12.若正比例函数的图象经过点$(4,-5)$，则这个图象必经过点 （）

A.$(-5,-4)$
B.$(4,5)$
C.$(5,-4)$
D.$(-4,5)$

12.D

【分析】
要解决这道题，首先回忆正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）。解题思路分为两步：第一步，利用已知经过的点$(4,-5)$求出比例系数$k$，得到该正比例函数的具体解析式；第二步，将各选项的坐标分别代入解析式，验证坐标是否满足解析式，满足的点就是函数图象必经过的点。
【解析】
设该正比例函数的解析式为$y=kx$（$k≠0$）。
∵ 函数图象经过点$(4,-5)$，将$x=4$，$y=-5$代入解析式得：
$-5=4k$，解得$k=-\frac{5}{4}$
∴ 该正比例函数的解析式为$y=-\frac{5}{4}x$。
接下来逐一验证选项：
A. 当$x=-5$时，$y=-\frac{5}{4}×(-5)=\frac{25}{4}≠-4$，故该点不在函数图象上；
B. 当$x=4$时，$y=-\frac{5}{4}×4=-5≠5$，故该点不在函数图象上；
C. 当$x=5$时，$y=-\frac{5}{4}×5=-\frac{25}{4}≠-4$，故该点不在函数图象上；
D. 当$x=-4$时，$y=-\frac{5}{4}×(-4)=5$，与选项的纵坐标一致，故该点在函数图象上。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数的基础应用题，核心考查对正比例函数性质的理解，只要掌握函数图象上的点坐标一定满足函数解析式这一规律，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

13. 若点$P(x_1,y_1)$,$Q(x_2,y_2)$在正比例函数$y=mx$的图象上,且当$x_1＜x_2$时,$y_1＞y_2$,则$m$的值可以是 ()

A.$2$
B.$0$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\sqrt{3}-2$

13.D

【分析】
本题考查正比例函数的增减性应用，解题思路如下：首先根据给出的x、y的大小变化关系，判断正比例函数的增减趋势；再结合正比例函数的性质，得到比例系数m的取值范围；最后判断各选项的数值是否符合m的取值范围，即可选出正确答案。
【解析】
解：
∵点$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$在正比例函数$y=mx$的图象上，且当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，
∴y随x的增大而减小，
根据正比例函数的性质可得：$m＜0$。
逐一分析选项：
A、$2＞0$，不符合要求；
B、当$m=0$时，$y=0$，此时$y_1=y_2=0$，不符合要求；
C、$\frac{2}{5}＞0$，不符合要求；
D、$\sqrt{3}\approx1.732$，故$\sqrt{3}-2\approx1.732-2=-0.268＜0$，符合要求。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的性质、实数的大小比较
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对正比例函数性质的理解与运用，解题核心是根据函数值随自变量的变化规律判断比例系数的正负，再结合选项筛选即可。
【难度系数】
0.8

14. 我们知道，通过列表、描点、连线可以画出一个函数的图象. 在画完函数 $ y=2x $ 的图象后，何老师给同学们提出一个问题：“不通过画图，你能解释为什么函数 $ y=2x $ 的图象经过第一、三象限吗？”聪明的小亮经过思考，给出了这样的解答：“当 $ x＞0 $ 时，$ y=2x＞0 $，此时描出的点都在第一象限；当 $ x＜0 $ 时，$ y=2x＜0 $，此时描出的点都在第三象限. 所以函数 $ y=2x $ 的图象一定经过第一、三象限.”大家不禁为善于思考的小亮鼓掌. 最后何老师又给大家留了一道思考题：下面四个图象中哪个是函数 $ y=\sqrt{x} $ 的图象 （）

14.C

【分析】
要判断函数$y=\sqrt{x}$的图象，我们可以按两步思考：第一步先确定自变量$x$的取值范围，二次根式有意义的前提是被开方数非负，所以$x$必须大于等于0，也就是图象上不存在横坐标为负数的点，我们可以先排除$x＜0$区域有图象的选项；第二步再看$x≥0$时函数值的特征和图象变化趋势，$x≥0$时$\sqrt{x}$也大于等于0，所以图象都在$x$轴及$x$轴上方，且随着$x$增大，$y$增大但增长速度越来越慢，对应符合的选项即可。
【解析】
1. 确定自变量取值范围：要使$\sqrt{x}$有意义，被开方数需满足$x≥0$，因此函数$y=\sqrt{x}$的图象上所有点的横坐标都非负，$x＜0$时没有对应的图象。观察四个选项，A、B、D的图象在$x＜0$的区域都有部分，不符合要求，直接排除A、B、D。
2. 验证剩余选项C：当$x≥0$时，$y=\sqrt{x}≥0$，图象都在$x$轴及第一象限内，且随着$x$增大，$y$逐渐增大，增长速度逐渐变慢，和选项C的图象特征完全匹配。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件，函数图象识别，自变量取值范围
【点评】
本题是函数图象判断的基础题型，解题核心是先通过自变量的取值范围快速排除错误选项，再结合函数值的特征和变化趋势验证剩余选项，能有效考查学生对函数基本概念的掌握情况。
【难度系数】
0.7

