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1.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段,完成所提出的问题.
(1)探究1:如图①,在$△ ABC$中,$O$是$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线$BO$和$CO$的交点,试分析$∠ BOC$与$∠ A$有怎样的关系?请说明理由.
(2)探究2:如图②,$O$是$∠ ABC$与$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线$BO$和$CO$的交点,试分析$∠ BOC$与$∠ A$有怎样的关系?请说明理由.
(3)探究3:如图③,$O$是$△ ABC$的外角$∠ DBC$与$∠ ECB$的平分线$BO$和$CO$的交点,则$∠ BOC$与$∠ A$之间的关系是
(1)探究1:如图①,在$△ ABC$中,$O$是$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线$BO$和$CO$的交点,试分析$∠ BOC$与$∠ A$有怎样的关系?请说明理由.
(2)探究2:如图②,$O$是$∠ ABC$与$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线$BO$和$CO$的交点,试分析$∠ BOC$与$∠ A$有怎样的关系?请说明理由.
(3)探究3:如图③,$O$是$△ ABC$的外角$∠ DBC$与$∠ ECB$的平分线$BO$和$CO$的交点,则$∠ BOC$与$∠ A$之间的关系是
$∠ BOC=90°-\frac{1}{2}∠ A$
.答案
(1)$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$. 理由:略.
(2)$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ A$. 理由:略.
(3)$∠ BOC=90°-\frac{1}{2}∠ A$
(2)$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ A$. 理由:略.
(3)$∠ BOC=90°-\frac{1}{2}∠ A$
解析
【分析】
本题是三角形角平分线相关的角度关系探究题，可分别结合三角形内角和定理、外角性质推导：
1. 探究1：两个内角平分线交于三角形内部，先利用三角形内角和表示出∠ABC+∠ACB，再结合角平分线定义得到∠OBC+∠OCB和∠A的关系，最后在△BOC中用内角和求∠BOC即可。
2. 探究2：一个内角平分线和一个外角平分线相交，利用三角形外角的性质，分别表示出△ABC和△OBC的外角，结合角平分线定义消去公共角即可推导关系。
3. 探究3：两个外角平分线相交，先表示出两个外角的和与∠A的关系，再结合角平分线定义得到∠OBC+∠OCB的表达式，最后在△BOC中用内角和计算∠BOC即可。
【解析】
(1) 推导$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$，理由如下：
在△ABC中，由三角形内角和定理得：$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴$∠ 1=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ 2=\frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° - \frac{1}{2}∠ A$
在△BOC中，$∠ BOC = 180° - (∠ 1 + ∠ 2) = 180° - (90° - \frac{1}{2}∠ A) = 90° + \frac{1}{2}∠ A$
(2) 推导$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ A$，理由如下：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCD = \frac{1}{2}∠ ACD$
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴$∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$
∵∠OCD是△OBC的外角，
∴$∠ OCD = ∠ BOC + ∠ OBC$
将$∠ OCD = \frac{1}{2}∠ ACD$代入得：
$\frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) = ∠ BOC + \frac{1}{2}∠ ABC$
化简得：$\frac{1}{2}∠ A + \frac{1}{2}∠ ABC = ∠ BOC + \frac{1}{2}∠ ABC$
∴$∠ BOC = \frac{1}{2}∠ A$
(3) 推导$∠ BOC=90°-\frac{1}{2}∠ A$，理由如下：
∵∠DBC、∠ECB是△ABC的外角
∴$∠ DBC = ∠ A + ∠ ACB$，$∠ ECB = ∠ A + ∠ ABC$
∴$∠ DBC + ∠ ECB = ∠ A + ∠ ACB + ∠ A + ∠ ABC = 180° + ∠ A$
