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11. [2026 安庆期末]若$x=2^{m+1}, y=3+4^m$，则用含$x$的代数式表示$y$为（
A. $y=3+\frac{x}{2}$
B. $y=3+\frac{x^2}{4}$
C. $y=3+x^2$
D. $y=3+4x^2$
【变式·整体思想】已知$10^a=20,100^b=50$，则$\frac{1}{2}a + b$的值是（
A. $2$
B. $\frac{3}{2}$
C. $3$
D. $\frac{9}{2}$
B
）A. $y=3+\frac{x}{2}$
B. $y=3+\frac{x^2}{4}$
C. $y=3+x^2$
D. $y=3+4x^2$
【变式·整体思想】已知$10^a=20,100^b=50$，则$\frac{1}{2}a + b$的值是（
B
）A. $2$
B. $\frac{3}{2}$
C. $3$
D. $\frac{9}{2}$
答案
11.B 【变式·整体思想】B
解析
【分析】
第11题：要实现用含x的代数式表示y，需先将两个已知式子的底数统一为2，利用幂的乘方法则把$4^m$转化为$(2^m)^2$，再从x的表达式中解出$2^m$，最后整体代入y的表达式化简即可。
变式题：首先将$100^b$转化为以10为底的幂，再利用同底数幂相乘的法则，将两个已知等式相乘得到a和2b的关系，最后对所求代数式变形后整体代入计算即可。
【解析】
第11题
已知$x=2^{m+1}$，根据同底数幂乘法的逆运算，$2^{m+1}=2×2^m$，因此：
$x=2·2^m$，变形得$2^m=\frac{x}{2}$。
又因为$4^m=(2^2)^m=(2^m)^2$（幂的乘方法则：底数不变，指数相乘），将$2^m=\frac{x}{2}$代入$y=3+4^m$得：
$y=3+(\frac{x}{2})^2=3+\frac{x^2}{4}$，因此选B。
变式题
已知$100^b=50$，先将底数统一为10：$100^b=(10^2)^b=10^{2b}=50$。
根据同底数幂相乘的法则：$10^a×10^{2b}=10^{a+2b}$，代入已知$10^a=20$、$10^{2b}=50$得：
$10^{a+2b}=20×50=1000=10^3$，因此指数相等，即$a+2b=3$。
所求代数式$\frac{1}{2}a + b = \frac{a+2b}{2}$，代入$a+2b=3$得：
$\frac{1}{2}a + b=\frac{3}{2}$，因此选B。
【答案】
11.B 【变式·整体思想】B
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂乘法，整体代入
【点评】
这两道题是幂的运算章节的基础典型题，重点考查幂的运算法则的正向、逆向运用，以及整体代换的数学思想，掌握统一底数的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
第11题：要实现用含x的代数式表示y，需先将两个已知式子的底数统一为2，利用幂的乘方法则把$4^m$转化为$(2^m)^2$，再从x的表达式中解出$2^m$，最后整体代入y的表达式化简即可。
变式题：首先将$100^b$转化为以10为底的幂，再利用同底数幂相乘的法则，将两个已知等式相乘得到a和2b的关系，最后对所求代数式变形后整体代入计算即可。
【解析】
第11题
已知$x=2^{m+1}$，根据同底数幂乘法的逆运算，$2^{m+1}=2×2^m$，因此：
$x=2·2^m$，变形得$2^m=\frac{x}{2}$。
又因为$4^m=(2^2)^m=(2^m)^2$（幂的乘方法则：底数不变，指数相乘），将$2^m=\frac{x}{2}$代入$y=3+4^m$得：
$y=3+(\frac{x}{2})^2=3+\frac{x^2}{4}$，因此选B。
变式题
已知$100^b=50$，先将底数统一为10：$100^b=(10^2)^b=10^{2b}=50$。
根据同底数幂相乘的法则：$10^a×10^{2b}=10^{a+2b}$，代入已知$10^a=20$、$10^{2b}=50$得：
$10^{a+2b}=20×50=1000=10^3$，因此指数相等，即$a+2b=3$。
所求代数式$\frac{1}{2}a + b = \frac{a+2b}{2}$，代入$a+2b=3$得：
$\frac{1}{2}a + b=\frac{3}{2}$，因此选B。
【答案】
11.B 【变式·整体思想】B
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂乘法，整体代入
【点评】
这两道题是幂的运算章节的基础典型题，重点考查幂的运算法则的正向、逆向运用，以及整体代换的数学思想，掌握统一底数的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
12.已知 $ m = 8^9 $，$ n = 9^8 $，则 $ 72^{72} $ 可以表示为
$m^8n^9$
。答案
12.$m^8n^9$
解析
【分析】
要将$72^{72}$用含$m$、$n$的式子表示，首先观察已知条件中$m$是8的幂、$n$是9的幂，因此先把底数72拆成$8×9$，再利用积的乘方运算法则展开，之后将展开后两个幂的指数转化为与已知幂的指数相关的倍数，最后利用幂的乘方法则逆运算代入$m$、$n$即可。
【解析】
解：$\because 72=8×9$
