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11. [2026潮汕期末]如图①，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图②的无盖纸盒，若该纸盒的容积为$4a^2b$，则图②中纸盒底部长方形的周长为 （
A.$4ab$
B.$8ab$
C.$4a+b$
D.$8a+2b$
D
）A.$4ab$
B.$8ab$
C.$4a+b$
D.$8a+2b$
答案
11.D
解析
【分析】
要解决本题，首先明确无盖长方体纸盒的容积计算方式为“容积=底面积×高”。首先确定纸盒的高就是切去的正方形的边长a，结合已知的容积，先通过整式除法求出纸盒的底面积；再观察图形得到纸盒底部的一条边长为b，用底面积除以该边长得到底部的另一条边长，最后代入长方形周长公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 确定纸盒的高：由于四角切去的是边长为a的正方形，因此折成的无盖纸盒的高为$a$。
2. 计算纸盒底面积：根据长方体容积公式$V=S_{\mathrm{底}}× h$，已知容积$V=4a^2b$，高$h=a$，可得底面积：
$S_{\mathrm{底}}=V÷ h=4a^2b÷ a=4ab$
3. 求底部长方形的另一条边长：由图可知纸盒底部的一条边长为$b$，设另一条边长为$x$，根据长方形面积公式$S_{\mathrm{底}}=b· x$，得：
$x=S_{\mathrm{底}}÷ b=4ab÷ b=4a$
4. 计算底部长方形的周长：根据周长公式$C=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，代入边长得：
$C=2×(4a + b)=8a+2b$
【答案】
D
【知识点】
整式的除法，长方体容积计算，长方形周长计算
【点评】
本题将立体展开图与整式运算结合考查，解题关键是理清纸盒各部分长度的对应关系，熟练掌握相关公式和整式除法的运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确无盖长方体纸盒的容积计算方式为“容积=底面积×高”。首先确定纸盒的高就是切去的正方形的边长a，结合已知的容积，先通过整式除法求出纸盒的底面积；再观察图形得到纸盒底部的一条边长为b，用底面积除以该边长得到底部的另一条边长，最后代入长方形周长公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 确定纸盒的高：由于四角切去的是边长为a的正方形，因此折成的无盖纸盒的高为$a$。
2. 计算纸盒底面积：根据长方体容积公式$V=S_{\mathrm{底}}× h$，已知容积$V=4a^2b$，高$h=a$，可得底面积：
$S_{\mathrm{底}}=V÷ h=4a^2b÷ a=4ab$
3. 求底部长方形的另一条边长：由图可知纸盒底部的一条边长为$b$，设另一条边长为$x$，根据长方形面积公式$S_{\mathrm{底}}=b· x$，得：
$x=S_{\mathrm{底}}÷ b=4ab÷ b=4a$
4. 计算底部长方形的周长：根据周长公式$C=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，代入边长得：
$C=2×(4a + b)=8a+2b$
【答案】
D
【知识点】
整式的除法，长方体容积计算，长方形周长计算
【点评】
本题将立体展开图与整式运算结合考查，解题关键是理清纸盒各部分长度的对应关系，熟练掌握相关公式和整式除法的运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.7
12. [2026 芜湖期末]已知$ A=-4x^2 $，B是多项式，在计算$ B+A $时，小马虎同学把$ B+A $看成了$ B · A $，结果得$ 32x^5 -16x^4 $，则$ B+A $的值为（
A.$ -8x^3 +4x^2 $
B.$ -8x^3 +8x^2 $
C.$ -8x^3 $
D.$ x^2 -3x +1 $
C
）A.$ -8x^3 +4x^2 $
B.$ -8x^3 +8x^2 $
C.$ -8x^3 $