∵BO平分∠DBC，CO平分∠ECB
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ DBC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ECB$
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ DBC + ∠ ECB) = \frac{1}{2}(180° + ∠ A) = 90° + \frac{1}{2}∠ A$
在△BOC中，$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - (90° + \frac{1}{2}∠ A) = 90° - \frac{1}{2}∠ A$
【答案】
(1) $∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$
(2) $∠ BOC=\frac{1}{2}∠ A$
(3) $∠ BOC=90°-\frac{1}{2}∠ A$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的经典模型题，三个探究分别对应三角形内角平分线夹角、内外角平分线夹角、外角平分线夹角三类常见模型，掌握推导逻辑和对应结论，可快速解决同类角度计算问题，解题核心是灵活运用角度相关性质实现等量转化。
【难度系数】
0.7
本题是三角形角平分线相关的角度关系探究题，可分别结合三角形内角和定理、外角性质推导：
1. 探究1：两个内角平分线交于三角形内部，先利用三角形内角和表示出∠ABC+∠ACB，再结合角平分线定义得到∠OBC+∠OCB和∠A的关系，最后在△BOC中用内角和求∠BOC即可。
2. 探究2：一个内角平分线和一个外角平分线相交，利用三角形外角的性质，分别表示出△ABC和△OBC的外角，结合角平分线定义消去公共角即可推导关系。
3. 探究3：两个外角平分线相交，先表示出两个外角的和与∠A的关系，再结合角平分线定义得到∠OBC+∠OCB的表达式，最后在△BOC中用内角和计算∠BOC即可。
【解析】
(1) 推导$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$，理由如下：
在△ABC中，由三角形内角和定理得：$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴$∠ 1=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ 2=\frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° - \frac{1}{2}∠ A$
在△BOC中，$∠ BOC = 180° - (∠ 1 + ∠ 2) = 180° - (90° - \frac{1}{2}∠ A) = 90° + \frac{1}{2}∠ A$
(2) 推导$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ A$，理由如下：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCD = \frac{1}{2}∠ ACD$
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴$∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$
∵∠OCD是△OBC的外角，
∴$∠ OCD = ∠ BOC + ∠ OBC$
将$∠ OCD = \frac{1}{2}∠ ACD$代入得：
$\frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) = ∠ BOC + \frac{1}{2}∠ ABC$
化简得：$\frac{1}{2}∠ A + \frac{1}{2}∠ ABC = ∠ BOC + \frac{1}{2}∠ ABC$
∴$∠ BOC = \frac{1}{2}∠ A$
(3) 推导$∠ BOC=90°-\frac{1}{2}∠ A$，理由如下：
∵∠DBC、∠ECB是△ABC的外角
∴$∠ DBC = ∠ A + ∠ ACB$，$∠ ECB = ∠ A + ∠ ABC$
∴$∠ DBC + ∠ ECB = ∠ A + ∠ ACB + ∠ A + ∠ ABC = 180° + ∠ A$
∵BO平分∠DBC，CO平分∠ECB
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ DBC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ECB$
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ DBC + ∠ ECB) = \frac{1}{2}(180° + ∠ A) = 90° + \frac{1}{2}∠ A$
在△BOC中，$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - (90° + \frac{1}{2}∠ A) = 90° - \frac{1}{2}∠ A$
【答案】
(1) $∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$