$\therefore 72^{72}=(8×9)^{72}$
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，可得：
$(8×9)^{72}=8^{72}×9^{72}$
$\because 72=9×8=8×9$，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$逆用可得：
$8^{72}=8^{9×8}=(8^9)^8$，$9^{72}=9^{8×9}=(9^8)^9$
已知$m=8^9$，$n=9^8$，代入得：
$8^{72}=m^8$，$9^{72}=n^9$
$\therefore 72^{72}=m^8· n^9=m^8n^9$
【答案】
$m^8n^9$
【知识点】
1.积的乘方运算
2.幂的乘方运算
3.幂运算法则逆用
【点评】
本题考查幂的运算法则的灵活应用，解题核心是将待求式的底数、指数向已知条件的形式转化，熟练掌握幂的各类运算法则是解题的基础。
【难度系数】
0.7
要将$72^{72}$用含$m$、$n$的式子表示，首先观察已知条件中$m$是8的幂、$n$是9的幂，因此先把底数72拆成$8×9$，再利用积的乘方运算法则展开，之后将展开后两个幂的指数转化为与已知幂的指数相关的倍数，最后利用幂的乘方法则逆运算代入$m$、$n$即可。
【解析】
解：$\because 72=8×9$
$\therefore 72^{72}=(8×9)^{72}$
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，可得：
$(8×9)^{72}=8^{72}×9^{72}$
$\because 72=9×8=8×9$，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$逆用可得：
$8^{72}=8^{9×8}=(8^9)^8$，$9^{72}=9^{8×9}=(9^8)^9$
已知$m=8^9$，$n=9^8$，代入得：
$8^{72}=m^8$，$9^{72}=n^9$
$\therefore 72^{72}=m^8· n^9=m^8n^9$
【答案】
$m^8n^9$
【知识点】
1.积的乘方运算
2.幂的乘方运算
3.幂运算法则逆用
【点评】
本题考查幂的运算法则的灵活应用，解题核心是将待求式的底数、指数向已知条件的形式转化，熟练掌握幂的各类运算法则是解题的基础。
【难度系数】
0.7
13. [2026合肥期末]已知$(x^n)^2=2$，则$(3x^{3n})^2 - 4(x^2)^{2n}$的值为
56
。答案
13.56
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，利用幂的乘方法则计算得到$x^{2n}=2$；再对所求代数式运用积的乘方、幂的乘方法则展开化简，将代数式转化为含有$x^{2n}$的形式，最后整体代入$x^{2n}=2$计算即可得到结果。
【解析】
已知$(x^n)^2=2$，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$x^{2n}=2$
对所求代数式化简：
1. 计算$(3x^{3n})^2$，根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$和幂的乘方法则：
$(3x^{3n})^2=3^2 · (x^{3n})^2=9x^{6n}=9(x^{2n})^3$
2. 计算$4(x^2)^{2n}$，根据幂的乘方法则：
$4(x^2)^{2n}=4x^{4n}=4(x^{2n})^2$
将$x^{2n}=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=9×(2)^3 - 4×(2)^2\\&=9×8 - 4×4\\&=72 - 16\\&=56\end{aligned}$
【答案】
56
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，整体代入求值
【点评】
本题主要考查幂的相关运算法则的应用，解题的核心是熟练掌握幂的乘方、积的乘方的运算规则，通过转化将未知代数式用已知条件表示，运用整体代入思想简化计算。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发，利用幂的乘方法则计算得到$x^{2n}=2$；再对所求代数式运用积的乘方、幂的乘方法则展开化简，将代数式转化为含有$x^{2n}$的形式，最后整体代入$x^{2n}=2$计算即可得到结果。
【解析】
已知$(x^n)^2=2$，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$x^{2n}=2$
对所求代数式化简：
1. 计算$(3x^{3n})^2$，根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$和幂的乘方法则：
$(3x^{3n})^2=3^2 · (x^{3n})^2=9x^{6n}=9(x^{2n})^3$
2. 计算$4(x^2)^{2n}$，根据幂的乘方法则：
$4(x^2)^{2n}=4x^{4n}=4(x^{2n})^2$
将$x^{2n}=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=9×(2)^3 - 4×(2)^2\\&=9×8 - 4×4\\&=72 - 16\\&=56\end{aligned}$