15.若$k＞0,x＞0$,则关于函数$y=kx$的结论:
①$y$随$x$的增大而增大;②$y$随$x$的增大而减小;③$y$恒为正数;④$y$恒为负数.其中正确的是.(填序号)

15.①③

【分析】
本题考查正比例函数的性质，解题时可分两步判断：第一步先根据k的符号判断函数的增减性，确定①②的对错；第二步结合k＞0和x＞0的条件，根据乘法符号规律判断函数值的正负，确定③④的对错。
【解析】
已知函数为正比例函数$y=kx$，且$k＞0$，$x＞0$：
1. 判断增减性：对于正比例函数$y=kx$，当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，因此结论①正确，②错误；
2. 判断函数值符号：因为$k＞0$，$x＞0$，两个正数相乘结果为正，因此$y=kx＞0$恒成立，结论③正确，④错误。
综上，正确的结论是①③。
【答案】
①③
【知识点】
正比例函数的性质；有理数乘法符号法则
【点评】
本题属于基础题，核心考查正比例函数的基础性质，解题时需注意结合题目给出的x的取值范围判断函数值的正负，熟记相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8

16.已知$y-2$与$3x-4$成正比例，且当$x=2$时，$y=3$。
(1)写出$y$与$x$之间的关系式。
(2)若点$P(a,-3)$在这个函数的图象上，求$a$的值。
(3)若$y$的取值范围为$-1≤ y≤1$，求$x$的最小值。

16.解:(1)由题意,设$y-2=k(3x-4)$. 将$x=2,y=3$代入,得$2k=1$,解得$k=\frac{1}{2}.\therefore y-2=\frac{1}{2}(3x-4)$,即$y=\frac{3}{2}x$. (2)将点$P(a,-3)$代入$y=\frac{3}{2}x$,得$\frac{3}{2}a=-3$,解得$a=-2$. (3)在$y=\frac{3}{2}x$中,$\because \frac{3}{2}＞0$,$\therefore y$随$x$的增大而增大.$\therefore$当$x$取最小值时,$y$值最小.当$y=-1$时,$\frac{3}{2}x=-1$,解得$x=-\frac{2}{3}.\therefore x$的最小值为$-\frac{2}{3}$.

【分析】
(1) 按照成正比例的定义，若两个量成正比例，可设为A=kB（k≠0），本题中A为y-2，B为3x-4，先设出含参数k的表达式，再代入已知的x、y值求出k，整理后即可得到y与x的关系式；
(2) 函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点P的坐标代入第一问得到的解析式，解一元一次方程即可求出a的值；
(3) 先根据正比例函数的比例系数判断增减性，由于k＞0时y随x的增大而增大，因此y取最小值时对应的x最小，代入y的最小值即可求出x的最小值。
【解析】
(1) 由题意，设$y-2=k(3x-4)$（$k≠0$），将$x=2$，$y=3$代入得：
$3-2=k(3×2-4)$，即$2k=1$，解得$k=\frac{1}{2}$，
将$k=\frac{1}{2}$代入所设式子，得$y-2=\frac{1}{2}(3x-4)$，整理得$y=\frac{3}{2}x$。
(2) 将点$P(a,-3)$代入$y=\frac{3}{2}x$，得：
$\frac{3}{2}a=-3$，解得$a=-2$。
(3) 在$y=\frac{3}{2}x$中，$\because \frac{3}{2}＞0$，$\therefore y$随$x$的增大而增大，因此当$x$取最小值时，$y$取最小值，
已知$-1≤ y≤1$，则$y$的最小值为$-1$，将$y=-1$代入$y=\frac{3}{2}x$得：
$\frac{3}{2}x=-1$，解得$x=-\frac{2}{3}$，即$x$的最小值为$-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{2}x$；(2) $a=-2$；(3) $x$的最小值为$-\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 正比例函数定义
2. 一次函数增减性
3. 函数图象上点的特征
【点评】
本题属于正比例函数的基础考查题，解题核心是掌握成正比例关系的表达式设取方法，以及利用函数增减性求解变量最值的思路，计算量小，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.75

