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概念建构
幂的乘方
法则
幂的乘方，底数不变，指数
$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$，$n$都是正整数）
注意
底数$a$可以是一个单项式，也可以是一个多项式
积的乘方
法则
积的乘方等于各因式乘方的
$(ab)^n=$
逆用
$a^nb^n=(ab)^n$（$n$是正整数）
A 基础巩固
知识点1 幂的乘方
幂的乘方
法则
幂的乘方，底数不变，指数
相乘
$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$，$n$都是正整数）
注意
底数$a$可以是一个单项式，也可以是一个多项式
积的乘方
法则
积的乘方等于各因式乘方的
积
$(ab)^n=$
$a^nb^n$
（$n$是正整数）逆用
$a^nb^n=(ab)^n$（$n$是正整数）
A 基础巩固
知识点1 幂的乘方
答案
相乘；积；$a^nb^n$
解析
【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方的基本运算法则，属于基础概念识记类题目，解题时只需要准确回忆教材中两个法则的文字表述和公式内容即可直接作答。首先回忆幂的乘方法则：幂的乘方运算中，底数保持不变，指数做乘法运算；再回忆积的乘方法则：积的乘方需要先把积中的每一个因式分别乘方，再将得到的幂相乘，对应法则可直接写出公式结果。
【解析】
1. 结合幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，对应公式$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$，$n$都是正整数），因此第一个空填“相乘”；
2. 结合积的乘方法则：积的乘方等于各因式乘方的积，对应运算公式为$(ab)^n=a^nb^n$（$n$是正整数），因此第二个空填“积”，第三个空填$a^nb^n$。
【答案】
相乘；积；$a^nb^n$
【知识点】
幂的乘方法则；积的乘方法则
【点评】
本题是对幂的运算基本法则的直接考查，属于基础题，熟练掌握相关法则的文字表述和公式形式是解题的核心，这类概念是后续整式乘除运算的基础，需要准确记忆。
【难度系数】
0.9
本题考查幂的乘方与积的乘方的基本运算法则，属于基础概念识记类题目，解题时只需要准确回忆教材中两个法则的文字表述和公式内容即可直接作答。首先回忆幂的乘方法则：幂的乘方运算中，底数保持不变，指数做乘法运算；再回忆积的乘方法则：积的乘方需要先把积中的每一个因式分别乘方，再将得到的幂相乘，对应法则可直接写出公式结果。
【解析】
1. 结合幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，对应公式$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$，$n$都是正整数），因此第一个空填“相乘”；
2. 结合积的乘方法则：积的乘方等于各因式乘方的积，对应运算公式为$(ab)^n=a^nb^n$（$n$是正整数），因此第二个空填“积”，第三个空填$a^nb^n$。
【答案】
相乘；积；$a^nb^n$
【知识点】
幂的乘方法则；积的乘方法则
【点评】
本题是对幂的运算基本法则的直接考查，属于基础题，熟练掌握相关法则的文字表述和公式形式是解题的核心，这类概念是后续整式乘除运算的基础，需要准确记忆。
【难度系数】
0.9
1.计算$(x^2)^3$的结果是 （
A.$x^2$ B.$x^5$ C.$x^6$ D.$x^9$
【变式·运算规则转化】计算$( \underbrace{a · a · \dots · a}_{a个} )^3$的结果是 （
A.$a^5$ B.$a^6$ C.$a^{a+3}$ D.$a^{3a}$
C
）A.$x^2$ B.$x^5$ C.$x^6$ D.$x^9$
【变式·运算规则转化】计算$( \underbrace{a · a · \dots · a}_{a个} )^3$的结果是 （
D
）A.$a^5$ B.$a^6$ C.$a^{a+3}$ D.$a^{3a}$
答案
1.C 【变式·运算规则转化】D
解析
【分析】
第1题考察幂的乘方的基本运算，解题时先回忆幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，直接代入指数计算即可。变式题需要先处理括号内的连乘形式，先根据乘方的定义，将a个a相乘转化为幂的形式$a^a$，再将问题转化为幂的乘方运算，用同样的法则计算即可。
【解析】
1. 根据幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。可得：
$(x^2)^3 = x^{2×3}=x^6$，故选C。
【变式·运算规则转化】
首先根据乘方的定义：$\underbrace{a · a · \dots · a}_{a个}=a^a$，再对$(a^a)^3$用幂的乘方运算法则计算：