【答案】
56
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，整体代入求值
【点评】
本题主要考查幂的相关运算法则的应用，解题的核心是熟练掌握幂的乘方、积的乘方的运算规则，通过转化将未知代数式用已知条件表示，运用整体代入思想简化计算。
【难度系数】
0.7
14. 运算能力 计算：
(1)$(-6x^3)^3 - x^2 · x^4 - (x^2)^3$；
(2)$(-1\dfrac{2}{5})^6 × 0.25^4 × (\dfrac{5}{7})^6 × (-4)^4$
(1)$(-6x^3)^3 - x^2 · x^4 - (x^2)^3$；
(2)$(-1\dfrac{2}{5})^6 × 0.25^4 × (\dfrac{5}{7})^6 × (-4)^4$
答案
(1)$-216x^9-2x^6$．(2)1
解析
【分析】
(1) 解题时先分别根据积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则计算每一项，再合并同类项即可得到结果。
(2) 观察算式可发现存在两组指数相同的项，先利用乘法交换律和结合律将同指数的项分组，再逆用积的乘方法则简化计算，即可快速求出结果。
【解析】
(1) 计算$(-6x^3)^3 - x^2 · x^4 - (x^2)^3$：
① 由积的乘方法则得：$(-6x^3)^3 = (-6)^3 · (x^3)^3 = -216x^9$
② 由同底数幂的乘法法则得：$x^2 · x^4 = x^{2+4} = x^6$
③ 由幂的乘方法则得：$(x^2)^3 = x^{2×3} = x^6$
④ 合并同类项：原式$= -216x^9 - x^6 - x^6 = -216x^9 - 2x^6$
(2) 计算$(-1\dfrac{2}{5})^6 × 0.25^4 × (\dfrac{5}{7})^6 × (-4)^4$：
① 把带分数化为假分数：$-1\dfrac{2}{5}=-\dfrac{7}{5}$，原式改写为：
$(-\dfrac{7}{5})^6 × 0.25^4 × (\dfrac{5}{7})^6 × (-4)^4$
② 分组结合同指数的项：
$[(-\dfrac{7}{5})^6 × (\dfrac{5}{7})^6] × [0.25^4 × (-4)^4]$
③ 逆用积的乘方法则$a^n·b^n=(ab)^n$计算：
第一组：$(-\dfrac{7}{5}×\dfrac{5}{7})^6 = (-1)^6 = 1$
第二组：$[0.25×(-4)]^4 = (-1)^4 = 1$
④ 计算最终结果：原式$=1×1=1$
【答案】
(1)$-216x^9-2x^6$；(2)$1$
【知识点】
积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查幂的运算性质的应用，属于基础运算类题目，解题时要严格遵循运算法则，注意运算符号的处理，遇到多个同指数幂相乘时，优先用积的乘方的逆运算简化计算，能有效降低出错率。
【难度系数】
0.75
(1) 解题时先分别根据积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则计算每一项，再合并同类项即可得到结果。
(2) 观察算式可发现存在两组指数相同的项，先利用乘法交换律和结合律将同指数的项分组，再逆用积的乘方法则简化计算，即可快速求出结果。
【解析】
(1) 计算$(-6x^3)^3 - x^2 · x^4 - (x^2)^3$：
① 由积的乘方法则得：$(-6x^3)^3 = (-6)^3 · (x^3)^3 = -216x^9$
② 由同底数幂的乘法法则得：$x^2 · x^4 = x^{2+4} = x^6$
③ 由幂的乘方法则得：$(x^2)^3 = x^{2×3} = x^6$
④ 合并同类项：原式$= -216x^9 - x^6 - x^6 = -216x^9 - 2x^6$
(2) 计算$(-1\dfrac{2}{5})^6 × 0.25^4 × (\dfrac{5}{7})^6 × (-4)^4$：
① 把带分数化为假分数：$-1\dfrac{2}{5}=-\dfrac{7}{5}$，原式改写为：
$(-\dfrac{7}{5})^6 × 0.25^4 × (\dfrac{5}{7})^6 × (-4)^4$
② 分组结合同指数的项：
$[(-\dfrac{7}{5})^6 × (\dfrac{5}{7})^6] × [0.25^4 × (-4)^4]$
③ 逆用积的乘方法则$a^n·b^n=(ab)^n$计算：
第一组：$(-\dfrac{7}{5}×\dfrac{5}{7})^6 = (-1)^6 = 1$
第二组：$[0.25×(-4)]^4 = (-1)^4 = 1$
④ 计算最终结果：原式$=1×1=1$
【答案】
(1)$-216x^9-2x^6$；(2)$1$
【知识点】
积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查幂的运算性质的应用，属于基础运算类题目，解题时要严格遵循运算法则，注意运算符号的处理，遇到多个同指数幂相乘时，优先用积的乘方的逆运算简化计算，能有效降低出错率。
【难度系数】
0.75
15. 中考趋势·代数推理 已知 $a=5,b=-\dfrac{1}{5},n$ 为自然数,请求出 $a^{2n+2}· b^{2n}· b^3$ 的值.