17. 如图,已知正比例函数 $ y=kx $ 的图象经过点A,点A在第四象限,过点A作 $ AH ⊥ x $ 轴,垂足为H,点A的横坐标为3,且 $ △ AOH $ 的面积为3.
(1)求正比例函数的表达式.
(2)在x轴上是否存在一点P,使 $ △ AOP $ 的面积为5?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)已知点Q在x轴上,若 $ △ AOQ $ 是以AO为腰的等腰三角形,则点Q的坐标为.

17.解:(1)$\because$点A的横坐标为3,且$△ AOH$的面积为3,$\therefore$点A的纵坐标为$-2. \therefore$点A的坐标为$(3,-2). \because$正比例函数$y=kx$的图象经过点A,$\therefore$将点$A(3,-2)$代入$y=kx$,得$3k=-2$,解得$k=-\frac{2}{3}.\therefore$正比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x$. (2)存在.理由如下:$\because S_{△ AOP}=5, \therefore \frac{1}{2}OP· AH=5$.又$\because AH=2$,$\therefore OP=5. \therefore$点P的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$. (3)$(\sqrt{13},0)$或$(-\sqrt{13},0)$或$(6,0)$

【分析】
(1) 先根据点A的横坐标得到OH的长度，结合△AOH的面积，用三角形面积公式求出AH的长度，再根据A在第四象限确定A的纵坐标，得到A点坐标后，代入正比例函数$y=kx$即可求出k值，得到函数表达式。
(2) 要判断是否存在点P，先明确△AOP的高就是A到x轴的距离AH=2，设OP的长度为底，根据面积为5列方程求出OP的长度，再结合P在x轴上，分P在x正半轴和负半轴两种情况得到P的坐标。
(3) △AOQ以AO为腰，需分两种情况讨论：①AO=OQ，此时先由勾股定理求出AO的长度，即可得到OQ的长度，分Q在x正、负半轴得到坐标；②AO=AQ，此时A在OQ的垂直平分线上，结合A的横坐标即可求出OQ的长度，得到Q的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵点A的横坐标为3，$AH⊥ x$轴，$\therefore OH=3$，
∵$△ AOH$的面积为3，$\therefore S_{△ AOH}=\frac{1}{2}· OH· AH=\frac{1}{2}×3× AH=3$，解得$AH=2$，
又
∵点A在第四象限，
∴点A的纵坐标为-2，即$A(3,-2)$，
将$A(3,-2)$代入$y=kx$，得$3k=-2$，解得$k=-\frac{2}{3}$，
∴正比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x$。
(2) 存在，理由如下：
设点P的坐标为$(t,0)$，则$OP=|t|$，
$△ AOP$的高为$AH=2$，
∵$S_{△ AOP}=5$，
∴$\frac{1}{2}· OP· AH=\frac{1}{2}×|t|×2=5$，解得$|t|=5$，即$t=5$或$t=-5$，
∴点P的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$。
(3) 先求AO的长度：由勾股定理得$AO=\sqrt{OH^2+AH^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，
$△ AOQ$以AO为腰，分两种情况：
①当$AO=OQ$时，$OQ=\sqrt{13}$，
若Q在x轴正半轴，则$Q(\sqrt{13},0)$，若Q在x轴负半轴，则$Q(-\sqrt{13},0)$；
②当$AO=AQ$时，
∵$AH⊥ OQ$，
∴$OH=HQ=3$（等腰三角形三线合一），
∴$OQ=OH+HQ=6$，即$Q(6,0)$；
综上，点Q的坐标为$(\sqrt{13},0)$或$(-\sqrt{13},0)$或$(6,0)$。
【答案】
(1) $y=-\frac{2}{3}x$；
(2) 存在，点P坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$；
(3) $(\sqrt{13},0)$或$(-\sqrt{13},0)$或$(6,0)$
【知识点】
正比例函数解析式求解，三角形面积计算，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题综合考查正比例函数、平面直角坐标系中三角形面积计算和等腰三角形的性质，解题时要注意分类讨论思想的运用，尤其是在坐标轴上找点时要考虑点在正负半轴的多种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6