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7.如图①,在△ABC中,∠B＜∠C,AD平分∠BAC,AE⊥BC于点E.试探究∠EAD与∠B,∠C的数量关系.
(1)小明尝试代入∠B,∠C的值求∠EAD的值,得到下面几组对应值:
∠B(单位:度) 30 45 20
∠C(单位:度) 70 75 80
∠EAD(单位:度) 20 15 a
上表中a=
(2)证明(1)中猜想得到的∠EAD与∠B,∠C的数量关系.
【变式1·正向应用】如图②,在△ABC中,AD平分∠BAC,在线段AD上任取点F,作FE⊥BC,垂足为点E,当∠B=40°,∠C=70°时,∠DFE的度数为
【变式2·一般化】如图③,在△ABC中,∠B＞∠C,AD平分∠BAC,在AD的延长线上任取点F,作FE⊥BC于点E,设∠B=x,∠C=y,则∠DFE的大小为
【变式3·转化思想】如图④,在【变式1·正向应用】的条件下,在DA的延长线上任取点F,其他条件不变,判断∠DFE的度数是否会发生变化,并说明理由.
【变式4·转化与化归思想】如图⑤,图⑥,在△ABC中,∠ABC=α,∠ACB=β,AD是∠BAC的平分线,在直线AD上任取点F,过点F作EF⊥AD,与直线BC交于点E,请直接写出∠DEF与α,β之间的数量关系:
(1)小明尝试代入∠B,∠C的值求∠EAD的值,得到下面几组对应值:
∠B(单位:度) 30 45 20
∠C(单位:度) 70 75 80
∠EAD(单位:度) 20 15 a
上表中a=
$30$
,猜想:∠EAD与∠B,∠C的数量关系为$∠ EAD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$
.(2)证明(1)中猜想得到的∠EAD与∠B,∠C的数量关系.
【变式1·正向应用】如图②,在△ABC中,AD平分∠BAC,在线段AD上任取点F,作FE⊥BC,垂足为点E,当∠B=40°,∠C=70°时,∠DFE的度数为
$15$
°.【变式2·一般化】如图③,在△ABC中,∠B＞∠C,AD平分∠BAC,在AD的延长线上任取点F,作FE⊥BC于点E,设∠B=x,∠C=y,则∠DFE的大小为
$\frac{x-y}{2}$
(用含x,y的式子表示).【变式3·转化思想】如图④,在【变式1·正向应用】的条件下,在DA的延长线上任取点F,其他条件不变,判断∠DFE的度数是否会发生变化,并说明理由.
【变式4·转化与化归思想】如图⑤,图⑥,在△ABC中,∠ABC=α,∠ACB=β,AD是∠BAC的平分线,在直线AD上任取点F,过点F作EF⊥AD,与直线BC交于点E,请直接写出∠DEF与α,β之间的数量关系:
$∠ DEF=\frac{|α-β|}{2}$
.答案
(1)$30$；$∠ EAD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$
(2)证明:略.
【变式1·正向应用】$15$
【变式2·一般化】$\frac{x-y}{2}$
【变式3·转化思想】解:不变,理由略.
【变式4·转化与化归思想】$∠ DEF=\frac{|α-β|}{2}$
(2)证明:略.
【变式1·正向应用】$15$
【变式2·一般化】$\frac{x-y}{2}$
【变式3·转化思想】解:不变,理由略.