D.$ x^2 -3x +1 $
答案
12.C
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的错误运算关系：小马虎计算的是$B· A$，得到结果为$32x^5 - 16x^4$，且已知$A=-4x^2$。我们的核心思路是先根据“因数=积÷另一个因数”，用错误运算的乘积除以A求出多项式B，再将B和A代入正确的运算$B+A$计算即可得到结果。
【解析】
由题意可知：$B· A=32x^5 - 16x^4$，且$A=-4x^2$
第一步：求多项式B
$B=(32x^5 - 16x^4)÷(-4x^2)$
根据整式除法运算法则分别计算：
$32x^5÷(-4x^2)=-8x^3$，$-16x^4÷(-4x^2)=4x^2$
因此$B=-8x^3 + 4x^2$
第二步：计算$B+A$
将$B=-8x^3 + 4x^2$，$A=-4x^2$代入得：
$B+A=(-8x^3 + 4x^2)+(-4x^2)=-8x^3 + 4x^2 -4x^2=-8x^3$
【答案】
C
【知识点】
整式的除法；整式的加减
【点评】
本题解题的关键是利用错误的运算结果反向推导未知多项式，计算过程中要注意整式除法和加减运算的符号规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目给出的错误运算关系：小马虎计算的是$B· A$，得到结果为$32x^5 - 16x^4$，且已知$A=-4x^2$。我们的核心思路是先根据“因数=积÷另一个因数”，用错误运算的乘积除以A求出多项式B，再将B和A代入正确的运算$B+A$计算即可得到结果。
【解析】
由题意可知：$B· A=32x^5 - 16x^4$，且$A=-4x^2$
第一步：求多项式B
$B=(32x^5 - 16x^4)÷(-4x^2)$
根据整式除法运算法则分别计算：
$32x^5÷(-4x^2)=-8x^3$，$-16x^4÷(-4x^2)=4x^2$
因此$B=-8x^3 + 4x^2$
第二步：计算$B+A$
将$B=-8x^3 + 4x^2$，$A=-4x^2$代入得：
$B+A=(-8x^3 + 4x^2)+(-4x^2)=-8x^3 + 4x^2 -4x^2=-8x^3$
【答案】
C
【知识点】
整式的除法；整式的加减
【点评】
本题解题的关键是利用错误的运算结果反向推导未知多项式，计算过程中要注意整式除法和加减运算的符号规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
13. 新考法 定义新运算符号“★”：$m★n = m^2n + n$，则$(2x★y)÷y = \_\_\_\_\_\_$
答案
13.$4x^2+1$
解析
【分析】
解题时首先要明确新运算符号“★”的运算规则，第一步先将$m=2x$、$n=y$代入新运算公式求出$2x★y$的表达式，第二步再根据多项式除以单项式的运算法则计算该式除以$y$的结果，计算过程中要注意乘方运算的正确性。
【解析】
1. 根据新运算规则$m★n = m^2n + n$，代入$m=2x$，$n=y$，可得：
$\begin{aligned}2x★y&=(2x)^2· y + y\\&=4x^2y + y\end{aligned}$
2. 计算$(2x★y)÷ y$，按照多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以$y$：
$\begin{aligned}(4x^2y + y)÷ y&=4x^2y÷ y + y÷ y\\&=4x^2 + 1\end{aligned}$
【答案】
$4x^2+1$
【知识点】
定义新运算，多项式除以单项式，积的乘方
【点评】
本题结合新定义运算考查整式的运算能力，解题的核心是准确理解新运算的规则，代入后按照整式运算的法则逐步计算即可，属于基础题型，计算时需注意乘方运算不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确新运算符号“★”的运算规则，第一步先将$m=2x$、$n=y$代入新运算公式求出$2x★y$的表达式，第二步再根据多项式除以单项式的运算法则计算该式除以$y$的结果，计算过程中要注意乘方运算的正确性。
【解析】