答案
$-\dfrac{1}{5}$
解析
【分析】
解题时先观察式子的结构特征：式子中含有同底数的b的幂，且a的幂的指数与b的幂的指数接近，可按以下步骤思考：①先利用同底数幂的乘法法则合并b的幂；②对合并后b的幂的指数进行拆分，凑出与a的幂指数相同的部分，逆用积的乘方法则将同指数幂合并，简化高次幂的计算；③代入a、b的取值，结合偶数次幂的符号性质计算最终结果。
【解析】
解：先利用同底数幂的乘法法则计算b的部分：
$a^{2n+2}· b^{2n}· b^3 = a^{2n+2}· b^{2n+3}$
将$b^{2n+3}$拆分为$b^{2n+2}·b$，可得：
$= a^{2n+2}· b^{2n+2}· b$
逆用积的乘方法则$(ab)^m=a^m b^m$，得：
$=(a·b)^{2n+2}· b$
代入$a=5$，$b=-\dfrac{1}{5}$，计算$a·b=5×(-\dfrac{1}{5})=-1$，代入得：
$=(-1)^{2n+2}×(-\dfrac{1}{5})$
∵n为自然数，
∴$2n+2$是正偶数，$(-1)^{2n+2}=1$
∴原式$=1×(-\dfrac{1}{5})=-\dfrac{1}{5}$
【答案】
$-\dfrac{1}{5}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法 2. 积的乘方的逆用 3. 乘方的符号规律
【点评】
本题是代数推理类的基础运算题，核心考查幂的运算法则的灵活运用，解题关键是通过拆分指数构造同指数幂，逆用积的乘方法则避免高次幂的直接计算，是巩固幂的运算性质的典型习题。
【难度系数】
0.7
解题时先观察式子的结构特征：式子中含有同底数的b的幂，且a的幂的指数与b的幂的指数接近，可按以下步骤思考：①先利用同底数幂的乘法法则合并b的幂；②对合并后b的幂的指数进行拆分，凑出与a的幂指数相同的部分，逆用积的乘方法则将同指数幂合并，简化高次幂的计算；③代入a、b的取值，结合偶数次幂的符号性质计算最终结果。
【解析】
解：先利用同底数幂的乘法法则计算b的部分：
$a^{2n+2}· b^{2n}· b^3 = a^{2n+2}· b^{2n+3}$
将$b^{2n+3}$拆分为$b^{2n+2}·b$，可得：
$= a^{2n+2}· b^{2n+2}· b$
逆用积的乘方法则$(ab)^m=a^m b^m$，得：
$=(a·b)^{2n+2}· b$
代入$a=5$，$b=-\dfrac{1}{5}$，计算$a·b=5×(-\dfrac{1}{5})=-1$，代入得：
$=(-1)^{2n+2}×(-\dfrac{1}{5})$
∵n为自然数，
∴$2n+2$是正偶数，$(-1)^{2n+2}=1$
∴原式$=1×(-\dfrac{1}{5})=-\dfrac{1}{5}$
【答案】
$-\dfrac{1}{5}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法 2. 积的乘方的逆用 3. 乘方的符号规律
【点评】
本题是代数推理类的基础运算题，核心考查幂的运算法则的灵活运用，解题关键是通过拆分指数构造同指数幂，逆用积的乘方法则避免高次幂的直接计算，是巩固幂的运算性质的典型习题。
【难度系数】
0.7
1. 比较大小：$2^{33}$
2. $3^{50},4^{40},5^{30}$ 的大小关系是：
$＜$
$3^{22}$.(填“＞”“＜”或“=”)2. $3^{50},4^{40},5^{30}$ 的大小关系是：
$5^{30}＜3^{50}＜4^{40}$
.(用“＜”连接)答案
1.$＜$ 2.$5^{30}＜3^{50}＜4^{40}$
解析
【分析】
这两道题均为底数、指数互不相同的正整数指数幂比较大小问题，解题核心思路是利用幂的乘方的逆运算，把不同的指数转化为相同的公共指数，再根据“正整数指数幂中，指数相同时，底数越大，幂越大”的性质，通过比较底数大小得到幂的大小关系。
第1题观察指数33和22，二者最大公约数是11，因此可将两个幂都转化为指数为11的幂再比较底数；第2题观察指数50、40、30，三者最大公约数是10，因此将三个幂都转化为指数为10的幂，再比较底数即可得到结果。