$(a^a)^3=a^{a×3}=a^{3a}$，故选D。
【答案】
1.C 【变式·运算规则转化】D
【知识点】
1. 幂的乘方运算 2. 乘方的意义
【点评】
这两道题是幂的乘方相关的基础运算题，核心考察对幂的乘方运算法则的掌握，变式题增加了对乘方定义的考察，熟练掌握相关概念和法则即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
第1题考察幂的乘方的基本运算，解题时先回忆幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，直接代入指数计算即可。变式题需要先处理括号内的连乘形式，先根据乘方的定义，将a个a相乘转化为幂的形式$a^a$，再将问题转化为幂的乘方运算，用同样的法则计算即可。
【解析】
1. 根据幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。可得：
$(x^2)^3 = x^{2×3}=x^6$，故选C。
【变式·运算规则转化】
首先根据乘方的定义：$\underbrace{a · a · \dots · a}_{a个}=a^a$，再对$(a^a)^3$用幂的乘方运算法则计算：
$(a^a)^3=a^{a×3}=a^{3a}$，故选D。
【答案】
1.C 【变式·运算规则转化】D
【知识点】
1. 幂的乘方运算 2. 乘方的意义
【点评】
这两道题是幂的乘方相关的基础运算题，核心考察对幂的乘方运算法则的掌握，变式题增加了对乘方定义的考察，熟练掌握相关概念和法则即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
2. [2026 六安模拟] 下列各式中，计算结果等于$a^6$的是（
A.$a^3+a^3$
B.$a^2· a^3$
C.$(-a^3)^2$
D.$(-a^2)^3$
C
）A.$a^3+a^3$
B.$a^2· a^3$
C.$(-a^3)^2$
D.$(-a^2)^3$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题时需逐一计算每个选项的结果，再与$a^6$比对选出正确答案。首先要明确各类幂运算的规则：合并同类项时，系数相加、字母和字母的指数不变；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方需将积的每个因式分别乘方，再把所得幂相乘，同时注意负数的偶次幂为正、奇次幂为负。
【解析】
我们依次计算每个选项：
选项A：$a^3+a^3$是合并同类项，计算得$(1+1)a^3=2a^3$，结果不等于$a^6$，不符合要求；
选项B：$a^2· a^3$是同底数幂相乘，根据法则得$a^{2+3}=a^5$，结果不等于$a^6$，不符合要求；
选项C：$(-a^3)^2$是积的乘方运算，计算得$(-1)^2· (a^3)^2=1× a^{3×2}=a^6$，结果等于$a^6$，符合要求；
选项D：$(-a^2)^3$是积的乘方运算，计算得$(-1)^3· (a^2)^3=-1× a^{2×3}=-a^6$，结果不等于$a^6$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查各类幂运算规则的区分与应用，解题时需注意不要混淆不同运算的指数处理规则，同时要留意负数乘方的符号问题。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的相关运算，解题时需逐一计算每个选项的结果，再与$a^6$比对选出正确答案。首先要明确各类幂运算的规则：合并同类项时，系数相加、字母和字母的指数不变；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方需将积的每个因式分别乘方，再把所得幂相乘，同时注意负数的偶次幂为正、奇次幂为负。
【解析】
我们依次计算每个选项：
选项A：$a^3+a^3$是合并同类项，计算得$(1+1)a^3=2a^3$，结果不等于$a^6$，不符合要求；
选项B：$a^2· a^3$是同底数幂相乘，根据法则得$a^{2+3}=a^5$，结果不等于$a^6$，不符合要求；
选项C：$(-a^3)^2$是积的乘方运算，计算得$(-1)^2· (a^3)^2=1× a^{3×2}=a^6$，结果等于$a^6$，符合要求；
选项D：$(-a^2)^3$是积的乘方运算，计算得$(-1)^3· (a^2)^3=-1× a^{2×3}=-a^6$，结果不等于$a^6$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查各类幂运算规则的区分与应用，解题时需注意不要混淆不同运算的指数处理规则，同时要留意负数乘方的符号问题。
【难度系数】
0.8
3.计算:
(1)$(2^5)^5$;
(2)$(-m^3)^4$;
(3)$(a^2)^3 · a^5$;
(4)$x^2 · x^4 - 3(x^3)^2$.
(1)$(2^5)^5$;
(2)$(-m^3)^4$;
(3)$(a^2)^3 · a^5$;
(4)$x^2 · x^4 - 3(x^3)^2$.
