1.如图,点 C 是线段 AB 的一个黄金分割点,AC＜BC,则下列比例中,是黄金比的是()


A.$\frac{AB}{AC}$
B.$\frac{AB}{BC}$
C.$\frac{BC}{AC}$
D.$\frac{AC}{BC}$

1.D

【分析】
首先回忆黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，这个比值就是黄金比。解题时先确定线段的长短关系：题目给出AC＜BC，因此BC是较长线段，AC是较短线段，AB是原线段全长。再根据黄金比的定义，黄金比为较短段与较长段的比值，或者较长段与全长的比值，对照四个选项逐一判断即可得到正确答案。
【解析】
根据黄金分割的定义：若点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，则满足$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB}$，这个公共比值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$就是黄金比。
逐一分析选项：
A. $\frac{AB}{AC}$是全长与较短线段的比，不是黄金比；
B. $\frac{AB}{BC}$是全长与较长线段的比，是黄金比的倒数，不是黄金比；
C. $\frac{BC}{AC}$是较长线段与较短线段的比，是黄金比的倒数，不是黄金比；
D. $\frac{AC}{BC}$是较短线段与较长线段的比，符合黄金比的定义。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割的定义；线段的比
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确理解黄金分割的定义，明确较长线段、较短线段和原线段三者之间的比例关系，避免混淆长短线段的对应位置即可正确解题。
【难度系数】
0.8

2.[与T5互为孪生题]若线段$AB=2$，点$P$是线段$AB$的黄金分割点，且$AP＜BP$，则$AP$的长为。

2.$3-\sqrt{5}$

【分析】
解题前首先明确黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，该比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已知$AP＜BP$，因此$BP$是线段$AB$的较长分割段，我们可以先利用黄金比求出$BP$的长度，再根据线段和差关系$AP=AB-BP$计算$AP$的长即可。
【解析】
解：
∵点$P$是线段$AB$的黄金分割点，且$AP＜BP$
∴较长段$BP$与全长$AB$的比为黄金比，即$\frac{BP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
已知$AB=2$，代入得：
$BP=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$
∴$AP=AB-BP=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$
【答案】
$3-\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是黄金分割的基础应用题，解题的核心是先根据已知的线段长短关系确定较长分割段，再结合黄金比列式计算，注意不要混淆长短段对应的比例关系。
【难度系数】
0.7

3. 生活中到处可见黄金分割的美.在设计人体雕像时,使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若雕像的全身高度为2 m,则腰部以下的高度约为 ()

A.1.24 m
B.1.38 m
C.1.42 m
D.1.62 m

3.A

【分析】
本题考查黄金分割的实际应用，解题思路如下：首先明确题目给出的比例关系：雕像腰部以下高度与全身高度的比值约为0.618；已知全身高度为2m，要求腰部以下高度，直接用全身高度乘以该比值即可得到结果，计算时注意保留合适的小数位数。
【解析】
解：设雕像腰部以下的高度为$ x \, \mathrm{m} $。
根据题意可得比例关系：$\frac{x}{2} \approx 0.618$
求解得：$x \approx 2 × 0.618 = 1.236 \approx 1.24 \, \mathrm{m}$
因此符合结果的选项为A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割；比例计算
【点评】
本题结合生活实际考查黄金分割的基础应用，解题关键是准确理解题目给出的比例关系，正确代入数值计算即可得出答案，注重对基础概念的应用考查。
【难度系数】
0.9

4.[新课标—情境题][2024·滁州全椒期中]如图,乐器上的一根弦$AB=60\ \mathrm{cm}$,两个端点$A,B$固定在乐器板面上,支撑点$C$是靠近点$B$的黄金分割点,支撑点$D$是靠近点$A$的黄金分割点,则$C,D$之间的距离为（）


A.$(30\sqrt{5}-30)\mathrm{cm}$
B.$(60\sqrt{5}-30)\mathrm{cm}$
C.$(100-30\sqrt{5})\mathrm{cm}$
D.$(60\sqrt{5}-120)\mathrm{cm}$

4.D

【分析】
本题考查黄金分割的应用，解题思路如下：首先明确黄金分割的定义：若点把线段分为两条线段，使较长线段与整条线段的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则这个点是线段的黄金分割点。首先根据支撑点C是靠近B的黄金分割点，可得较长线段$AC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；再根据支撑点D是靠近A的黄金分割点，可得较长线段$BD=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；最后观察线段关系：$AC+BD=AB+CD$，变形即可求出CD的长度。
【解析】
根据黄金分割的定义，黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
∵ 点C是靠近点B的黄金分割点，
∴ $AC = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 60 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 30(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
∵ 点D是靠近点A的黄金分割点，
∴ $BD = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 30(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
又
∵ $AC + BD = AD + CD + CD + BC = AB + CD$，
∴ $CD = AC + BD - AB$，
代入数值计算：
$CD = 30(\sqrt{5}-1) + 30(\sqrt{5}-1) - 60$
$= 60(\sqrt{5}-1) -60$
$= 60\sqrt{5} -60 -60$
$= (60\sqrt{5}-120)\ \mathrm{cm}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割，线段的和差计算
【点评】
本题结合乐器弦的支撑点的生活情境考查黄金分割的应用，解题的关键是准确理解黄金分割点的定义，找准对应线段的比例关系，再结合线段的和差运算即可求解，是黄金分割应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7