1. 根据新运算规则$m★n = m^2n + n$，代入$m=2x$，$n=y$，可得：
$\begin{aligned}2x★y&=(2x)^2· y + y\\&=4x^2y + y\end{aligned}$
2. 计算$(2x★y)÷ y$，按照多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以$y$：
$\begin{aligned}(4x^2y + y)÷ y&=4x^2y÷ y + y÷ y\\&=4x^2 + 1\end{aligned}$
【答案】
$4x^2+1$
【知识点】
定义新运算，多项式除以单项式，积的乘方
【点评】
本题结合新定义运算考查整式的运算能力，解题的核心是准确理解新运算的规则，代入后按照整式运算的法则逐步计算即可，属于基础题型，计算时需注意乘方运算不要出错。
【难度系数】
0.8
14. 运算能力 先化简，再求值：$[(2a - b)^2 - (2a + b)(2a - b)] ÷ \frac{1}{2}b$，其中$|a - 1| + (b + 2)^2 = 0$
答案
解：
先化简原式：
$\begin{aligned}&[(2a - b)^2 - (2a + b)(2a - b)] ÷ \frac{1}{2}b\\=&[4a^2 -4ab +b^2 -(4a^2 -b^2)] · \frac{2}{b}\\=&(4a^2 -4ab +b^2 -4a^2 +b^2) · \frac{2}{b}\\=&(-4ab + 2b^2) · \frac{2}{b}\\=&-8a +4b\end{aligned}$
因为$|a-1| ≥ 0$，$(b+2)^2 ≥ 0$，且$|a-1| + (b+2)^2 = 0$，
所以$a-1=0$，$b+2=0$，
解得$a=1$，$b=-2$。
将$a=1$，$b=-2$代入$-8a+4b$：
原式$=-8×1 +4×(-2) = -16$。
先化简原式：
$\begin{aligned}&[(2a - b)^2 - (2a + b)(2a - b)] ÷ \frac{1}{2}b\\=&[4a^2 -4ab +b^2 -(4a^2 -b^2)] · \frac{2}{b}\\=&(4a^2 -4ab +b^2 -4a^2 +b^2) · \frac{2}{b}\\=&(-4ab + 2b^2) · \frac{2}{b}\\=&-8a +4b\end{aligned}$
因为$|a-1| ≥ 0$，$(b+2)^2 ≥ 0$，且$|a-1| + (b+2)^2 = 0$，
所以$a-1=0$，$b+2=0$，
解得$a=1$，$b=-2$。
将$a=1$，$b=-2$代入$-8a+4b$：
原式$=-8×1 +4×(-2) = -16$。
解析
【分析】
解题可分三步开展：第一步化简整式，观察原式中括号内的结构，先分别用完全平方公式展开$(2a-b)^2$、用平方差公式计算$(2a+b)(2a-b)$，再去括号合并同类项，随后将除法转换为乘法运算，约分得到最简整式；第二步求字母取值，根据绝对值和偶次幂的非负性，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列方程求出a、b的取值；第三步代入计算，将求得的a、b的值代入最简整式，计算出最终结果。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}&[(2a - b)^2 - (2a + b)(2a - b)] ÷ \frac{1}{2}b\\=&[4a^2 -4ab +b^2 -(4a^2 -b^2)] · \frac{2}{b}\\=&(4a^2 -4ab +b^2 -4a^2 +b^2) · \frac{2}{b}\\=&(-4ab + 2b^2) · \frac{2}{b}\\=&-8a +4b\end{aligned}$
再求a、b的取值：
因为$|a-1| ≥ 0$，$(b+2)^2 ≥ 0$，且$|a-1| + (b+2)^2 = 0$，
所以$a-1=0$，$b+2=0$，解得$a=1$，$b=-2$。
最后代入求值：
将$a=1$，$b=-2$代入$-8a+4b$得：
原式$=-8×1 +4×(-2) = -16$。
【答案】
$-16$
【知识点】