(2) $∠ BOC=\frac{1}{2}∠ A$
(3) $∠ BOC=90°-\frac{1}{2}∠ A$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的经典模型题，三个探究分别对应三角形内角平分线夹角、内外角平分线夹角、外角平分线夹角三类常见模型，掌握推导逻辑和对应结论，可快速解决同类角度计算问题，解题核心是灵活运用角度相关性质实现等量转化。
【难度系数】
0.7
2.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线$BE$,$CD$相交于点$F$,$∠ A = 60°$,则$∠ BFC=$
$120°$
.答案
$120°$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用三角形内角和定理，结合已知的∠A的度数，求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和；第二步，根据角平分线的定义，得出∠FBC是∠ABC的一半，∠FCB是∠ACB的一半，进而求出∠FBC与∠FCB的和；第三步，再次利用三角形内角和定理，在△BFC中计算出∠BFC的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=60°，可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 60° = 120°$
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，根据角平分线的定义：
$∠ FBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ FCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ FBC + ∠ FCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 120° = 60°$
在△BFC中，再次利用三角形内角和定理：
$∠ BFC = 180° - (∠ FBC + ∠ FCB) = 180° - 60° = 120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形角平分线与内角和的基础综合题，解题核心是利用角平分线的性质将已知角的关系转化到待求角所在的三角形中，也可以直接记住结论：三角形两个内角的平分线相交形成的夹角等于$90°$加上第三个内角度数的一半，能提高同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先利用三角形内角和定理，结合已知的∠A的度数，求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和；第二步，根据角平分线的定义，得出∠FBC是∠ABC的一半，∠FCB是∠ACB的一半，进而求出∠FBC与∠FCB的和；第三步，再次利用三角形内角和定理，在△BFC中计算出∠BFC的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=60°，可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 60° = 120°$
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，根据角平分线的定义：
$∠ FBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ FCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ FBC + ∠ FCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 120° = 60°$
在△BFC中，再次利用三角形内角和定理：
$∠ BFC = 180° - (∠ FBC + ∠ FCB) = 180° - 60° = 120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形角平分线与内角和的基础综合题，解题核心是利用角平分线的性质将已知角的关系转化到待求角所在的三角形中，也可以直接记住结论：三角形两个内角的平分线相交形成的夹角等于$90°$加上第三个内角度数的一半，能提高同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
3.如图，$△ ABC$的外角$∠ ACF$的平分线所在的直线与$∠ ABC$的平分线相交于点$D$，与$△ ABC$的外角$∠ FBG$的平分线相交于点$E$.若$∠ A = 50°$，则$∠ D =$
（第3题）
$25°$
，$∠ E =$ $65°$
.（第3题）答案
$25°$；$65°$
解析
【分析】
解题时先推导∠D的度数：结合角平分线的定义，利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”，分别表示出△ABC和△DBC的外角，建立∠D与∠A的数量关系即可求解；再推导∠E的度数：根据BD、BE分别平分一组邻补角，可得∠EBD为直角，再利用直角三角形两锐角互余计算∠E即可。
【解析】
1. 计算∠D的度数：
∵ CD是∠ACF的平分线，