【变式4·转化与化归思想】$∠ DEF=\frac{|α-β|}{2}$
解析
【分析】
(1) 先观察表格前两组数据的规律：∠EAD均为∠C与∠B差值的一半，按照该规律即可计算a的值，进而猜想出∠EAD和∠B、∠C的数量关系。(2) 证明时先利用三角形内角和求出∠BAC的度数，结合角平分线定义得到∠BAD的度数，再根据AE⊥BC利用直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数，最后通过角的和差推导即可得到结论。
变式1可过点A作BC边上的高，利用平行线的同位角相等，直接代入(1)的结论计算即可；变式2类比(1)的推导思路，结合∠B＞∠C的条件写表达式即可；变式3仍可通过作平行线的思路推导，角的大小不受F点位置影响；变式4结合垂直性质、角平分线定义和三角形外角性质推导即可，注意用绝对值覆盖两种角的大小关系。
【解析】
(1) 观察前两组数据：
第一组：$∠ C-∠ B=70°-30°=40°$，$∠ EAD=20°=\frac{1}{2}×40°$
第二组：$∠ C-∠ B=75°-45°=30°$，$∠ EAD=15°=\frac{1}{2}×30°$
第三组：$∠ C-∠ B=80°-20°=60°$，故$a=\frac{1}{2}×60°=30°$，猜想$∠ EAD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
(2) 证明：
在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C$
∵AD平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)=90°-\frac{1}{2}(∠ B+∠ C)$
∵AE⊥BC，
∴$∠ AEB=90°$，
∴$∠ BAE=90°-∠ B$
∴$∠ EAD=∠ BAE-∠ BAD=(90°-∠ B)-[90°-\frac{1}{2}(∠ B+∠ C)]=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$，猜想得证。
【变式1】过A作AH⊥BC于H，由(1)得$∠ HAD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)=\frac{1}{2}×(70°-40°)=15°$，
∵FE⊥BC，AH⊥BC，
∴FE//AH，同位角相等得$∠ DFE=∠ HAD=15°$。
【变式2】类比(1)的推导过程，$∠ DFE=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)=\frac{x-y}{2}$。
【变式3】过A作AH⊥BC于H，同理可得FE//AH，内错角相等得$∠ DFE=∠ HAD=15°$，故度数不变。
【变式4】结合角平分线性质、垂直性质和三角形外角性质推导可得$∠ DEF=\frac{|α-β|}{2}$。
【答案】
(1)$30$；$∠ EAD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$
(2)证明见解析
【变式1·正向应用】$15$
【变式2·一般化】$\frac{x-y}{2}$
【变式3·转化思想】不变，理由见解析
【变式4·转化与化归思想】$∠ DEF=\frac{|α-β|}{2}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题围绕三角形角平分线与高线的夹角模型层层设问，从特殊值探究到一般结论推导，再到多场景变式应用，侧重考查逻辑推理能力和模型迁移应用能力，熟练掌握角的和差计算、平行线性质等知识即可快速解题。
【难度系数】
0.65
(1) 先观察表格前两组数据的规律：∠EAD均为∠C与∠B差值的一半，按照该规律即可计算a的值，进而猜想出∠EAD和∠B、∠C的数量关系。(2) 证明时先利用三角形内角和求出∠BAC的度数，结合角平分线定义得到∠BAD的度数，再根据AE⊥BC利用直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数，最后通过角的和差推导即可得到结论。
变式1可过点A作BC边上的高，利用平行线的同位角相等，直接代入(1)的结论计算即可；变式2类比(1)的推导思路，结合∠B＞∠C的条件写表达式即可；变式3仍可通过作平行线的思路推导，角的大小不受F点位置影响；变式4结合垂直性质、角平分线定义和三角形外角性质推导即可，注意用绝对值覆盖两种角的大小关系。
【解析】
(1) 观察前两组数据：
第一组：$∠ C-∠ B=70°-30°=40°$，$∠ EAD=20°=\frac{1}{2}×40°$
第二组：$∠ C-∠ B=75°-45°=30°$，$∠ EAD=15°=\frac{1}{2}×30°$
第三组：$∠ C-∠ B=80°-20°=60°$，故$a=\frac{1}{2}×60°=30°$，猜想$∠ EAD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
(2) 证明：
在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C$
∵AD平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)=90°-\frac{1}{2}(∠ B+∠ C)$
∵AE⊥BC，
∴$∠ AEB=90°$，
∴$∠ BAE=90°-∠ B$
∴$∠ EAD=∠ BAE-∠ BAD=(90°-∠ B)-[90°-\frac{1}{2}(∠ B+∠ C)]=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$，猜想得证。
【变式1】过A作AH⊥BC于H，由(1)得$∠ HAD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)=\frac{1}{2}×(70°-40°)=15°$，
∵FE⊥BC，AH⊥BC，
∴FE//AH，同位角相等得$∠ DFE=∠ HAD=15°$。
【变式2】类比(1)的推导过程，$∠ DFE=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)=\frac{x-y}{2}$。
【变式3】过A作AH⊥BC于H，同理可得FE//AH，内错角相等得$∠ DFE=∠ HAD=15°$，故度数不变。
【变式4】结合角平分线性质、垂直性质和三角形外角性质推导可得$∠ DEF=\frac{|α-β|}{2}$。
【答案】
(1)$30$；$∠ EAD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$
(2)证明见解析
【变式1·正向应用】$15$
【变式2·一般化】$\frac{x-y}{2}$
【变式3·转化思想】不变，理由见解析
【变式4·转化与化归思想】$∠ DEF=\frac{|α-β|}{2}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题围绕三角形角平分线与高线的夹角模型层层设问，从特殊值探究到一般结论推导，再到多场景变式应用，侧重考查逻辑推理能力和模型迁移应用能力，熟练掌握角的和差计算、平行线性质等知识即可快速解题。
【难度系数】
0.65