【解析】
1. 比较$2^{33}$和$3^{22}$的大小：
根据幂的乘方逆运算公式$a^{mn}=(a^m)^n$，对两个幂变形：
$2^{33}=2^{3×11}=(2^3)^{11}=8^{11}$
$3^{22}=3^{2×11}=(3^2)^{11}=9^{11}$
∵ $8＜9$，且指数11为正整数，指数相同底数越大幂越大
∴ $8^{11}＜9^{11}$，即$2^{33}＜3^{22}$
2. 比较$3^{50},4^{40},5^{30}$的大小：
同理将三个幂的指数统一为10：
$3^{50}=3^{5×10}=(3^5)^{10}=243^{10}$
$4^{40}=4^{4×10}=(4^4)^{10}=256^{10}$
$5^{30}=5^{3×10}=(5^3)^{10}=125^{10}$
∵ $125＜243＜256$，且指数10为正整数
∴ $125^{10}＜243^{10}＜256^{10}$，即$5^{30}＜3^{50}＜4^{40}$
【答案】
1. $＜$
2. $5^{30}＜3^{50}＜4^{40}$
【知识点】
幂的乘方逆运算，同指数幂比较大小
【点评】
这类题是幂的运算的基础应用题型，解题关键是找到多个指数的最大公约数，将指数统一后转化为底数的大小比较，熟练掌握幂的乘方运算法则是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
这两道题均为底数、指数互不相同的正整数指数幂比较大小问题，解题核心思路是利用幂的乘方的逆运算，把不同的指数转化为相同的公共指数，再根据“正整数指数幂中，指数相同时，底数越大，幂越大”的性质，通过比较底数大小得到幂的大小关系。
第1题观察指数33和22，二者最大公约数是11，因此可将两个幂都转化为指数为11的幂再比较底数；第2题观察指数50、40、30，三者最大公约数是10，因此将三个幂都转化为指数为10的幂，再比较底数即可得到结果。
【解析】
1. 比较$2^{33}$和$3^{22}$的大小：
根据幂的乘方逆运算公式$a^{mn}=(a^m)^n$，对两个幂变形：
$2^{33}=2^{3×11}=(2^3)^{11}=8^{11}$
$3^{22}=3^{2×11}=(3^2)^{11}=9^{11}$
∵ $8＜9$，且指数11为正整数，指数相同底数越大幂越大
∴ $8^{11}＜9^{11}$，即$2^{33}＜3^{22}$
2. 比较$3^{50},4^{40},5^{30}$的大小：
同理将三个幂的指数统一为10：
$3^{50}=3^{5×10}=(3^5)^{10}=243^{10}$
$4^{40}=4^{4×10}=(4^4)^{10}=256^{10}$
$5^{30}=5^{3×10}=(5^3)^{10}=125^{10}$
∵ $125＜243＜256$，且指数10为正整数
∴ $125^{10}＜243^{10}＜256^{10}$，即$5^{30}＜3^{50}＜4^{40}$
【答案】
1. $＜$
2. $5^{30}＜3^{50}＜4^{40}$
【知识点】
幂的乘方逆运算，同指数幂比较大小
【点评】
这类题是幂的运算的基础应用题型，解题关键是找到多个指数的最大公约数，将指数统一后转化为底数的大小比较，熟练掌握幂的乘方运算法则是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
3. 比较大小：$8^{33}$
$＜$
$16^{25}$.(填“＞”“＜”或“=”）答案
3.$＜$
解析
【分析】
要比较底数和指数都不相同的两个幂的大小，首先观察到两个底数8和16都可以转化为以2为底的幂，因此可以利用幂的乘方法则，将两个数都转化为底数为2的幂，再根据“底数大于1时，指数越大，幂越大”的规律比较指数大小即可得到结果。
【解析】
解：先将两个幂转化为同底数幂：
∵ $8 = 2^3$，$16=2^4$
∴ $8^{33}=(2^3)^{33}=2^{3×33}=2^{99}$
$16^{25}=(2^4)^{25}=2^{4×25}=2^{100}$
又
∵ 底数$2＞1$，且$99＜100$