∴ $∠ DCF=\frac{1}{2}∠ ACF$
∵ BD是∠ABC的平分线，
∴ $∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$
根据三角形外角的性质：
$∠ ACF$是$△ ABC$的外角，故$∠ ACF=∠ A+∠ ABC$
$∠ DCF$是$△ DBC$的外角，故$∠ DCF=∠ D+∠ DBC$
将前两个角平分线的结论代入得：
$\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)=∠ D+\frac{1}{2}∠ ABC$
化简后可得：$∠ D=\frac{1}{2}∠ A$
已知$∠ A=50°$，代入得$∠ D=\frac{1}{2}×50°=25°$
2. 计算∠E的度数：
∵ BE是∠FBG的平分线，BD是∠ABC的平分线，且$∠ ABC+∠ FBG=180°$（平角的定义）
∴ $∠ DBC+∠ EBC=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ FBG)=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ EBD=90°$
在$Rt△ BDE$中，两锐角互余，故$∠ E+∠ D=90°$
代入$∠ D=25°$得：$∠ E=90°-25°=65°$
【答案】
$25°$；$65°$
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角平分线夹角的经典模型题，解题关键是灵活运用三角形外角性质和角平分线定义推导角的数量关系，记住该类模型的结论可提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先推导∠D的度数：结合角平分线的定义，利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”，分别表示出△ABC和△DBC的外角，建立∠D与∠A的数量关系即可求解；再推导∠E的度数：根据BD、BE分别平分一组邻补角，可得∠EBD为直角，再利用直角三角形两锐角互余计算∠E即可。
【解析】
1. 计算∠D的度数：
∵ CD是∠ACF的平分线，
∴ $∠ DCF=\frac{1}{2}∠ ACF$
∵ BD是∠ABC的平分线，
∴ $∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$
根据三角形外角的性质：
$∠ ACF$是$△ ABC$的外角，故$∠ ACF=∠ A+∠ ABC$
$∠ DCF$是$△ DBC$的外角，故$∠ DCF=∠ D+∠ DBC$
将前两个角平分线的结论代入得：
$\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)=∠ D+\frac{1}{2}∠ ABC$
化简后可得：$∠ D=\frac{1}{2}∠ A$
已知$∠ A=50°$，代入得$∠ D=\frac{1}{2}×50°=25°$
2. 计算∠E的度数：
∵ BE是∠FBG的平分线，BD是∠ABC的平分线，且$∠ ABC+∠ FBG=180°$（平角的定义）
∴ $∠ DBC+∠ EBC=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ FBG)=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ EBD=90°$
在$Rt△ BDE$中，两锐角互余，故$∠ E+∠ D=90°$
代入$∠ D=25°$得：$∠ E=90°-25°=65°$
【答案】
$25°$；$65°$
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角平分线夹角的经典模型题，解题关键是灵活运用三角形外角性质和角平分线定义推导角的数量关系，记住该类模型的结论可提升解题效率。
【难度系数】
0.7
4.如图，$△ ABC$的两条内角平分线$BO$，$CO$相交于点$O$，两条外角平分线$BP$，$CP$相交于点$P$，若$∠ BOC=120°$，则$∠ P=\_\_\_\_\_\_$.
答案
$60°$
解析
【分析】
要解决本题，我们可以从角平分线的性质入手分析：首先BO、CO是△ABC的内角平分线，BP、CP是△ABC的外角平分线，结合平角的性质可先推出∠OBP和∠OCP都是直角，再利用四边形内角和为360°的性质，代入已知的∠BOC的度数即可求出∠P的度数。也可以先通过内角平分线夹角公式求出∠A的度数，再利用外角平分线夹角公式计算∠P，两种方法均符合八年级知识要求。
【解析】
1. 计算∠OBP和∠OCP的度数：
∵ BO平分∠ABC，BP平分△ABC的外角∠DBC，
∴ $∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ DBC$，
又
∵ $∠ ABC+∠ DBC=180°$（平角的定义），
∴ $∠ OBC+∠ PBC=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ DBC)=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ OBP=90°$，
同理可证：$∠ OCP=90°$。
2. 利用四边形内角和求∠P：
∵ 四边形OBPC的内角和为$360°$，
∴ $∠ BOC+∠ OBP+∠ OCP+∠ P=360°$，