整式的混合运算、非负数的性质、乘法公式
【点评】
本题是整式化简求值的常规题型，同时考查了乘法公式的运用和非负数的性质，解题时需注意去括号的符号问题，以及除法转乘法时的倒数转换，熟练掌握运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.75
解题可分三步开展：第一步化简整式，观察原式中括号内的结构，先分别用完全平方公式展开$(2a-b)^2$、用平方差公式计算$(2a+b)(2a-b)$，再去括号合并同类项，随后将除法转换为乘法运算，约分得到最简整式；第二步求字母取值，根据绝对值和偶次幂的非负性，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列方程求出a、b的取值；第三步代入计算，将求得的a、b的值代入最简整式，计算出最终结果。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}&[(2a - b)^2 - (2a + b)(2a - b)] ÷ \frac{1}{2}b\\=&[4a^2 -4ab +b^2 -(4a^2 -b^2)] · \frac{2}{b}\\=&(4a^2 -4ab +b^2 -4a^2 +b^2) · \frac{2}{b}\\=&(-4ab + 2b^2) · \frac{2}{b}\\=&-8a +4b\end{aligned}$
再求a、b的取值：
因为$|a-1| ≥ 0$，$(b+2)^2 ≥ 0$，且$|a-1| + (b+2)^2 = 0$，
所以$a-1=0$，$b+2=0$，解得$a=1$，$b=-2$。
最后代入求值：
将$a=1$，$b=-2$代入$-8a+4b$得：
原式$=-8×1 +4×(-2) = -16$。
【答案】
$-16$
【知识点】
整式的混合运算、非负数的性质、乘法公式
【点评】
本题是整式化简求值的常规题型，同时考查了乘法公式的运用和非负数的性质，解题时需注意去括号的符号问题，以及除法转乘法时的倒数转换，熟练掌握运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.75
15. 类比思想 两个多项式相除,可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列,然后仿照两个多位数相除的计算方法,用竖式进行计算.例如$(6x^2 +7x +2)÷(2x +1)$,仿照$672÷21$计算如下:
因此$(6x^2 +7x +2)÷(2x +1)=3x +2$.
(1)阅读上述材料后,试判断$x^3 -x^2 -5x -3$能否被$x +1$整除,并说明理由;
(2)若多项式$2x^4 -3x^3 +ax^2 +7x +b$能被$x^2 +x -2$整除,则$\frac{a}{b}$的值为
因此$(6x^2 +7x +2)÷(2x +1)=3x +2$.
(1)阅读上述材料后,试判断$x^3 -x^2 -5x -3$能否被$x +1$整除,并说明理由;
(2)若多项式$2x^4 -3x^3 +ax^2 +7x +b$能被$x^2 +x -2$整除,则$\frac{a}{b}$的值为
$-2$
.答案
15.解：(1)$x^3 -x^2 -5x -3$能被$x+1$整除.理由略.(2)$-2$
解析
【分析】
本题运用类比思想，将整数除法的运算方法迁移到多项式除法中。解题思路如下：(1)仿照示例的多项式竖式除法步骤，将被除式$x^3 -x^2 -5x -3$和除式$x+1$按$x$降幂排列后逐次相除，若最终余数为0，则说明能整除；(2)多项式能被二次三项式整除时，相除后的余式为0，即余式中各次项的系数均为0，据此列方程求出$a$、$b$的值，再计算$\frac{a}{b}$即可。
【解析】
(1) $x^3 -x^2 -5x -3$能被$x+1$整除，理由如下：
仿照多项式竖式除法计算：
第一步：用被除式最高次项$x^3$除以除式最高次项$x$，得商的第一项$x^2$，用$x^2$乘$x+1$得$x^3+x^2$，与被除式前两项作差：$(x^3 -x^2)-(x^3+x^2)=-2x^2$，落下$-5x$得$-2x^2-5x$；