答案
(1)$2^{25}$．(2)$m^{12}$．(3)$a^{11}$．(4)$-2x^6$
解析
【分析】
这组题目属于幂的运算基础题，解题核心是牢记幂的相关运算法则，明确运算顺序：①幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数）；②同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数）；③混合运算遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序，同时注意负数的偶次幂结果为正。解题时逐题对应规则计算即可：第(1)题直接套用幂的乘方法则；第(2)题先确定符号再用幂的乘方法则计算；第(3)题先算幂的乘方，再算同底数幂乘法；第(4)题先分别计算乘方、乘法，再合并同类项。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则计算：
$(2^5)^5=2^{5×5}=2^{25}$
(2) 先判断符号，再用幂的乘方法则计算：
$(-m^3)^4=(-1)^4·(m^3)^4=1×m^{3×4}=m^{12}$
(3) 先算幂的乘方，再算同底数幂乘法：
$(a^2)^3 · a^5=a^{2×3}·a^5=a^6·a^5=a^{6+5}=a^{11}$
(4) 先算同底数幂乘法和幂的乘方，再合并同类项：
$x^2 · x^4 - 3(x^3)^2=x^{2+4}-3×x^{3×2}=x^6-3x^6=-2x^6$
【答案】
(1)$2^{25}$；(2)$m^{12}$；(3)$a^{11}$；(4)$-2x^6$
【知识点】
1. 幂的乘方运算
2. 同底数幂乘法运算
3. 整式混合运算
【点评】
本题是幂的运算的常规基础题型，主要考查对幂的运算法则的掌握和运算顺序的应用，做题时要注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，同时不要忽略符号的判断，避免因混淆法则出现错误。
【难度系数】
0.8
这组题目属于幂的运算基础题，解题核心是牢记幂的相关运算法则，明确运算顺序：①幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数）；②同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数）；③混合运算遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序，同时注意负数的偶次幂结果为正。解题时逐题对应规则计算即可：第(1)题直接套用幂的乘方法则；第(2)题先确定符号再用幂的乘方法则计算；第(3)题先算幂的乘方，再算同底数幂乘法；第(4)题先分别计算乘方、乘法，再合并同类项。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则计算：
$(2^5)^5=2^{5×5}=2^{25}$
(2) 先判断符号，再用幂的乘方法则计算：
$(-m^3)^4=(-1)^4·(m^3)^4=1×m^{3×4}=m^{12}$
(3) 先算幂的乘方，再算同底数幂乘法：
$(a^2)^3 · a^5=a^{2×3}·a^5=a^6·a^5=a^{6+5}=a^{11}$
(4) 先算同底数幂乘法和幂的乘方，再合并同类项：
$x^2 · x^4 - 3(x^3)^2=x^{2+4}-3×x^{3×2}=x^6-3x^6=-2x^6$
【答案】
(1)$2^{25}$；(2)$m^{12}$；(3)$a^{11}$；(4)$-2x^6$
【知识点】
1. 幂的乘方运算
2. 同底数幂乘法运算
3. 整式混合运算
【点评】
本题是幂的运算的常规基础题型，主要考查对幂的运算法则的掌握和运算顺序的应用，做题时要注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，同时不要忽略符号的判断，避免因混淆法则出现错误。
【难度系数】
0.8
4.计算$(a^{?})^{2}$的结果为$a^{8}$，则“？”的值为（
A.6
B.4
C.3
D.2
B
）A.6
B.4
C.3
D.2
答案
4.B
解析
【分析】
这道题考查幂的乘方的运算规则，我们可以先设“？”处的数值为x，首先回忆幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。我们可以先利用该法则将$(a^{x})^{2}$展开，再结合运算结果为$a^{8}$，让左右两边的指数相等，建立关于x的方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
设“？”处的数为$x$，根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），可得：
$(a^x)^2=a^{2x}$
已知运算结果为$a^8$，因此有：
$2x=8$
解得$x=4$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对幂的乘方运算法则的记忆与应用，熟练掌握“底数不变，指数相乘”的运算规则即可快速解题，是幂的运算模块的常规考查题目。
【难度系数】
0.9