将$∠ BOC=120°$，$∠ OBP=∠ OCP=90°$代入得：
$120°+90°+90°+∠ P=360°$，
解得$∠ P=360°-120°-90°-90°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
角平分线的定义，平角的定义，四边形内角和定理
【点评】
本题是三角形角平分线夹角的典型题型，既可以通过角平分线性质结合多边形内角和直接推导，也可以通过记忆三角形内外角平分线的夹角模型快速解题，熟练掌握相关性质和模型能大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.7
要解决本题，我们可以从角平分线的性质入手分析：首先BO、CO是△ABC的内角平分线，BP、CP是△ABC的外角平分线，结合平角的性质可先推出∠OBP和∠OCP都是直角，再利用四边形内角和为360°的性质，代入已知的∠BOC的度数即可求出∠P的度数。也可以先通过内角平分线夹角公式求出∠A的度数，再利用外角平分线夹角公式计算∠P，两种方法均符合八年级知识要求。
【解析】
1. 计算∠OBP和∠OCP的度数：
∵ BO平分∠ABC，BP平分△ABC的外角∠DBC，
∴ $∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ DBC$，
又
∵ $∠ ABC+∠ DBC=180°$（平角的定义），
∴ $∠ OBC+∠ PBC=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ DBC)=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ OBP=90°$，
同理可证：$∠ OCP=90°$。
2. 利用四边形内角和求∠P：
∵ 四边形OBPC的内角和为$360°$，
∴ $∠ BOC+∠ OBP+∠ OCP+∠ P=360°$，
将$∠ BOC=120°$，$∠ OBP=∠ OCP=90°$代入得：
$120°+90°+90°+∠ P=360°$，
解得$∠ P=360°-120°-90°-90°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
角平分线的定义，平角的定义，四边形内角和定理
【点评】
本题是三角形角平分线夹角的典型题型，既可以通过角平分线性质结合多边形内角和直接推导，也可以通过记忆三角形内外角平分线的夹角模型快速解题，熟练掌握相关性质和模型能大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.7
5.如图,已知$△ ABC$的内角$∠ A=α$,分别作内角$∠ ABC$与外角$∠ ACD$的平分线,两条平分线交于点$A_1$,得到$∠ A_1$,$∠ A_1BC$和$∠ A_1CD$的平分线交于点$A_2$,得到$∠ A_2······$以此类推得到$∠ A_n$,则$∠ A_n=$
$\frac{α}{2^n}$
.答案
$\frac{α}{2^n}$
解析
【分析】
解题时先利用三角形外角性质与角平分线定义推导∠A₁与∠A的数量关系，再同理推导∠A₂与∠A₁的关系，从中发现递推规律，最终得到∠Aₙ的通用表达式。首先明确两个核心依据：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，角平分线会将对应角分为两个相等的角，代入表达式消去公共角即可得到相邻两个角的倍数关系，再归纳规律即可得到结果。
【解析】
解：
∵BA₁平分∠ABC，CA₁平分∠ACD
∴$∠ A_1BC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ A_1CD=\frac{1}{2}∠ ACD$
根据三角形外角的性质可得：
$∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$，$∠ A_1CD = ∠ A_1 + ∠ A_1BC$
将角平分线的结论代入$∠ A_1CD$的表达式：
$\frac{1}{2}∠ ACD = ∠ A_1 + \frac{1}{2}∠ ABC$
两边同乘2得：$∠ ACD = 2∠ A_1 + ∠ ABC$
结合$∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$，两式联立可得：
$∠ A + ∠ ABC = 2∠ A_1 + ∠ ABC$
消去$∠ ABC$后得：$∠ A_1 = \frac{1}{2}∠ A = \frac{α}{2}$
同理可推：$∠ A_2 = \frac{1}{2}∠ A_1 = \frac{α}{2^2}$，$∠ A_3 = \frac{1}{2}∠ A_2 = \frac{α}{2^3}$
以此类推，可得$∠ A_n = \frac{α}{2^n}$
【答案】
$\frac{α}{2^n}$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，规律归纳
【点评】
本题是三角形角度规律探究的典型题目，核心是熟练运用三角形外角性质和角平分线定义推导相邻角的递推关系，只要找到第一个角和原角度的倍数关系，就能轻松归纳出通用结论。
【难度系数】
0.65