第二步：用$-2x^2$除以$x$得商的第二项$-2x$，用$-2x$乘$x+1$得$-2x^2-2x$，作差：$(-2x^2-5x)-(-2x^2-2x)=-3x$，落下$-3$得$-3x-3$；
第三步：用$-3x$除以$x$得商的第三项$-3$，用$-3$乘$x+1$得$-3x-3$，作差得$0$，余数为0，因此$x^3 -x^2 -5x -3$能被$x+1$整除。
(2) 计算$2x^4 -3x^3 +ax^2 +7x +b$除以$x^2+x-2$：
① 商的第一项为$2x^4÷ x^2=2x^2$，乘除式得$2x^4+2x^3-4x^2$，作差得$-5x^3+(a+4)x^2+7x$；
② 商的第二项为$-5x^3÷ x^2=-5x$，乘除式得$-5x^3-5x^2+10x$，作差得$(a+9)x^2-3x+b$；
③ 商的第三项为$(a+9)x^2÷ x^2=a+9$，乘除式得$(a+9)x^2+(a+9)x-2(a+9)$；
因为多项式能被整除，所以余式为0，即余式的系数均为0：
$\begin{cases}-3-(a+9)=0\\b+2(a+9)=0\end{cases}$
解得$a=-12$，$b=6$，因此$\frac{a}{b}=\frac{-12}{6}=-2$。
【答案】
(1) $x^3 -x^2 -5x -3$能被$x+1$整除；(2) $\boldsymbol{-2}$
【知识点】
多项式除以多项式、整式的整除性质、代数式求值
【点评】
本题侧重考查类比迁移能力，需要熟练掌握多项式除法的运算步骤，理解整除时余式为0的核心性质，第二问需结合余式系数为0列方程求解，对运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
本题运用类比思想，将整数除法的运算方法迁移到多项式除法中。解题思路如下：(1)仿照示例的多项式竖式除法步骤，将被除式$x^3 -x^2 -5x -3$和除式$x+1$按$x$降幂排列后逐次相除，若最终余数为0，则说明能整除；(2)多项式能被二次三项式整除时，相除后的余式为0，即余式中各次项的系数均为0，据此列方程求出$a$、$b$的值，再计算$\frac{a}{b}$即可。
【解析】
(1) $x^3 -x^2 -5x -3$能被$x+1$整除，理由如下：
仿照多项式竖式除法计算：
第一步：用被除式最高次项$x^3$除以除式最高次项$x$，得商的第一项$x^2$，用$x^2$乘$x+1$得$x^3+x^2$，与被除式前两项作差：$(x^3 -x^2)-(x^3+x^2)=-2x^2$，落下$-5x$得$-2x^2-5x$；
第二步：用$-2x^2$除以$x$得商的第二项$-2x$，用$-2x$乘$x+1$得$-2x^2-2x$，作差：$(-2x^2-5x)-(-2x^2-2x)=-3x$，落下$-3$得$-3x-3$；
第三步：用$-3x$除以$x$得商的第三项$-3$，用$-3$乘$x+1$得$-3x-3$，作差得$0$，余数为0，因此$x^3 -x^2 -5x -3$能被$x+1$整除。
(2) 计算$2x^4 -3x^3 +ax^2 +7x +b$除以$x^2+x-2$：
① 商的第一项为$2x^4÷ x^2=2x^2$，乘除式得$2x^4+2x^3-4x^2$，作差得$-5x^3+(a+4)x^2+7x$；
② 商的第二项为$-5x^3÷ x^2=-5x$，乘除式得$-5x^3-5x^2+10x$，作差得$(a+9)x^2-3x+b$；
③ 商的第三项为$(a+9)x^2÷ x^2=a+9$，乘除式得$(a+9)x^2+(a+9)x-2(a+9)$；
因为多项式能被整除，所以余式为0，即余式的系数均为0：
$\begin{cases}-3-(a+9)=0\\b+2(a+9)=0\end{cases}$
解得$a=-12$，$b=6$，因此$\frac{a}{b}=\frac{-12}{6}=-2$。
【答案】
(1) $x^3 -x^2 -5x -3$能被$x+1$整除；(2) $\boldsymbol{-2}$
【知识点】
多项式除以多项式、整式的整除性质、代数式求值
【点评】
本题侧重考查类比迁移能力，需要熟练掌握多项式除法的运算步骤，理解整除时余式为0的核心性质，第二问需结合余式系数为0列方程求解，对运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