这道题考查幂的乘方的运算规则，我们可以先设“？”处的数值为x，首先回忆幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。我们可以先利用该法则将$(a^{x})^{2}$展开，再结合运算结果为$a^{8}$，让左右两边的指数相等，建立关于x的方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
设“？”处的数为$x$，根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），可得：
$(a^x)^2=a^{2x}$
已知运算结果为$a^8$，因此有：
$2x=8$
解得$x=4$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对幂的乘方运算法则的记忆与应用，熟练掌握“底数不变，指数相乘”的运算规则即可快速解题，是幂的运算模块的常规考查题目。
【难度系数】
0.9
5.(1)若$5^x = 3$，则$5^{3x} = \_\_\_\_\_\_$；
(2)若$a^{3n} = 4$，则$a^{6n} = \_\_\_\_\_\_$。
(2)若$a^{3n} = 4$，则$a^{6n} = \_\_\_\_\_\_$。
答案
(1)27 (2)16
解析
【分析】
这两道题均考查幂的乘方公式的逆运用，解题思路如下：首先回忆幂的乘方公式：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），逆用该公式可得$a^{mn}=(a^m)^n$。解题时先观察所求幂的指数与已知条件中幂的指数的倍数关系，将所求的幂转化为已知幂的乘方形式，再代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 根据幂的乘方公式的逆运算，可得$5^{3x}=(5^x)^3$，
将$5^x=3$代入，得原式$=3^3=27$。
(2) 同理，$a^{6n}=a^{3n×2}=(a^{3n})^2$，
将$a^{3n}=4$代入，得原式$=4^2=16$。
【答案】
(1)27；(2)16
【知识点】
幂的乘方运算；幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算模块的基础题型，重点考查对幂的乘方公式的灵活掌握程度，熟练掌握公式的正用与逆用，是解决此类求值问题的核心。
【难度系数】
0.8
这两道题均考查幂的乘方公式的逆运用，解题思路如下：首先回忆幂的乘方公式：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），逆用该公式可得$a^{mn}=(a^m)^n$。解题时先观察所求幂的指数与已知条件中幂的指数的倍数关系，将所求的幂转化为已知幂的乘方形式，再代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 根据幂的乘方公式的逆运算，可得$5^{3x}=(5^x)^3$，
将$5^x=3$代入，得原式$=3^3=27$。
(2) 同理，$a^{6n}=a^{3n×2}=(a^{3n})^2$，
将$a^{3n}=4$代入，得原式$=4^2=16$。
【答案】
(1)27；(2)16
【知识点】
幂的乘方运算；幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算模块的基础题型，重点考查对幂的乘方公式的灵活掌握程度，熟练掌握公式的正用与逆用，是解决此类求值问题的核心。
【难度系数】
0.8
6.(新知回顾)根据乘方的意义和乘法运算律可知
$(2a)^3=(2a)×$
$(2a)^3=(2a)×$
$(2a)$
$×$$(2a)$
$=2×2×2×$$a×a×a$
$=2^3×a^3$.答案
6.(2a);(2a);a×a×a;3;3
解析
【分析】
本题考查积的乘方的推导过程，解题思路可分为三步：首先根据乘方的意义，明确一个式子的三次方代表3个该式子相乘，即可填出前两个空；再利用乘法交换律和结合律，将所有的常数项和含字母的项分别归类合并，就能填出第三个空；最后根据乘方的定义，将相同因数的乘法改写为乘方形式，即可得到对应指数。
【解析】
1. 依据乘方的意义：$a^n$表示$n$个$a$相乘，因此$(2a)^3$是3个$(2a)$相乘，可得：$(2a)^3=(2a)×(2a)×(2a)$，前两个空均填$(2a)$。
2. 利用乘法交换律、结合律拆分重组上式：$(2a)×(2a)×(2a)=2×a×2×a×2×a=(2×2×2)×(a×a×a)$，因此第三个空填$a×a×a$。
3. 再次依据乘方的意义，3个2相乘可写为$2^3$，3个$a$相乘可写为$a^3$，因此$2$和$a$的指数均为3，对应后两个空分别填3、3。
【答案】
$(2a)$；$(2a)$；$a×a×a$；$3$；$3$
【知识点】
乘方的意义；乘法运算律；积的乘方推导
【点评】
本题是积的乘方运算的基础推导类题目，核心是让学生理解积的乘方运算规则的由来，只要熟练掌握乘方的定义和乘法运算律，就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
本题考查积的乘方的推导过程，解题思路可分为三步：首先根据乘方的意义，明确一个式子的三次方代表3个该式子相乘，即可填出前两个空；再利用乘法交换律和结合律，将所有的常数项和含字母的项分别归类合并，就能填出第三个空；最后根据乘方的定义，将相同因数的乘法改写为乘方形式，即可得到对应指数。