解题时先利用三角形外角性质与角平分线定义推导∠A₁与∠A的数量关系，再同理推导∠A₂与∠A₁的关系，从中发现递推规律，最终得到∠Aₙ的通用表达式。首先明确两个核心依据：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，角平分线会将对应角分为两个相等的角，代入表达式消去公共角即可得到相邻两个角的倍数关系，再归纳规律即可得到结果。
【解析】
解：
∵BA₁平分∠ABC，CA₁平分∠ACD
∴$∠ A_1BC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ A_1CD=\frac{1}{2}∠ ACD$
根据三角形外角的性质可得：
$∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$，$∠ A_1CD = ∠ A_1 + ∠ A_1BC$
将角平分线的结论代入$∠ A_1CD$的表达式：
$\frac{1}{2}∠ ACD = ∠ A_1 + \frac{1}{2}∠ ABC$
两边同乘2得：$∠ ACD = 2∠ A_1 + ∠ ABC$
结合$∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$，两式联立可得：
$∠ A + ∠ ABC = 2∠ A_1 + ∠ ABC$
消去$∠ ABC$后得：$∠ A_1 = \frac{1}{2}∠ A = \frac{α}{2}$
同理可推：$∠ A_2 = \frac{1}{2}∠ A_1 = \frac{α}{2^2}$，$∠ A_3 = \frac{1}{2}∠ A_2 = \frac{α}{2^3}$
以此类推，可得$∠ A_n = \frac{α}{2^n}$
【答案】
$\frac{α}{2^n}$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，规律归纳
【点评】
本题是三角形角度规律探究的典型题目，核心是熟练运用三角形外角性质和角平分线定义推导相邻角的递推关系，只要找到第一个角和原角度的倍数关系，就能轻松归纳出通用结论。
【难度系数】
0.65
6.如图，BC是$∠ ABN$的平分线，BC的反向延长线与$∠ BAO$的平分线交于点D.如果$∠ MON=α$，其余条件不变，随着点A，B的运动，求$∠ D$的度数.（用含$α$的式子表示）
答案
$∠ D=\frac{1}{2}α$.
解析
【分析】
解题时可先结合角平分线的定义，将被平分的∠BAO、∠ABN转化为倍分关系的角，再利用三角形外角的性质，分别得到∠ABN与∠MON、∠OAB的关系，以及∠ABC与∠D、∠BAD的关系，最后通过等量代换消去公共角，推导得到∠D和α的数量关系。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2∠BAD，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABN=2∠ABC。
∵∠ABN是△AOB的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，
∴∠ABN=∠MON + ∠BAO，
代入得：$2∠ABC = α + 2∠BAD$，
两边同时除以2得：$∠ABC = \frac{1}{2}α + ∠BAD$。
又
∵∠ABC是△ABD的外角，
∴$∠ABC = ∠D + ∠BAD$，
联立两个式子可得：$\frac{1}{2}α + ∠BAD = ∠D + ∠BAD$，
消去∠BAD，得$∠D=\frac{1}{2}α$。
【答案】
$\boldsymbol{∠D=\frac{1}{2}α}$
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质，角度计算
【点评】
本题是三角形角平分线与外角性质结合的典型模型题，解题核心是利用外角的等量关系建立已知角和未知角的联系，通过消去中间量得到所求角的表达式，熟练掌握相关性质即可快速推导结果。
【难度系数】
0.7
解题时可先结合角平分线的定义，将被平分的∠BAO、∠ABN转化为倍分关系的角，再利用三角形外角的性质，分别得到∠ABN与∠MON、∠OAB的关系，以及∠ABC与∠D、∠BAD的关系，最后通过等量代换消去公共角，推导得到∠D和α的数量关系。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2∠BAD，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABN=2∠ABC。
∵∠ABN是△AOB的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，
∴∠ABN=∠MON + ∠BAO，
代入得：$2∠ABC = α + 2∠BAD$，
两边同时除以2得：$∠ABC = \frac{1}{2}α + ∠BAD$。
又
∵∠ABC是△ABD的外角，
∴$∠ABC = ∠D + ∠BAD$，
联立两个式子可得：$\frac{1}{2}α + ∠BAD = ∠D + ∠BAD$，
消去∠BAD，得$∠D=\frac{1}{2}α$。
【答案】
$\boldsymbol{∠D=\frac{1}{2}α}$
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质，角度计算
【点评】
本题是三角形角平分线与外角性质结合的典型模型题，解题核心是利用外角的等量关系建立已知角和未知角的联系，通过消去中间量得到所求角的表达式，熟练掌握相关性质即可快速推导结果。
【难度系数】
0.7