5.[与T2互为孪生题]已知线段$AB=10$，点$C$是$AB$的黄金分割点，则$AC=$（）

A.$5\sqrt{5} -5$
B.$15 -5\sqrt{5}$
C.$5\sqrt{5} -5$或$15 -5\sqrt{5}$
D.以上答案都不对

5.C

【分析】
解题时首先要明确黄金分割的定义：一条线段的黄金分割点将线段分为长短两段，满足长段与全段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题未说明AC是较长段还是较短段，因此需要分两种情况讨论计算，分别求出AC为较长段、较短段时的长度，再对应选项判断即可。
【解析】
根据黄金分割的定义，线段黄金分割点对应的长线段与全长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，本题分两种情况计算：
1. 若$AC$是较长线段：
$AC = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入$AB=10$，得
$AC=10×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=5\sqrt{5}-5$
2. 若$AC$是较短线段：
先算较长线段$BC=AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2}=5\sqrt{5}-5$，
则$AC=AB-BC=10-(5\sqrt{5}-5)=15-5\sqrt{5}$
综上，$AC$的长度为$5\sqrt{5}-5$或$15-5\sqrt{5}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 黄金分割的定义
2. 分类讨论思想
3. 线段和差计算
【点评】
本题是黄金分割的基础常考题，易错点是容易忽略黄金分割点有两种位置情况，仅计算出其中一种长度导致错选。解题时若题干未明确指定分割后哪条线段更长，一定要注意分情况讨论。
【难度系数】
0.7

6. [教材 P83 习题 22.2 第6题改编]
在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法. 如图,以线段 AB 为边作正方形 ABCD,取 AD 的中点 E,连接 BE,延长 DA 至点 F,使得 EF = BE,以 AF 为边作正方形 AFGH,则 H 即是线段 AB 的黄金分割点. 若记正方形 AFGH 的面积为 $S_1$,矩形 BCIH 的面积为 $S_2$,则 $S_1$与 $S_2$的比值是 ()

A.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.1

6.D

【分析】
我们可以通过设线段AB的长度为具体数值简化计算，先利用正方形性质得到AD与AB相等、∠EAB为直角，结合E是AD中点得到AE的长度，再用勾股定理求出BE的长度，由EF=BE推出AF的长度，进而求出正方形AFGH的面积S₁；再求出矩形BCIH的两边长度，算出S₂，最后计算两者的比值即可。也可直接利用黄金分割的性质快速判断S₁与S₂的关系。
【解析】
设AB的长度为2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=2，∠EAB=90°，
∵E是AD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=1$，
在Rt△ABE中，根据勾股定理：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
∵EF=BE，
∴$EF=\sqrt{5}$，
∴$AF=EF - AE=\sqrt{5}-1$，
∵四边形AFGH是正方形，
∴$AH=AF=\sqrt{5}-1$，$S_1=AF^2=(\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5}$，
矩形BCIH中，$BH=AB - AH=2 - (\sqrt{5}-1)=3 - \sqrt{5}$，
∴$S_2=BC· BH=2×(3-\sqrt{5})=6-2\sqrt{5}$，
∴$\frac{S_1}{S_2}=\frac{6-2\sqrt{5}}{6-2\sqrt{5}}=1$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，黄金分割
【点评】
本题结合经典的黄金分割找点方法，考查了基本几何图形的性质和勾股定理的应用，通过设特殊值计算的方法能有效降低运算难度，同时也直观体现了黄金分割的相关性质。
【难度系数】
0.7

7.如图，四边形ABCD是正方形，R是边AB上的黄金分割点，且AR＞BR，$S_1$表示以AR为边长的正方形的面积，$S_2$表示以BC为长、BR为宽的矩形的面积，$S_3$表示正方形ABCD除去$S_1$，$S_2$剩余的面积.
(1)求证：$S_1=S_2$；
(2)求$S_3:S_2$的值.

7.(1)证明略。(2)$S_3:S_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。

【分析】
(1)要证明$S_1=S_2$，首先根据黄金分割的定义，由R是AB的黄金分割点且$AR＞BR$可得到$AR^2=AB·BR$，再结合正方形边长相等的性质，分别表示出$S_1$和$S_2$即可证明二者相等。
(2)求$S_3:S_2$的比值时，可设正方形ABCD的边长为1，根据黄金分割比求出AR、BR的长度，再分别表示出$S_2$和$S_3$，最后化简比值即可得到结果。
【解析】
(1)证明：
∵R是AB边上的黄金分割点，且$AR＞BR$，
∴$\frac{AR}{AB}=\frac{BR}{AR}$，即$AR^2=AB·BR$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=BC$。
由题意得$S_1=AR^2$，$S_2=BC·BR=AB·BR$，
∴$S_1=S_2$。
(2)解：
设正方形ABCD的边长为1，则$AB=BC=1$。
根据黄金分割的定义得$AR=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$BR=AB-AR=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴$S_2=BC·BR=1×\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
正方形ABCD的面积为$1^2=1$，
∵$S_1=S_2$，
∴$S_3=1-S_1-S_2=1-2S_2=1-2×\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}-2$，
∴$S_3:S_2=\frac{\sqrt{5}-2}{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{2(\sqrt{5}-2)}{3-\sqrt{5}}$，
对分母有理化，分子分母同乘$3+\sqrt{5}$：
$=\frac{2(\sqrt{5}-2)(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\frac{2(\sqrt{5}-1)}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
黄金分割，正方形的性质，面积计算
【点评】
本题结合正方形的性质考查黄金分割的应用，解题的关键是熟练掌握黄金分割的比例关系，通过设单位长度的方式可以简化比值的计算过程，第二问的化简要注意分母有理化的正确运用。
【难度系数】
0.65