【解析】
1. 依据乘方的意义：$a^n$表示$n$个$a$相乘，因此$(2a)^3$是3个$(2a)$相乘，可得：$(2a)^3=(2a)×(2a)×(2a)$，前两个空均填$(2a)$。
2. 利用乘法交换律、结合律拆分重组上式：$(2a)×(2a)×(2a)=2×a×2×a×2×a=(2×2×2)×(a×a×a)$，因此第三个空填$a×a×a$。
3. 再次依据乘方的意义，3个2相乘可写为$2^3$，3个$a$相乘可写为$a^3$，因此$2$和$a$的指数均为3，对应后两个空分别填3、3。
【答案】
$(2a)$；$(2a)$；$a×a×a$；$3$；$3$
【知识点】
乘方的意义；乘法运算律；积的乘方推导
【点评】
本题是积的乘方运算的基础推导类题目，核心是让学生理解积的乘方运算规则的由来，只要熟练掌握乘方的定义和乘法运算律，就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
7. [2026温州期中]计算$(\dfrac{1}{4}x^3)^2$的结果是（
A.$x^6$
B.$\dfrac{1}{16}x^6$
C.$\dfrac{1}{16}x^5$
D.$x^9$
B
）A.$x^6$
B.$\dfrac{1}{16}x^6$
C.$\dfrac{1}{16}x^5$
D.$x^9$
答案
7.B
解析
【分析】
观察算式可知是积的乘方形式，解题思路如下：第一步先运用积的乘方法则，将积中的两个因式$\frac{1}{4}$和$x^3$分别乘方，再把所得的幂相乘；第二步对$x^3$的乘方部分，运用幂的乘方法则，底数不变、指数相乘计算，最后将两部分结果合并即可得到答案。
【解析】
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为正整数），幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），计算如下：
$\begin{aligned}( \dfrac{1}{4}x^3 )^2 &= ( \dfrac{1}{4} )^2 × (x^3)^2 \\&= \dfrac{1}{16} × x^{3×2} \\&= \dfrac{1}{16}x^6\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，核心考查对幂的运算相关法则的掌握程度，解题时要注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，避免出现指数相加的低级错误。
【难度系数】
0.9
观察算式可知是积的乘方形式，解题思路如下：第一步先运用积的乘方法则，将积中的两个因式$\frac{1}{4}$和$x^3$分别乘方，再把所得的幂相乘；第二步对$x^3$的乘方部分，运用幂的乘方法则，底数不变、指数相乘计算，最后将两部分结果合并即可得到答案。
【解析】
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为正整数），幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），计算如下：
$\begin{aligned}( \dfrac{1}{4}x^3 )^2 &= ( \dfrac{1}{4} )^2 × (x^3)^2 \\&= \dfrac{1}{16} × x^{3×2} \\&= \dfrac{1}{16}x^6\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，核心考查对幂的运算相关法则的掌握程度，解题时要注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，避免出现指数相加的低级错误。
【难度系数】
0.9
8.计算:
(1)$(a^4b^5)^3$；
(2)$(-\dfrac{2}{3}x^2y)^3$；
(3)$(2×10^6)^3$；
(4)$(-3x^5)^3 + (2x^3)^5$。
(1)$(a^4b^5)^3$；
(2)$(-\dfrac{2}{3}x^2y)^3$；
(3)$(2×10^6)^3$；
(4)$(-3x^5)^3 + (2x^3)^5$。
答案
(1)$a^{12}b^{15}$．(2)$-\dfrac{8}{27}x^6y^3$．(3)$8×10^{18}$．(4)$5x^{15}$
解析
【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算法则应用，解题思路如下：首先回忆运算法则：1.积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；2.幂的乘方：底数不变，指数相乘。前3道小题直接套用两个法则计算即可，计算时注意负系数的乘方符号、数字系数的乘方运算；第(4)小题先分别用积的乘方法则计算两个乘方项，再合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 根据积的乘方和幂的乘方法则：
$(a^4b^5)^3=(a^4)^3· (b^5)^3=a^{4×3}b^{5×3}=a^{12}b^{15}$
(2) 根据积的乘方和幂的乘方法则，注意负数的奇次幂为负：