∴ $2^{99}＜2^{100}$，即$8^{33}＜16^{25}$
【答案】
＜
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂大小比较
【点评】
本题是幂的运算相关的基础常考题，解题核心是灵活运用幂的乘方法则将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过比较指数大小完成判断，要求熟练掌握幂的运算公式。
【难度系数】
0.8
要比较底数和指数都不相同的两个幂的大小，首先观察到两个底数8和16都可以转化为以2为底的幂，因此可以利用幂的乘方法则，将两个数都转化为底数为2的幂，再根据“底数大于1时，指数越大，幂越大”的规律比较指数大小即可得到结果。
【解析】
解：先将两个幂转化为同底数幂：
∵ $8 = 2^3$，$16=2^4$
∴ $8^{33}=(2^3)^{33}=2^{3×33}=2^{99}$
$16^{25}=(2^4)^{25}=2^{4×25}=2^{100}$
又
∵ 底数$2＞1$，且$99＜100$
∴ $2^{99}＜2^{100}$，即$8^{33}＜16^{25}$
【答案】
＜
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂大小比较
【点评】
本题是幂的运算相关的基础常考题，解题核心是灵活运用幂的乘方法则将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过比较指数大小完成判断，要求熟练掌握幂的运算公式。
【难度系数】
0.8
4. 已知$a=3^{12},b=9^{7},c=27^{5}$，则$a,b,c$的大小关系是：
$a＜b＜c$
.(用“＜”连接)答案
4.$a＜b＜c$
解析
【分析】
观察三个数的底数3、9、27均为3的整数次幂，因此可利用幂的乘方法则，将三个数统一转化为底数为3的幂；由于底数3＞1，同底数幂比较大小时，指数越大对应的幂就越大，因此只需要比较转化后三个幂的指数大小，即可得出a、b、c的大小关系。
【解析】
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），对b、c进行变形：
1. 变形b：$b=9^7=(3^2)^7=3^{2×7}=3^{14}$
2. 变形c：$c=27^5=(3^3)^5=3^{3×5}=3^{15}$
已知$a=3^{12}$，三个幂底数均为3，且3＞1，指数越大幂越大，因为$12＜14＜15$，所以$3^{12}＜3^{14}＜3^{15}$，即$a＜b＜c$。
【答案】
$a＜b＜c$
【知识点】
1. 幂的乘方运算
2. 同底数幂大小比较
【点评】
本题是幂的运算相关的基础常考题，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过比较指数判断大小，熟练掌握幂的乘方法则是解题的前提。
【难度系数】
0.8
观察三个数的底数3、9、27均为3的整数次幂，因此可利用幂的乘方法则，将三个数统一转化为底数为3的幂；由于底数3＞1，同底数幂比较大小时，指数越大对应的幂就越大，因此只需要比较转化后三个幂的指数大小，即可得出a、b、c的大小关系。
【解析】
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），对b、c进行变形：
1. 变形b：$b=9^7=(3^2)^7=3^{2×7}=3^{14}$
2. 变形c：$c=27^5=(3^3)^5=3^{3×5}=3^{15}$
已知$a=3^{12}$，三个幂底数均为3，且3＞1，指数越大幂越大，因为$12＜14＜15$，所以$3^{12}＜3^{14}＜3^{15}$，即$a＜b＜c$。
【答案】
$a＜b＜c$
【知识点】
1. 幂的乘方运算
2. 同底数幂大小比较
【点评】
本题是幂的运算相关的基础常考题，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过比较指数判断大小，熟练掌握幂的乘方法则是解题的前提。
【难度系数】
0.8
