式的乘方、乘除混合运算遵循以下解题思路：①先算乘方，按照分式乘方法则，分子、分母分别乘方，注意符号的处理；②再将除法运算统一转化为乘法运算，除以一个分式等于乘它的倒数；③对分子、分母中的多项式先进行因式分解；④最后约分化简，将所有分子的乘积作为结果的分子，所有分母的乘积作为结果的分母，最终化为最简分式即可。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(2ab^3)^2}{(-c^2d)^2} ÷ \frac{6a^2}{b^3} · \frac{(-3c)^3}{(b^2)^3}\\&=\frac{4a^2b^6}{c^4d^2} · \frac{b^3}{6a^2} · \frac{-27c^3}{b^6}\\&=\frac{4a^2b^6 · b^3 · (-27c^3)}{c^4d^2 · 6a^2 · b^6}\\&=-\frac{18b^3}{cd^2}\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，再统一转化为乘法运算约分化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a^2}{b^2} · \frac{b^2}{a^4} ÷ (4a^2b^2)\\&=\frac{a^2}{b^2} · \frac{b^2}{a^4} · \frac{1}{4a^2b^2}\\&=\frac{a^2b^2}{b^2 · a^4 · 4a^2b^2}\\&=\frac{1}{4a^4b^2}\end{aligned}$
(3) 先对多项式因式分解，再转化为乘法运算约分化简：
先因式分解：$2x-6=2(x-3)$，$x^2-4x+4=(x-2)^2$，$4x^2-16=4(x^2-4)=4(x+2)(x-2)$，$3-x=-(x-3)$
$\begin{aligned}原式&=\frac{2(x-3)}{(x-2)^2} ÷ \frac{-(x-3)}{4(x+2)(x-2)} · \frac{(x-2)^2}{(x+2)^2}\\&=\frac{2(x-3)}{(x-2)^2} · \frac{4(x+2)(x-2)}{-(x-3)} · \frac{(x-2)^2}{(x+2)^2}\\&=\frac{2(x-3) · 4(x+2)(x-2) · (x-2)^2}{(x-2)^2 · [-(x-3)] · (x+2)^2}\\&=-\frac{8(x-2)}{x+2}\\&=-\frac{8x-16}{x+2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{18b^3}{cd^2}$；(2) $\dfrac{1}{4a^4b^2}$；(3) $-\dfrac{8x-16}{x+2}$
【知识点】
分式乘方运算；分式乘除混合运算；因式分解
【点评】
本题考查分式的乘方及乘除混合运算，运算时需严格遵循先乘方、再乘除的顺序，要特别注意负号的处理，对分子分母中的多项式先因式分解再约分，能有效简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7