$(-\dfrac{2}{3}x^2y)^3=(-\dfrac{2}{3})^3· (x^2)^3· y^3=-\dfrac{8}{27}x^{2×3}y^3=-\dfrac{8}{27}x^6y^3$
(3) 对数字部分和幂部分分别应用乘方法则：
$(2×10^6)^3=2^3×(10^6)^3=8×10^{6×3}=8×10^{18}$
(4) 先分别计算乘方项，再合并同类项：
$(-3x^5)^3 + (2x^3)^5=(-3)^3·(x^5)^3 + 2^5·(x^3)^5=-27x^{15}+32x^{15}=5x^{15}$
【答案】
(1)$a^{12}b^{15}$；(2)$-\dfrac{8}{27}x^6y^3$；(3)$8×10^{18}$；(4)$5x^{15}$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，合并同类项
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握幂的相关运算法则，计算时要特别注意负数乘方的符号判断，避免出现符号错误或指数运算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算法则应用，解题思路如下：首先回忆运算法则：1.积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；2.幂的乘方：底数不变，指数相乘。前3道小题直接套用两个法则计算即可，计算时注意负系数的乘方符号、数字系数的乘方运算；第(4)小题先分别用积的乘方法则计算两个乘方项，再合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 根据积的乘方和幂的乘方法则：
$(a^4b^5)^3=(a^4)^3· (b^5)^3=a^{4×3}b^{5×3}=a^{12}b^{15}$
(2) 根据积的乘方和幂的乘方法则，注意负数的奇次幂为负：
$(-\dfrac{2}{3}x^2y)^3=(-\dfrac{2}{3})^3· (x^2)^3· y^3=-\dfrac{8}{27}x^{2×3}y^3=-\dfrac{8}{27}x^6y^3$
(3) 对数字部分和幂部分分别应用乘方法则：
$(2×10^6)^3=2^3×(10^6)^3=8×10^{6×3}=8×10^{18}$
(4) 先分别计算乘方项，再合并同类项：
$(-3x^5)^3 + (2x^3)^5=(-3)^3·(x^5)^3 + 2^5·(x^3)^5=-27x^{15}+32x^{15}=5x^{15}$
【答案】
(1)$a^{12}b^{15}$；(2)$-\dfrac{8}{27}x^6y^3$；(3)$8×10^{18}$；(4)$5x^{15}$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，合并同类项
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握幂的相关运算法则，计算时要特别注意负数乘方的符号判断，避免出现符号错误或指数运算错误。
【难度系数】
0.8
9.计算：$4^{2026} × (-0.25)^{2026} =$
1
.答案
9.1
解析
【分析】
本题是两个同指数幂的乘法运算，解题时首先观察式子特征：两个幂的指数均为2026，符合积的乘方逆运算的适用条件，即当两个幂指数相同时，可先将底数相乘，所得的积再进行乘方运算，这样能大幅简化计算，无需分别计算两个高次幂的值。计算时先算底数的乘积，再根据乘方的符号法则判断最终结果的符号即可。
【解析】
根据积的乘方的逆运算公式$a^n × b^n = (ab)^n$（$n$为正整数），计算过程如下：
$\begin{aligned}4^{2026} × (-0.25)^{2026}&=[4×(-0.25)]^{2026}\\&=(-1)^{2026}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
积的乘方逆用，乘方的符号法则
【点评】
本题属于基础运算题，核心是灵活运用积的乘方的逆运算简化高次幂的计算，解题时要注意先观察式子的结构特征，找到简便运算的方法，同时要注意负数乘方的符号判断，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
本题是两个同指数幂的乘法运算，解题时首先观察式子特征：两个幂的指数均为2026，符合积的乘方逆运算的适用条件，即当两个幂指数相同时，可先将底数相乘，所得的积再进行乘方运算，这样能大幅简化计算，无需分别计算两个高次幂的值。计算时先算底数的乘积，再根据乘方的符号法则判断最终结果的符号即可。
【解析】
根据积的乘方的逆运算公式$a^n × b^n = (ab)^n$（$n$为正整数），计算过程如下：
$\begin{aligned}4^{2026} × (-0.25)^{2026}&=[4×(-0.25)]^{2026}\\&=(-1)^{2026}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
积的乘方逆用，乘方的符号法则
【点评】
本题属于基础运算题，核心是灵活运用积的乘方的逆运算简化高次幂的计算，解题时要注意先观察式子的结构特征，找到简便运算的方法，同时要注意负数乘方的符号判断，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
【补充设问】计算：$4^{2026} × (-0.25)^{2027} = \_\_\_\_\_\_$
答案
【补充设问】$-0.25$
解析
【分析】
观察算式可知，两个幂的底数互为负倒数，指数相差1，解题时可以先利用同底数幂乘法的逆运算，将指数较大的$(-0.25)^{2027}$拆分为$(-0.25)^{2026} × (-0.25)$，此时两个幂的指数均为2026，再逆用积的乘方公式$a^n b^n=(ab)^n$，将底数先相乘再乘方，最后结合有理数乘方的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4^{2026} × (-0.25)^{2026} × (-0.25) \\&=[4 × (-0.25)]^{2026} × (-0.25) \\&=(-1)^{2026} × (-0.25) \\&=1 × (-0.25) \\&=-0.25\end{aligned}$
【答案】
$-0.25$
【知识点】
积的乘方逆运算、同底数幂乘法逆运算、有理数乘方运算
【点评】
本题是幂运算的典型基础题型，核心考查对幂的运算性质的灵活运用，解题的关键是通过变形将不同指数的幂转化为同指数幂，再利用积的乘方的逆运算简化计算，解题时需注意符号的处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.75
观察算式可知，两个幂的底数互为负倒数，指数相差1，解题时可以先利用同底数幂乘法的逆运算，将指数较大的$(-0.25)^{2027}$拆分为$(-0.25)^{2026} × (-0.25)$，此时两个幂的指数均为2026，再逆用积的乘方公式$a^n b^n=(ab)^n$，将底数先相乘再乘方，最后结合有理数乘方的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4^{2026} × (-0.25)^{2026} × (-0.25) \\&=[4 × (-0.25)]^{2026} × (-0.25) \\&=(-1)^{2026} × (-0.25) \\&=1 × (-0.25) \\&=-0.25\end{aligned}$
【答案】
$-0.25$
【知识点】
积的乘方逆运算、同底数幂乘法逆运算、有理数乘方运算
【点评】
本题是幂运算的典型基础题型，核心考查对幂的运算性质的灵活运用，解题的关键是通过变形将不同指数的幂转化为同指数幂，再利用积的乘方的逆运算简化计算，解题时需注意符号的处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.75
10.已知$x^m=2$，$y^n=5$，那么$x^{2m} · y^{2n} =$
100
答案
10.100
解析
【分析】
解题时首先回忆幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$，该性质可以逆用，即$a^{mn}=(a^m)^n$。观察待求式$x^{2m} · y^{2n}$，可以将$x^{2m}$变形为$(x^m)^2$，$y^{2n}$变形为$(y^n)^2$，再代入已知的$x^m=2$、$y^n=5$计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的乘方运算性质的逆用可得：
$x^{2m}=(x^m)^2$，$y^{2n}=(y^n)^2$
将$x^m=2$，$y^n=5$代入得：
$x^{2m}=(x^m)^2=2^2=4$
$y^{2n}=(y^n)^2=5^2=25$
因此$x^{2m} · y^{2n}=4×25=100$
【答案】
100
【知识点】
1. 幂的乘方的逆运算
2. 代数式代入求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂的乘方运算性质的灵活应用，解题的关键是熟练掌握幂的相关运算规则，能够对待求式进行合理变形，将其转化为含已知条件的形式后代入计算即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$，该性质可以逆用，即$a^{mn}=(a^m)^n$。观察待求式$x^{2m} · y^{2n}$，可以将$x^{2m}$变形为$(x^m)^2$，$y^{2n}$变形为$(y^n)^2$，再代入已知的$x^m=2$、$y^n=5$计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的乘方运算性质的逆用可得：
$x^{2m}=(x^m)^2$，$y^{2n}=(y^n)^2$
将$x^m=2$，$y^n=5$代入得：
$x^{2m}=(x^m)^2=2^2=4$
$y^{2n}=(y^n)^2=5^2=25$
因此$x^{2m} · y^{2n}=4×25=100$
【答案】
100
【知识点】
1. 幂的乘方的逆运算
2. 代数式代入求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂的乘方运算性质的灵活应用，解题的关键是熟练掌握幂的相关运算规则，能够对待求式进行合理变形，将其转化为含已知条件的形式后代入计算即可。
【难度系数】
0.9
